立体几何二面角

1 如图 正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长都为 2 I 当 时 求证 AB1丄平面 A1BD II 当二面角 A A1D B 的大小为 时 求实数 的值 2 3 如图 菱形与正三角形的边长均为 2 它们所在平面互相垂直 平面 且 求证 平面 若 求二面角的余弦值 4 如图 三棱锥P ABC中 PA 平面ABC BAC 60 PA AB AC 2 E是PC 的中点 1 求异面直线AE和PB所成角的余弦值 2 求三棱锥A EBC的体积 5 在四棱锥 P ABCD 中 已知 PB 底面 ABCD BC AB AD BC AB AD 2 CD BD 异面直线 PA CD 所成角等于 60 1 求证 面 PCD 面 PBD 2 求直线 PC 和平面 PAD 所成角的正弦值 3 在棱 PA 上是否存在一点 E 使得二面角 A BE D 的余弦 值为 6 已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 为直角梯形 AB CD DAB 90 PA 底面 ABCD 且 PA AD DC AB 1 M 是 PB 的中点 1 求异面直线 AC 与 PB 所成的角的余弦值 2 求直线 BC 与平面 ACM 所成角的正弦值 7 在四棱锥中 平面平面 且 求证 平面 求二面角的余弦值 8 如图 四棱柱ABCD A1B1C1D1中 侧棱A1A 底面ABCD AB DC AB AD AD CD 1 AA1 AB 2 E为棱AA1 的中点 证明 B1C1 CE 求二面角B1 CE C1的正弦值 9 在如图所示的四棱锥中 已知平面 为的中点 求证 求证 平面平面 求直线与平面所成角的余弦值 11 如图 四棱锥中 底面为平行四边形 底面 1 证明 2 若 求二面角余弦值 12 如图 四棱锥 P ABCD 的底面是矩形 侧面 PAD 丄底面 ABCD APD I 求证 平面 PAB 丄平面 PCD II 如果 AB BC PB PC 求二面角 B PC D 的余弦值 13 如图 在四棱柱 中 底面 且 点E 在棱AB上 平面与棱 相交于点F 证明 平面 若E是棱AB的中点 求二面角的余弦值 求三棱锥的体积的最大值 2 选择题 3 14 正四棱锥 S ABCD 的侧棱长为 底面边长为 E 为 SA 的中点 则异面直线 BE 和 SC 所成的角 为 A 30 B 45 C 60 D 90 15 已知m n表示两条不同直线 表示平面 下列说法正确的是 A 若m n 则m n B 若m n 则m n C 若m m n 则n D 若m m n 则n 16 下列说法正确的是 A 直线 a 平行于平面 M 则 a 平行于 M 内的任意一条直线 B 直线 a 与平面 M 相交 则 a 不平行于 M 内的任意一条直线 C 直线 a 不垂直于平面 M 则 a 不垂直于 M 内的任意一条直线 D 直线 a 不垂直于平面 M 则过 a 的平面不垂直于 M 三 填空题 17 一个正方体纸盒展开后如图所示 在原正方体纸盒中有如下结论 AB EF AB 与 CM 所成的角为 60 EF 与 MN 是异面直线 MN CD 以上四个命题中 正确命题的序号是 18 设 和 为不重合的两个平面 给出下列命题 1 若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线 则 平行于 2 若 外一条直线 l 与 内的一条直线平行 则 l 和 平行 3 设 和 相交于直线 l 若 内有一条直线垂直于 l 则 和 垂直 4 若 l 与 内的两条直线垂直 则直线 l 与 垂直 上面命题中 其中错误的个数是 19 已知 l m n 是三条不同的直线 是三个不同的平面 下列命题 若 l m n m 则 n l 若 l m 则 l m 若 l 则 l 若 l 则 l 其中真命题是 填序号 20 设 a b 为两条直线 为两个平面 给出下列命题 1 若 a b a 则 b 2 若 a b 则 a b 3 若 a b b 则 a 4 若 a a 则 其中正确命题的个数是 21 如图在直三棱柱 ABC A1B1C1中 ACB 90 AA1 2 AC