2013初一数学资料培优汇总(精华) 2

1 第七讲 发现规律 一 一 问题引入与归纳问题引入与归纳 我国著名数学家华罗庚先生曾经说过 先从少数的事例中摸索出规律来 再从理 论上来证明这一规律的一般性 这是人们认识客观法则的方法之一 这种以退为进 寻找 规律的方法 对我们解某些数学问题有重要指导作用 下面举例说明 能力训练点 观察 分析 猜想 归纳 抽象 验证的思维能力 二 二 典型例题解析典型例题解析 1 观察算式 1 3 2 1 5 3 1 7 4 1 9 5 1 3 1 35 1 357 1 3579 2222 按规律填空 1 3 5 99 1 3 5 7 21 n 2 如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子 观察图形的变化规律 写出第 个小房子用了多少块石子 n 3 用黑 白两种颜色的正六边形地面砖 如 图所示 的规律 拼成若干个图案 1 第 3 个图案中有白色地面砖多少块 2 第个图n 案中有白色地面砖多少块 4 观察下列一组图形 如图 根据其变化规律 可得第 10 个图形中三角形的 个数为多少 第个图形中三角形的个数为多少 n 5 观察右图 回答下列问题 1 图中的点被线段隔开分成四层 则第一层有 1 个点 第二层有 2 3 个点 第三层有多少个点 第四层有多少个点 2 如果要你继续画下去 那第五层应该画多少个点 第 n 层有多少个点 3 某一层上有 77 个点 这是第几层 4 第一层与第二层的和是多少 前三层的和呢 前 4 层的和呢 你有没 有发现什么规律 根据你的推测 前 12 层的和是多少 6 读一读 式子 1 2 3 4 5 100 表示从 1 开始的 100 个连续自然数 的和 由于上述式子比较长 书写也不方便 为了简便起见 我们可将 1 2 3 4 5 100 表示为 这里 是求和符号 例如 100 1n n 1 3 5 7 9 99 即从 1 开始的 100 以内的连续奇数的和 可表示为 又如 可表示为 同 50 1 21 n n 3333333333 12345678910 10 3 1n n 学们 通过以上材料的阅读 请解答下列问题 1 2 4 6 8 10 100 即从 2 开始的 100 以内的连续偶数的和 用求 和符号可表示为 2 计算 填写最后的计算结果 5 2 1 1 n n 7 观察下列各式 你会发现什么规律 3 5 15 而 15 42 1 5 7 35 而 35 62 1 11 13 143 而 143 122 1 将你猜想的规律用只含一个字母的式子表示出来 8 请你从右表归纳出计算 13 23 33 n3的分式 并算 出 13 23 33 1003的值 三 三 跟踪训练题跟踪训练题 1 1 1 有一列数其中 1234 n a a a aa 3 6 2 1 6 3 2 6 4 3 6 5 4 则第个数 1 a 2 a 3 a 4 an n a 当 2001 时 n an 2 将正偶数按下表排成 5 列 第 1 列 第 2 列第 3 列第 4 列第 5 列 第一行2468 第二行16141210 第三行18202224 2826 根据上面的规律 则 2006 应在 行 列 3 已知一个数列 2 5 9 14 20 35 则的值应为 xx 4 在以下两个数串中 1 3 5 7 1991 1993 1995 1997 1999 和 1 4 7 10 1990 1993 1996 1999 同时出现在这两个数串中的数的 个数共有 个 A 333 B 334 C 335 D 336 5 学校阅览室有能坐 4 人的方桌 如果 多于 4 人 就把方桌拼成一行 2 张方桌 拼成一行能坐 6 人 如右图所示 按照 这种规定填写下表的空格 拼成一行的桌子数123 n 人数46 6 给出下列算式 4 4879 3857 2835 1813 22 22 22 22 观察上面的算式 你能发现什么规律 用代数式表示这个规律 7 通过计算探索规律 152 225 可写成 100 1 1 1 25 252 625 可写成 100 2 