选修4－5不等式选讲

1 选修 4 5 不等式选讲 第一节绝对值不等式 基础盘查一 绝对值三角不等式 一 循纲忆知 理解绝对值的几何意义 并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式 1 a b a b 2 a c a b b c 二 小题查验 1 判断正误 1 对 a b a b 当且仅当 a b 0 时等号成立 2 对 a b a b 当且仅当 a b 时等号成立 3 对 a b a b 当且仅当 ab 0 时等号成立 答案 1 2 3 2 人教 A 版教材习题改编 f x 2 x x 1 的最小值为 解析 2 x x 1 2 x x 1 1 f x min 1 答案 1 3 若 x 1 1 y 2 1 则 x 2y 1 的最大值为 解析 x 2y 1 x 1 2 y 2 2 x 1 2 y 2 2 5 答案 5 基础盘查二 绝对值不等式的解法 一 循纲忆知 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式 ax b c ax b c x a x b c 二 小题查验 1 判断正误 1 ax b c 的解等价于 c ax b c 2 若 x c 的解集为 R 则 c 0 3 不等式 x 1 x 2 2 的解集为 答案 1 2 3 2 若关于 x 的不等式 x a 1 的解集为 1 3 则实数 a 的值为 2 解析 由 x a 1 则 1 x a 1 a 1k 的解集为 R 则实数 k 的取值范围为 解析 x 1 x 2 3 3 x 1 x 2 3 k x 1 x 2 的最小值 即 k 3 答案 3 基础送分型考点 自主练透 考点一 绝对值不等式的解法 必备知识 1 ax b c ax b c c 0 型不等式的解法 1 若 c 0 则 ax b c 等价于 c ax b c ax b c 等价于 ax b c 或 ax b c 然后根据 a b 的值解出即可 2 若 c 0 则 ax b c 的解集为 ax b c 的解集为 R 2 x a x b c 或 c c 0 x a x b c 或 c c 0 型不等式的解法 可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解 1 零点分区间法的一般步骤 令每个绝对值符号的代数式为零 并求出相应的根 将这些根按从小到大排列 把实数集分为若干个区间 由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式 解这些不等式 求出解集 取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集 2 利用绝对值的几何意义 由于 x a x b 与 x a x b 分别表示数轴上与 x 对应的点到 a b 对应的点的距离 之和与距离之差 因此对形如 x a x b c c 0 或 x a x b c c 0 的不等式 利 用绝对值的几何意义求解更直观 3 f x g x f x g x g x 0 型不等式的解法 1 f x g x f x g x 或 f x g x 2 f x g x g x f x g x 提醒 解含绝对值号的不等式要注意分类讨论思想的应用 题组练透 1 解不等式 2x 1 2 x 1 0 解 法一 原不等式可化为 2x 1 2 x 1 3 两边平方得 4x2 4x 1 4 x2 2x 1 解得 x 1 4 所以原不等式的解集为 x x 1 4 法二 原不等式等价于Error 或Error 或Error 解得 x 所以原不等式的解集为 1 4 x x 1 4 2 2014 广东高考改编 解不等式 x 1 x 2 5 解 当 x1 时 原不等式即 x 1 x 2 5 x 2 此时得到 x 2 于是原不等式的解集为 x1 x1 3 或 x 2 3 解不等式 x 3 2x 1 1 x 2 解 当 x 3 时 原不等式化为 x 3 1 2x 1 x 2 解得 x 10 x 3 当 3 x 时 1 2 原不等式化为 x 3 1 2x 1 x 2 解得 x 2 5 3 x 2 5 当 x 时 1 2 原不等式化为 x 3 1 2x 1 x 2 解得 x 2 x 2 综上可知 4 原不等式的解集为 x x 2 5或x 2 类题通法 含绝对值不等式的常用解法 1 基本性质法 对 a R x a a xa xa 2 平方法 两边平方去掉绝对值符号 3 零点分区间法 或叫定义法 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式 可用零点 分区间法脱去绝对值符号 将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式 组 求解 4 几何法 利用绝对值的几何意义 画出数轴 将绝对值转化为数轴上两点的距离求 解 5 数形结合法 