BC 1 则异面直线 A1B 与 AC 所成角的余弦值是 四 综合题 22 如图 四棱锥中 底面 是的中点 1 求证 2 求证 面 五 计算题 23 如图 四棱锥的底面为正方形 侧棱底面 且 分别是线段的中点 1 求证 平面 2 求证 平面 3 求二面角的大小 参考答案 一 简答题 1 解 取的中点为 连结在正三棱柱中面面 为正三角形 所以 故平 面 以为坐标原点建立如图空间直角坐标系 2 分 则 所以 因为 所以 又 所以平面 6 分 由 得 所以 设平面的法向量 平面的法向量 由得平面的一个法向量为 同理可得平面的一个法向量 由 解得 为所求 12 分 2 3 解 如图 过点作于 连接 平面平面 平面 平面平面于 平面 又平面 四边形为平行四边形 平面 平面 平面 5 分 连接由 得为中点 又 为等边三角形 分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系 则 设平面的法向量为 由得 令 得 设平面的法向量为 由得令 得 故二面角的余弦值是 10 分 4 1 取BC的中点F 连结EF AF 则EF PB 所以 AEF 或其补角 就是异面直线AE和PB所成角 BAC 60 PA AB AC 2 PA 平面ABC AF AE EF cos AEF 所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为 8 分 2 因为E是PC中点 所以E到平面ABC的距离为PA 1 VA EBC VE ABC 2 2 1 12 分 5 考点 二面角的平面角及求法 平面与平面垂直的判定 直线与平面所成的角 专题 空间位置关系与距离 空间角 分析 1 分别以 BA BC BP 为 x y z 轴 建立空间直角坐标系 由 CD PD 得 C 0 4 0 异面直线 PA 和 CD 所成角等于 60 得 P 0 0 2 求出平面 PCD 的法向量和平面 PBD 的法向量 由此能证明面 PCD 面 PBD 2 求出 0 4 2 和平面 PAD 的法向量 由此能求出直线 PC 和平面 PAD 所成角的正弦值 3 设 m 1 m m 2 0 0 1 m 0 0 2 2m 0 2 2m 0 m 1 求出平 面 ABE 的法向量和平面 DBE 的法向量 由已知条件利用向量法能求出 E 0 解答 1 证明 分别以 BA BC BP 为 x y z 轴 建立空间直角坐标系 则 A 2 0 0 D 2 2 0 设 P 0 0 p p 0 C 0 c 0 2 2 c 0 2 2 p CD PD 2 2 c 0 2 2 p 4 2 2 c 0 解得 c 4 C 0 4 0 2 0 p 异面直线 PA 和 CD 所成角等于 60 2 0 p 2 2 0 4 由 p 0 解得 p 2 P 0 0 2 0 4 2 2 2 2 0 0 2 设平面 PCD 的法向量 x y z 则 取 y 1 得 1 1 2 设平面 PBD 的法向量 a b c 则 取 a 1 得 1 1 0 1 1 0 0 面 PCD 面 PBD 2 解 0 4 2 2 0 2 0 2 0 设平面 PAD 的法向量 u v t 则 取 u 1 得 1 0 1 设直线 PC 和平面 PAD 所成角为 sin cos 直线 PC 和平面 PAD 所成角的正弦值为 3 解 设 m 1 m m 2 0 0 1 m 0 0 2 2m 0 2 2m 0 m 1 平面 ABE 的法向量 0 1 0 设平面 DBE 的法向量 x1 y1 z1 则 取 z m 得 m 1 1 m m 设二面角 A BE D 的平面角为 二面角 A BE D 的余弦值为 cos 整理得 3m2 8m 4 0 由 0 m 1 解得 m E 0 点评 本题主要考查直线与平面之间的平行 垂直等位置关系 线面角 面面垂直 二面角的概念 求法等知识 以及空间想象能力和逻辑推理能力 6 考点 直线与平面所成的角 异面直线及其所成的角 专题 空间位置关系与距离 空间向量及应用 分析 1 建立空间直角坐标系 利用空间向量的数量积 求 AC 与 PB 所成的角的余弦值 2 设 x y z 为平面的 ACM 的一个法向量 求出法向量 利用空间向量的数量积 直线 BC 与平面 ACM 所 