2 1 25 352 1225 可写成 100 3 3 1 25 452 2025 可写成 100 4 4 1 25 752 5625 可写成 归纳 猜想得 10n 5 2 根据猜想计算 19952 8 已知 计算 121 6 1 321 2222 nnnn 112 122 132 192 9 从古到今 所有数学家总希望找到一个能表示所有质数的公式 有位学者 提出 当 n 是自然数时 代数式 n2 n 41 所表示的是质数 请验证一下 当 n 40 时 n2 n 41 的值是什么 这位学者结论正确吗 5 D C B A 第六讲 相交线与平行线第六讲 相交线与平行线 一 知识框架一 知识框架 相 交 线 两条 直线 相交 邻补角 对顶角 对顶角相等 两条 直线 被第 三条 直线 所截 同位角 内错角 同旁内角 平 行 线 平行公理 平 移 判 定 性 质 垂线及性质 点到直线的距离 二 典型例题二 典型例题 1 下列说法正确的有 B 对顶角相等 相等的角是对顶角 若两个角不相等 则这两个角一定不是对顶角 若两个角不是对顶角 则这两个角不相等 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 6 D C BA GF E DC BA 12 F E D C BA l3 l2 l1 O 2 如图所示 下列说法不正确的是 D A 点 B 到 AC 的垂线段是线段 AB B 点 C 到 AB 的垂线段是线段 AC C 线段 AD 是点 D 到 BC 的垂线段 D 线段 BD 是点 B 到 AD 的垂线段 3 下列说法正确的有 C 在平面内 过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线 在平面内 过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线 在平面内 过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线 在平面内 有且只有一条直线垂直于已知直线 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 4 一学员驾驶汽车 两次拐弯后 行驶的方向与原来的方向相同 这两次拐弯的角度可能是 A A 第一次向左拐 30 第二次向右拐 30 B 第一次向右拐 50 第二次向左拐 130 C 第一次向右拐 50 第二次向右拐 130 D 第一次向左拐 50 第二次向左拐 130 5 如图 若 AC BC 于 C CD AB 于 D 则下列结论必定成立的是 C A CD AD B ACBD D CD 3 10 如图所示 L1 L2 L3交于点 O 1 2 3 1 8 1 求 4 的度数 方程思想 答案 36 11 如图所示 已知 AB CD 分别探索下列四个图形中 P 与 A C 的关系 请你从所 得的四个关系中任选一个加以说明 P DC B A P DC B A P DC BA P D C BA 1 2 3 4 1 分析 过点 P 作 PE AB APE A C 360 2 P A C 3 P C A 4 P A C 12 如图 若 AB EF C 90 求 x y z 度数 分析 如图 添加辅助线 证出 x y z 90 13 已知 如图 BAPAPD18012 1 2 3 8 求证 EF 分析 法一 法二 由 AB CD 证明PAB APC 所以EAP APF 所以 AE FP 所以 EF 第七讲 平面直角坐标系第七讲 平面直角坐标系 一 知识要点 一 知识要点 1 特殊位置的点的特征 1 各个象限的点的横 纵坐标符号 2 坐标轴上的点的坐标 轴上的点的坐标为 即纵坐标为 0 x 0 x 轴上的点的坐标为 即横坐标为 0 y 0 y 2 具有特殊位置的点的坐标特征 设 111 yxP 222 yxP 两点关于轴对称 且 1 P 2 Px 21 xx 21 yy 两点关于轴对称 且 1 P 2 Py 21 xx 21 yy 两点关于原点轴对称 且 1 