在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象 利用函数 图象求解 重点保分型考点 师生共研 考点二 绝对值不等式的证明 必备知识 绝对值不等式 a b a b a b 提醒 绝对值不等式的证明实质是放缩思想的运用 典题例析 2015 河北唐山三模 设不等式 2 x 1 x 2 0 的解集为 M a b M 1 证明 1 3a 1 6b 1 4 2 比较 1 4ab 与 2 a b 的大小 并说明理由 解 1 证明 记 f x x 1 x 2 Error 由 2 2x 1 0 解得 x 1 2 1 2 则 M 1 2 1 2 所以 a b 1 3a 1 6b 1 3 1 6 1 3 1 2 1 6 1 2 1 4 2 由 1 得 a2 b2 1 4 1 4 因为 1 4ab 2 4 a b 2 1 8ab 16a2b2 4 a2 2ab b2 4a2 1 4b2 1 0 所以 1 4ab 2 4 a b 2 5 故 1 4ab 2 a b 类题通法 证明绝对值不等式主要的三种方法 1 利用绝对值的定义去掉绝对值符号 转化为普通不等式再证明 2 利用三角不等式 a b a b a b 进行证明 3 转化为函数问题 数形结合进行证明 演练冲关 已知 x y R 且 x y x y 1 6 1 4 求证 x 5y 1 证明 x 5y 3 x y 2 x y 由绝对值不等式的性质 得 x 5y 3 x y 2 x y 3 x y 2 x y 3 x y 2 x y 3 2 1 1 6 1 4 即 x 5y 1 重点保分型考点 师生共研 考点三 绝对值不等式的综合应用 必备知识 1 研究含有绝对值的函数问题时 根据绝对值的定义 分类讨论去掉绝对值符号 将 原函数转化为分段函数 然后利用数形结合解决问题 这是常用的思想方法 2 f x a 恒成立 f x max a f x a 恒成立 f x min a 典题例析 2014 新课标全国卷 设函数 f x x a x 1 a a 0 1 证明 f x 2 2 若 f 3 0 有 f x x a a 2 当且仅当 x 1 a x 1 a x a 1 a a 1 时等号成立 所以 f x 2 2 f 3 3 a 3 1 a 6 当 a 3 时 f 3 a 1 a 由 f 3 5 得 3 a 5 21 2 当 0 a 3 时 f 3 6 a 1 a 由 f 3 5 得 a 3 1 5 2 综上 a 的取值范围是 1 5 2 5 21 2 类题通法 解决含参数的绝对值不等式问题 常将参数分类讨论 将原问题转化为分段函数问题进 行解决 演练冲关 1 2015 大同调研 已知函数 f x 2x 1 x 2a 1 当 a 1 时 求 f x 3 的解集 2 当 x 1 2 时 f x 3 恒成立 求实数 a 的取值范围 解 1 当 a 1 时 由 f x 3 可得 2x 1 x 2 3 Error 或 Error 或 Error 解 求得 0 x 解 求得 x 2 解 求得 x 2 1 2 1 2 综上可得 0 x 2 即不等式的解集为 0 2 2 当 x 1 2 时 f x 3 恒成立 即 x 2a 3 2x 1 4 2x 故 2x 4 2a x 4 2x 即 3x 4 2a 4 x 再根据 3x 4 的最大值为 6 4 2 4 x 的最小值为 4 2 2 2a 2 a 1 即 a 的范围为 1 1 若函数 f x 的定义域为 R 求实数 m 的取值范围 x 2 x m 4 解 根据题意 不等式 x 2 x m 4 0 恒成立 所以 x 2 x m 4 min 0 又 x 2 x m 4 m 2 4 所以 m 2 4 0 m 6 或 m 2 7 2 2014 重庆高考改编 若不等式 2x 1 x 2 a2 a 2 对任意实数 x 恒成立 求 1 2 实数 a 的取值范围 解 2x 1 x 2 x 2 0 当且仅当 x 时取 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 2 5 2 1 2 等号 因此函数 y 2x 1 x 2 的最小值是 所以 a2 a 2 即 2a2 a 1 0 解得 5 2 1 2 5 2 1 a 即实数 a 的取值范围是 1 2 1 1 2 3 2015 云南模拟 已知函数 f x x a 1 若 f x m 的解集为 x 1 x 5 求实数 a m 的值 2 当 a 2 且 t 0 时 解关于 x 的不等式 f x t f x 2t 解 1 由 x a m 得 a m x a m 所以Error 解得Error 2 当 a 2 时 f x x 2 所以 f x t f x 2t 等价于 x 2 2t x 2 t 当 t 0 时 不等式 恒成立 即 x R 当 t 0 时 不等式等价于Error 或Error 或Error 解得 x 2 2t 或 2 2t x 2 或 x 即 x 2 t 2 t 2 综上 当 t 0 时 