成角的正弦值 解答 解 1 以 A 为坐标原点 分别以 AD AB AP 为 x y z 轴 建立空间直角坐标系 则 A 0 0 0 P 0 0 1 C 1 1 0 B 0 2 0 M 0 1 所以 1 1 0 0 2 1 2 cos 2 1 1 0 1 1 0 0 1 设 x y z 为平面的 ACM 的一个法向量 则 即 令 x 1 则 y 1 z 2 所以 1 1 2 则 cos 设直线 BC 与平面 ACM 所成的角为 则 sin sin cos 点评 本小题考查空间中的异面直线所成的角 线面角 解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力 7 解 证明 作于 CE 与 AD 必相交 又平面平面 平面 PAB 又 平面 5 分 方法一 综合法 连 AC 由已知得 AC 2 从而 又 平面 从而平面 PCD平面 PAC 作于 于 连 设则所求的二面角为 所以 法二 向量法 略 8 方法一 如图 以点A为原点 以AD AA1 AB所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 依题意得 A 0 0 0 B 0 0 2 C 1 0 1 B1 0 2 2 C1 1 2 1 E 0 1 0 3 分 1 证明 易得 1 0 1 1 1 1 于是 0 所以B1C1 CE 5 分 2 解 1 2 1 设平面B1CE的法向量m x y z 则即消去x 得y 2z 0 不妨令z 1 可得一个法向量为 m 3 2 1 8 分 由 1 知 B1C1 CE 又CC1 B1C1 可得B1C1 平面CEC1 故 1 0 1 为平面CEC1的一个法向 量 10 分 于是 cos m 11 分 从而 sin m 所以二面角B1 CE C1的正弦值为 12 分 方法二 1 证明 因为侧棱CC1 底面A1B1C1D1 B1C1 平面A1B1C1D1 所以CC1 B1C1 经计算可得B1E B1C1 EC1 从而B1E2 B1C EC 所以在 B1EC1中 B1C1 C1E 2 分 又CC1 C1E 平面CC1E CC1 C1E C1 所以B1C1 平面CC1E 又CE 平面CC1E 故B1C1 CE 5 分 2 解 过B1作B1G CE于点G 连接C1G 由 1 知 B1C1 CE 故CE 平面B1C1G 得CE C1G 所以 B1GC1为二面角B1 CE C1的平面角 9 分 在 CC1E中 由CE C1E CC1 2 可得C1G 在 Rt B1C1G中 B1G 所以 sin B1GC1 即二面角B1 CE C1的正弦值为 12 分 9 详见解析 详见解析 解析 试题分析 根据中位线定理求证出四边形 MEBC 为平行四边形 再根据线面平行的判定定理即可证明 先证明线面垂直 再到面面垂直 找到 ECF 为直线 EC 与平面 PAC 所成的角 再解三角形即可 试题解析 解 取 PA 的中点 M 连接 BM ME且 BC且 MEBC 且 ME BC 四边形 MEBC 为平行四边形 BMECE CE面 PAB BM面 PAB CE面 PAB 证明 平面 又 平面 又 平面 所以平面 平面 解 取中点 则 由 知 平面 则 平面 所以为直线与平面所成的角 即直线与平面所成角的正切值为 考点 直线与平面所成的角 直线与平面平行的判定 平面与平面垂直的判定 10 详见解析 详见解析 解析 试题分析 根据中位线定理求证出四边形 MEBC 为平行四边形 再根据线面平行的判定定理即可证明 先证明线面垂直 再到面面垂直 找到 ECF 为直线 EC 与平面 PAC 所成的角 再解三角形即可 试题解析 解 取 PA 的中点 M 连接 BM ME且 BC且 MEBC 且 ME BC 四边形 MEBC 为平行四边形 BMECE CE面 PAB BM面 PAB CE面 PAB 证明 平面 又 平面 又 平面 所以平面 平面 解 取中点 则 由 知 平面 则 平面 所以为直线与平面所成的角 即直线与平面所成角的正切值为 考点 直线与平面所成的角 直线与平面平行的判定 平面与平面垂直的判定 11 解 1 因为 故 又底 面 可得所以面 故 2 过作交于 连接 因为底面 则为二面角的平面角 在中 