P 2 P 21 xx 21 yy 3 距离 1 点 A到轴的距离 点 A 到轴的距离为 点 A 到轴的距离为 yxxyyx 9 2 同一坐标轴上两点之间的距离 A B 则 A B 则 0 A x 0 B x BA xxAB 0 A y 0 B y BA yyAB 二 典型例题二 典型例题 1 已知点 M 的坐标为 x y 如果 xyc b c a c a b 两点之间线段最短 由上式可变形得到 a c b b a c c b a 即有 三角形的两边之差小于第三边 2 高 由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线 顶点和垂足之间的线段叫做三角形 的高 3 中线 连接三角形的顶点和它对边的中点的线段 称为三角形的中线 4 角平分线 三角形一个内角的角平分线与这个角对边的交点和这个角的顶点之间线段称为三角形的角 平分线 12 D A BC 2 1 D A C B 二 典型例题二 典型例题 一 三边关系 1 已知三角形三边分别为 2 a 1 4 那么 a 的取值范围是 A 1 a 5 B 2 a 6 C 3 a 7 D 4 a 6 2 小颖要制作一个三角形木架 现有两根长度为 8m 和 5m 的木棒 如果要求第三根木棒 的长度是整数小颖有几种选法 可以是多少 分析 设第三根木棒的长度为 x 则 3 x AB AC 1 2 分析 因为 BD AD AB CD AD AC 所以 BD AD CD AD AB AC 因为 AD 是 BC 边上的中线 BD CD 所以 AD BD AB AC 1 2 二 三角形的高 中线与角平分线 问题 1 观察图形 指出图中出现了哪些高线 2 图中存在哪些相等角 注意基本图形 双垂直图形 4 如图 在直角三角形 ABC 中 AC AB AD 是斜边上的高 DE AC DF AB 垂足分别为 E F 则图中与 C C 除外 相等的角的个数是 A 5 B 4 C 3 D 2 分析 5 如图 ABC 中 A 40 B 72 CE 平分 ACB CD AB 于 D DF CE 求 CDF 的度数 分析 CED 40 34 74 所以 CDF 74 13 2 1 A B C D FED C B A F E D C B A 6 一块三角形优良品种试验田 现引进四种不同的种子进行对比试验 需要将这块地分 成面积相等的四块 请你设计出四种划分方案供选择 画图说明 分析 F E DC B A E DC B A F ED C B A 7 ABC 中 ABC ACB 的平分线相交于点 O 1 若 ABC 40 ACB 50 则 BOC 2 若 ABC ACB 116 则 BOC 3 若 A 76 则 BOC 4 若 BOC 120 则 A 5 你能找出 A 与 BOC 之间的数量关系吗 8 已知 BE CE 分别为 ABC 的外角 MBC NCB 的角平分线 求 E 与 A 的关系 分析 E 90 A 2 1 9 已知 BF 为 ABC 的角平分线 CF 为外角 ACG 的角平分线 求 F 与 A 的关系 分析 14 DCB E A F A 2 1 思考题 如图 ABC 与 ACG 的平分线交于 F1 F1BC 与 F1CG 的平分线交于 F2 如此下去 F2BC 与 F2CG 的平分线交于 F3 探究 Fn 与 A 的关系 n 为自然 数 第九讲 与三角形有关的角第九讲 与三角形有关的角 一 相关定理一 相关定理 一 三角形内角和定理 三角形的内角和为 180 二 三角形的外角性质定理 1 三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角和 2 三角形的任意一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 三 多边形内角和定理 n 边形的内角和为 2 180n 多边形外角和定理 多边形的外角和为360 二 典型例题二 典型例题 问题 1 如何证明三角形的内角和为 180 21 FE C B A 4 3 O N M 2 1 F E