原不等式的解集为 R 当 t 0 时 原不等式的解集为 x x 2 t 2 4 2015 洛阳模拟 已知函数 f x 2x 1 x 1 求不等式 f x 0 的解集 2 若存在 x0 R 使得 f x0 m 成立 求实数 m 的取值范围 解 1 由题知 f x Error 当 x 时 由 x 1 0 得 x 1 1 2 当 x 0 时 由 3x 1 0 得 x 1 2 1 3 即 x 0 1 3 当 x 0 时 由 x 1 0 得 x 1 即 x 0 8 综上 不等式的解集是 x x 1或x 1 3 2 由 1 知 f x min f 1 2 1 2 若存在 x0 R 使得 f x0 m 成立 即 m 1 2 实数 m 的取值范围为 1 2 5 已知函数 f x x a x 2 1 当 a 3 时 求不等式 f x 3 的解集 2 若 f x x 4 的解集包含 1 2 求 a 的取值范围 解 1 当 a 3 时 f x Error 当 x 2 时 由 f x 3 得 2x 5 3 解得 x 1 当 2 x 3 时 f x 3 无解 当 x 3 时 由 f x 3 得 2x 5 3 解得 x 4 所以 f x 3 的解集为 x x 1 或 x 4 2 f x x 4 x 4 x 2 x a 当 x 1 2 时 x 4 x 2 x a 4 x 2 x x a 2 a x 2 a 由条件得 2 a 1 且 2 a 2 即 3 a 0 故满足条件的 a 的取值范围为 3 0 6 2015 长春联考 已知 f x x 1 x 1 不等式 f x 4 的解集为 M 1 求 M 2 当 a b M 时 证明 2 a b 4 ab 解 1 f x x 1 x 1 Error 当 x 1 时 由 2x 4 得 2 x 1 当 1 x 1 时 f x 21 时 由 2x 4 得 1 x 2 M 2 2 2 证明 a b M 即 2 a 2 2 b 2 9 4 a b 2 4 ab 2 4 a2 2ab b2 16 8ab a2b2 a2 4 4 b2 0 4 a b 2 4 ab 2 2 a b 4 ab 7 2015 昆明模拟 已知函数 f x 2x 1 2x 3 1 若关于 x 的不等式 f x 4 a 3 2 5 2 实数 a 的取值范围为 3 2 5 2 2 24 4 2m 1 2m 3 0 即 2m 1 2m 3 6 不等式等价于 Error 或Error 或 Error m 2 或 m 或 1 m 3 2 1 2 3 2 1 2 实数 m 的取值范围是 1 2 8 2015 沈阳模拟 已知函数 f x 2x 2 2x 3 1 若存在 x0 R 使得不等式 f x0 m 成立 求 m 的取值范围 2 求使得不等式 f x 4x 1 成立的 x 的取值范围 解 1 f x 2x 2 2x 3 2x 2 2x 3 5 存在 x0 R 使得不等式 f x0 1 x y 2 则 x 0 y 0 答案 1 2 2 若 m a 2b n a b2 1 则 m 与 n 的大小关系为 解析 n m a b2 1 a 2b b2 2b 1 b 1 2 0 n m 答案 n m 基础送分型考点 自主练透 考点一 比较法证明不等式 必备知识 1 求差比较法 知道 a b a b 0 a b a bb 只要证明 a b 0 即可 这种方法 称为求差比较法 2 求商比较法 由 a b 0 1 且 a 0 b 0 因此当 a 0 b 0 时 要证明 a b 只要证明 1 即可 a b a b 这种方法称为求商比较法 题组练透 1 已知 c b a 证明 a2b b2c c2ab a b a 0 c b 0 c a 0 ab2 bc2 ca2 a2b b2c c2a 即 a2b b2c c2ab 0 时 1 0 a b a b 2 则 1 a b a b 2 当 b a 0 时 0 1 1 a b a b 2 综上可知 aabb ab 成立 a b 2 类题通法 用比较法证明不等式的一般步骤是 作差 商 变形 判断 结论 而变形的方法一般 有配方法 通分和因式分解 重点保分型考点 师生共研 考点二 综合法与分析法 必备知识 1 综合法 利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质 推导出所要证明的不等式 这种方法叫 综合法 即 由因导果 的方法 2 分析法 证明不等式时 有时可以从求证的不等式出发 分析使这个不等式成立的充分条件 把 证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题 如果能够肯定这些充分条件都已经具 备 那么就可以判定原不等式成立 这种方法叫作分析法 即 执果索因 的方法 3 平均值不等式 定理 如果 a b c 为正数 则 当且仅当 a b c 时 等号成立 a b c 3 3 abc 我们称为正数 a b c 的算术平均值 为正数 a b c 的几何平均值 定 a b c 3 3 