则所以 而 在中 则 所以 12 解 证明 因为四棱锥 P ABCD 的底面是矩形 所以 CD AD 又侧面 PAD 底面 ABCD 所以 CD PA 又 APD 即 PA PD 而 CD PD D 所以 PA 平面 PCD 因为 PA 平面 PAB 所以平面 PAB 平面 PCD 4 分 解 如图 以 AB 为 x 轴 AD 为 y 轴建立空间直角坐标系 A xyz 设 AB 2 P 0 a b a 0 b 0 则 A 0 0 0 B 2 0 0 C 2 2 0 D 0 2 0 由 PA PD 0 a b 0 2 a b 得 a 2 a b2 0 因为 PB PC 所以 22 a2 b2 22 2 a 2 b2 由 得 a 1 b 1 6 分 由 知 0 1 1 是面 PCD 的一个法向量 设面 PBC 的一个法向量为 x y z 则 0 0 又 2 1 1 0 2 0 所以取 1 0 2 8 分 因为 cos 又二面角 B PC D 为钝角 所以二面角 B PC D 的余弦值为 12 分 13 证明 因为是棱柱 所以平面平面 又因为平面平面 平面平面 所以 又因为平面 平面 所以 平面 解 因为底面 所以 两两垂直 以 A 为原点 以 分别为轴 轴和轴 如图建立空间直角 坐标系 则 所以 设平面的法向量为 由 得令 得 又因为平面的法向量为 所以 由图可知 二面角的平面角为锐角 所以二面角的余弦值为 解 过点 F 作于点 因为平面平面 平面 所以平面 所以 因为当 F 与点重合时 取到最大值2 此时点 E 与点 B 重合 所以当 F 与点重合时 三棱锥的体积的最大值为 二 选择题 14 C 15 B 16 B 三 填空题 17 考点 异面直线及其所成的角 异面直线的判定 专题 阅读型 分析 先把正方体的平面展开图还原成原来的正方体 再根据所给结论进行逐一判定即可 解答 解 把正方体的平面展开图还原成原来的正 方体如图所示 则 AB EF EF 与 MN 为异面 直线 AB CM MN CD 只有 正确 故答案为 点评 本题主要考查了异面直线及其所成的角 直线与直线的位置关系 考查空间想象能力 运算能力和推理论 证能力 属于基础题 18 2 考点 命题的真假判断与应用 专题 综合题 数形结合 空间位置关系与距离 简易逻辑 分析 由面面平行的判定说明 1 正确 由线面平行的判定说明 2 正确 由题意得到 与 所成角可能是 锐角 直角或钝角说明 3 错误 由线面垂直的判定说明 4 错误 解答 解 1 若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线 由面面平行的判定可得 平行于 1 正确 2 若 外一条直线 l 与 内的一条直线平行 则由线面平行的判定说明 l 和 平行 2 正确 3 设 和 相交于直线 l 若 内有一条直线垂直于 l 则 和 垂直 错误 与 所成角可能是锐角 直角或钝角 4 若 l 与 内的两条直线垂直 则直线 l 与 垂直 错误 只有 l 与 内的两条相交直线垂直时 才有直线 l 与 垂直 错误命题的个数是 2 个 故答案为 2 点评 本题考查线面之间的位置关系 解题的关键是熟练应用线面平行和垂直的判定定理 是基础题 19 填序号 考点 命题的真假判断与应用 专题 空间位置关系与距离 简易逻辑 分析 根据异面直线所成角的定义可判断 利用面面平行的性质知两平面内直线平行或异面判断 根据线面 平行的判定定理的条件判断 借助图形 由面面垂直可得线面垂直 进而的线线垂直 再利用线面垂直的判定定 理判断 解答 解 若 l m n m n 与 m 成 90 角 由异面直线所成角的定义可知 n 与 l 成 90 角 则 n l 为 真命题 若 l m 则 l m 或 l 与 m 异面 是假命题 若 l m m 则 l 或 l 是假命题 若 l 如图 在平面 内取点 O 过 O 在 内分别作 OA OB 垂直于 与 的交线和 与 的交线 则由面面垂直的性质得 OA OB 得 OA l OB l 有 l 故 正确 故答案为 点评 本题考查了面面垂直的判定与性质 考查了面面平行的判定及线线垂直的判定 考查了学生的空间想象能 力 是中档题 20 2 个 考点 空间中直线与平面之间的位置关系 专题 证明题 分