CB A 15 E DCB A D M E C B A D M E C B A D EC B A 1 如图 在 ABC 中 B C BAD 40 且 ADE AED 求 CDE 的度数 分析 CDE ADC 2 1 B 40 2 1 B 40 1 C 2 1 40 1 20 2 如图 在 ABC 中 C B AD BC 于 D AE 平分 BAC 求证 EAD C B 1 2 3 已知 CE 是 ABC 外角 ACD 的角平分线 CE 交 BA 于 E 求证 BAC B 分析 问题 2 如何证明 n 边形的内角和为 2 180n D M E C B A 4 多边形内角和与某一个外角的度数总和是 1350 求多边形的边数 5 科技馆为某机器人编制一段程序 如果机器人在平地上按照图 4 中的步骤行走 那么该 机器人所走的总路程为 A 6 米B 8 米 C 12 米D 不能确定 16 第十讲 二元一次方程组第十讲 二元一次方程组 一 相关知识点一 相关知识点 1 二元一次方程的定义 经过整理以后 方程只有两个未知数 未知数的次数都是 1 系数都不为 0 这样的整 式方程称为二元一次方程 2 二元一次方程的标准式 00 0axbycab 3 一元一次方程的解的概念 使二元一次方程左右两边的值相等的一对和的值 叫做这个方程的一个解 xy 4 二元一次方程组的定义 方程组中共含有两个未知数 每个方程都是一次方程 这样的方程组称为二元一次方 程组 5 二元一次方程组的解 使二元一次方程组的二个方程左右两边的值相等的两个未知数的值 叫做二元一次方 程组的解 二 典型例题二 典型例题 1 下列方程组中 不是二元一次方程组的是 C 1 23 x y 1 0 xy xy 1 0 xy xy 21 yx xy 2 有这样一道题目 判断是否是方程组的解 3 1 x y 250 2350 xy xy 小明的解答过程是 将 代入方程 等式成立 所以是方3x 1y 250 xy 3 1 x y 程组的解 250 2350 xy xy 小颖的解答过程是 将 分别代入方程和中 3x 1y 250 xy 2350 xy 17 得 所以不是方程组的解 250 xy 2350 xy 3 1 x y 250 2350 xy xy 你认为上面的解答过程哪个对 为什么 3 若下列三个二元一次方程 3x y 7 2x 3y 1 y kx 9 有公共解 那么 k 的取值应是 B A k 4 B k 4 C k 3 D k 3 分析 利用方程 3x y 7 和 2x 3y 1 组成方程组 求出 x y 再代入 y kx 9 求出 k 值 解 得 yx yx 132 73 1 2 y x 将代入 y kx 9 k 4 1 2 y x 4 解方程组 63101 321002 mn mn 方法一 代入消元法 解 由 2 得 把 3 代入 1 得 103 3 2 m n 4 3 m 把代入 3 得 4 3 m 3n 4 3 3 m n 方法二 加减消元法 解 2 2 6m 4n 20 0 3 3 1 7n 21 n 3 把代入 3 得 3n 4 3 m 4 3 3 m n 方法三 整体代入法 解 由 1 得 2 327103mnn 由 2 得 把 4 代入 3 得 32104mn 3n 把代入 4 得 3n 4 3 m 4 3 3 m n 方法三 整体代入法 18 解 由 1 得 2 321072103mnn 由 2 代入 3 得3n 把代入 2 得 3n 4 3 m 4 3 3 m n 5 已知方程组的解是 则方程组的 9 3053 1332 ba ba 2 1 3 8 b a 9 301523 131322 yx yx 解是 C A B C D 2 1 3 8 y x 2 2 3 10 y x 2 2 3 6 y x 2 0 3 10 y x 6 45 13 45 3 xy xy 解 设 则原方程组可化为 11 ab xy 45131 4532 ab ab 解得 2 1 a b 1 2 1 x y 7 解方程组 3 21 3532 x y xy 解 参数法 设 3 2 x y 