abc 理中的不等式为三个正数的算术 几何平均值不等式 简称为平均值不等式 4 一般形式的算术 几何平均值不等式 如果 a1 a2 an为 n 个正数 则 当且仅当 a1 a2 an n n a1a2 an 12 a1 a2 an时 等号成立 典题例析 1 已知 a b c 均为正数 且 a b c 1 求证 9 1 a 1 b 1 c 证明 法一 a b c 3 3 9 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 3 abc 3 1 abc 当且仅当a b c 1 3时等号成立 法二 3 3 2 2 2 9 当且仅 1 a 1 b 1 c a b c a a b c b a b c c b a a b c a a c c b b c 当 a b c 时等号成立 1 3 2 已知 a b c 且 a b c 0 求证 a b2 ac3 证明 要证 a 只需证 b2 ac 3a2 b2 ac3 a b c 0 只需证 b2 a a b 0 只需证 a b 2a b 0 只需证 a b a c 0 a b c a b 0 a c 0 a b a c 0 显然成立 故原不等式成立 类题通法 1 利用综合法证明不等式时 应注意对已证不等式的使用 常用的不等式有 1 a2 0 2 a 0 3 a2 b2 2ab 它的变形形式又有 a b 2 4ab 2等 4 a2 b2 2 a b 2 a 0 b 0 它的变形形式又有 a 2 a 0 2 ab 0 a b 2ab 1 a b a a b 2 ab0 b 0 且 1 a 1 bab 1 求 a3 b3的最小值 2 是否存在 a b 使得 2a 3b 6 并说明理由 解 1 由 ab 1 a 1 b 2 ab 得 ab 2 且当 a b 时等号成立 2 故 a3 b3 2 4 且当 a b 时等号成立 a3b322 所以 a3 b3的最小值为 4 2 2 由 1 知 2a 3b 2 4 6 ab3 由于 4 6 从而不存在 a b 使得 2a 3b 6 3 1 2014 江苏高考 已知 x 0 y 0 证明 1 x y2 1 x2 y 9xy 证明 因为 x 0 y 0 所以 1 x y2 3 0 3 xy2 1 x2 y 3 0 3 x2y 故 1 x y2 1 x2 y 3 3 9xy 3 xy2 3 x2y 2 已知 n 2 求证 1 nnn 1 证明 要证 1 nnn 1 只需证 1 n n n 1 n n 1 n n 1 即 1 n 1 n n 1 只需证 nn 1n 只需证 0 n 1 只需证 n 1 因为 n 2 1 所以 1 nnn 1 3 已知 a b c 均为正数 求证 1 a b c b2 a c2 b a2 c 14 2 a b c b a c c a b 3 2 证明 1 a b c 2 2 2 b2 a c2 b a2 c b2 a a c2 b b a2 c c b2 a a c2 b b a b c a b c 当且仅当 a b c 时等号成立 得证 a2 c c 2 3 a b c b a c c a b a b c b c a b c a c a b c a b a b c 3 1 b c 1 a c 1 a b a b b c a c 3 1 2 1 b c 1 a c 1 a b 3 1 2 3 a b a c b c 3 3 3 1 a b a c b c 3 9 2 3 2 当且仅当 a b c 时等号成立 得证 4 已知 a 2 求证 loga a 1 2 a 1 1 loga a 1 0 log a 1 a 0 由于 loga a 1 loga a 1 2 0 loga a2 1 logaa2 2 2 2 1 loga a2 1 2 logaa2 2 loga a 1 log a 1 a 5 2014 银川市质检 已知 a b c 全为正数 且 a b c 1 求证 1 1 abbcca 2 a2 b2 c2 1 3 证明 1 a b c 全为正数 且 a b c 1 15 a b 2 当且仅当 a b 时等号成立 ab b c 2 当且仅当 b c 时等号成立 bc c a 2 当且仅当 c a 时等号成立 ca 2 a b c 2 2 2 当且仅当 a b c 时等号成立 abbcca 1 当且仅当 a b c 时等号成立 abbcca 2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 ab bc ca 1 3 a b c 2 3 Error 2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac a2 b2 c2 ab bc ac a2 b2 c2 当且仅当 a b c 时等号成立 1 3 6 设 a b c 均为正实数 求证 1 2a 1 2b 1 2c 1 b c 1 c a 1 a b 证明 a b c 均