3 2xk yk 把代入 2 得 3 2xk yk 3k 9 6 x y 8 解三元一次方程组 19 111 1 2 3 x2yz8 xy1 x2z2y3 分析 解 由 得 1 4 xy 把 分别代入 1 3 得 39 5 24 6 yz yz 由 6 得 24 7 yz 把 代入 得 3 24 9 6129 721 3 zz zz z z 把代入 得 3z 234 2 y y 把代入 4 得 2y 2 11x 1 2 3 x y z 9 字母系数的二元一次方程组 1 当为何值时 方程组有唯一的解 a 21 33 axy xy 分析 2 2 6x 2y 6 3 3 1 6 a x 5 当 a 6 时 方程有唯一的解 a x 6 5 三元一次方程组 二元一次方程组一元一次方程组 消元转化 消元 转化 20 1 2 1 当为何值时 方程组有无穷多解m 21 22 xy xmy 分析 1 2 2x 4y 2 3 3 2 4 m y 0 4 m 0 即 m 4 有无穷多解 10 一副三角板按如图方式摆放 且的度数比的度数大 若设的度数为 x 1 2 50 1 的度数为 y 则得到的方程组为2 A B C D 50 180 xy xy 50 180 xy xy 50 90 xy xy 50 90 xy xy 11 为了改善住房条件 小亮的父母考察了某小区的 A B 两套楼房 A 套楼房在第 3 层 楼 B 套楼房在第 5 层楼 B 套楼房的面积比 A 套楼房的面积大 24 平方米 两套楼房的房 价相同 第 3 层楼和第 5 层楼的房价分别是平均价的 1 1 倍和 0 9 倍 为了计算两套楼房的 面积 小亮设 A 套楼房的面积为 x 平方米 B 套楼房的面积为 y 平方米 根据以上信息列 出下列方程组 其中正确的是 A B C D 24 1 19 0 xy yx 24 9 01 1 yx yx 24 1 19 0 yx yx 24 9 01 1 xy yx 12 某水果批发市场香蕉的价格如下表 购买香蕉数 千克 不超过 20 千克20 千克以上但不超 过 40 千克 40 千克以上 每千克价格6 元5 元4 元 张强两次共购买香蕉 50 千克 第二次多于第一次 共付出 264 元 请问张强第一次 第 二次分别购买香蕉多少千克 分析 由题意知 第一次购买香蕉数小于 25 千克 则单价分为两种情况进行讨论 解 设张强第一次购买香蕉 x 千克 第二次购买香蕉 y 千克 由题意 0 x 25 1 当 0 x 20 y 40 时 由题意可得 解得 26456 50 yx yx 36 14 y x 21 2 当 040 时 由题意可得 解得 不合题意 26446 50 yx yx 18 32 y x 舍去 3 当 20 x 25 时 则 25 yb 则 a c b c a c b c 性质 2 不等式的两边同时乘以 或除以 同一个正数 不等号方向不变 若 a b 且 c 0 则 ac bc 性质 3 不等式的两边同时乘以 或除以 同一个负数 不等号方向改变 若 a b 且 c 0 则 acb 则 1 当时 则 即 大大 bx ax ax 取大 22 2 当时 则 即 小小取小 bx ax bx 3 当时 则 即 大小小大取中间 bx ax axb 4 当时 则无解 即 大大小小取不了 bx ax 二 典型例题 二 典型例题 1 下列关系不正确的是 A 若 则 B 若 则ba ab ba cb ca C 若 则 D 若 则ba dc dbca ba dc dbca 2 已知且 为任意有理数 下列式子中正确的是 yx 0 xya A B C D yx yaxa 22 ayax yx 3 下列判断不正确的是 A 若 则 B 若 则0 ab0 bc0 ac0 ba ba 11 C 若 则 D 若 则0 a0 b0 b ba ba ba 11 4 若不等式 ax b 的解集是 x 则 a 的范围是 a b A a 0 B a 0 C a 0 D a 0 5 解关于 x 的不等式 2355mxmxm 解 23 532 532 1550 32 5 2550 32 5 mxxm mxm mm m x m mm m x m 当时 则 当时 则 6 解关于 x 的不等式 21a xa 解 2 a 0 即 a 2 时 a a x 2 1 2 a2 时 a a x 2 1 2 a 0 即 a 2 时 不等式即 0 x3 则 m 的取值范围是 841xx xm A B C D 3m 3m 3m 3m 分析 10 关于 x 的不等式组 有四个整数解 则 a 的取值范围是 23 3 1 32 4 xx x xa A B C D 115 42 a 115 42 a 115 42 a 115 42 a 分析 不等式组可化为 ax x 42 8 所以 解得 134212 a 115 42 a 11 已知关于 的方程组的解适合不等式 求的取值范围 xy 21 21 xya xya 21xy a 解法一 由方程组可得 51 3 2 3 21 512 1 33 1 3 a x a y xy aa a 的取值范围是 a 1 3 a 25 解法二 1 2 2x y 3a 由题意 3a 1 所以 3 1 a 12 解下列不等式 1 2 5x 2x 解 1 不等式解集为 5425 a 2 不等式解集为 22xx 或 思考题 解下列含绝对值的不等式 1 2 213x 21 4 3 x 第十二讲 一元一次不等式 组 的应用第十二讲 一元一次不等式 组 的应用 一 能力要求一 能力要求 1 能够灵活运用有关一元一次不等式 组 的知识 特别是有关字母系数的不等式 组 的知识解决有关问题 2 能够从已知不等式 组 的解集 反过来确定不等式 组 中的字母系数取值范围 具 备逆向思维的能力 3 能够用分类讨论思想解有关问题 4 能利用不等式解决实际问题 二 典型例题二 典型例题 1 m 取什么样的负整数时 关于 x 的方程的解不小于 3 1 1 2 xm 分析 解方程得 x 2m 2 由题意 2m 2 3 所以 m 2 5 符合条件的 m 值为 1 2 26 2 已知 满足且 求的取值范围 xy 2 2210 xyaxya 31xy a 分析 解方程组 得 012 02 ayx ayx 13 25 ay ax 代入不等式 解得 2 1 a 3 比较和的大小 2 31aa 2 25aa 作差法比大小 解 22 22 22 22 22 3125 3125 6 60 6 3125 60 6 3125 60 6 3125 aaaa aaaa a aa aaaa aa aaaa aa aaaa 1 当即时 2 当即时 3 当即时 4 若方程组 的解为 x y 且 2 k0 3 此时 不满足 30 0 0 0 3 取整数值为 6 若 2 a 3 求不等式 x a 的解集 3 2a 5 4 xa 28 分析 解不等式 2 a 3 得 a 3 2a 7 20 由 x a 得 a 5 x a 5 4 xa 因为 a 所以 a 5 5 4 xa 5 a a 7 阅读下列不等式的解法 按要求解不等式 不等式的解的过程如下 1 0 2 x x 解 根据题意 得或 10 20 x x 1 10 20 x x 2 解不等式组 得 解不等式组 得 1 2x 2 1x 所以原不等式的解为或2x 1x 请你按照上述方法求出不等式的解 2 0 5 x x 分析 典型错误解法 由不等式得 或 2 0 5 x x 05 02 x x 05 02 x x 所以原不等式的解为或5 x2 x 正确解法 由不等式得 或 2 0 5 x x 05 02 x x 05 02 x x 所以原不等式的解为或5 x2 x 8 目前使用手机 有两种付款方式 第一种先付入网费 根据手机使用年限 平均每月分 摊 8 元 然后每月必须缴 50 元的占号费 除此之外 打市话 1 分钟付费 0 4 元 第二种方 式将储值卡插入手机 不必付入网费和占号费 打市话 1 分钟 0 6 元 若每月通话时间为 分钟 使用第一种和第二种付款方式的电话费分别为和 请算一算 哪种对用户合x 1 y 2 y 算 解 1 580 4yx 2 0 6yx 1 若 则 解得 12 yy 580 40 6xx 290