等边三角形的解题方法.doc

等边三角形的解题方法1等边三角形及其性质：三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线或底边上的高、中线所在直线；2等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为60的等腰三角形是等边三角形；3在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立【例1】如图，DAC和EBC均是等边三角形，A、C、B三点在一条直线上AE、BD分别与CD、CE交于点M、N (1)求证：ACEDCB; (2)求AFD的度数； (3)判断CMN的形状 【解法指导】根据等边三角形的性质，利用全等三角形中边角的关系可解决问题解：(1)等边三角形DAC与等边三角形EBC ACDC，CECB，ACDBCE60 ACEDCB 在ACE和DCB中，ACEDCB(2) ACEDCB, 12又1DFA2ACD AFDACD60(3) 在ACM和DCN中, ACMDCN CMCN 又DCN 60CMN是等边三角形【变式题组】01(天津)如图，P、Q是ABC的边BC上的两点，且BPPQQCAPAQ，则BAC的大小等于_ 度02(荆州)如图，D是等边ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由03如图，在正ABC中，D,E分别是BC、AC上的一点，且AECD AD与BE相交于点P，且BQAD于Q求证BP2PQ04(黄冈)如图，过边长为1的等边ABC的边AB上一点P，作PEAC于E，Q是BC延长线上一点，当PACQ时，连接PQ交AC于D，求DE的长【例2】P是ABC内一点，PBC30，PBA8，且PABPAC22，求APC的度数【解法指导】 由于PAB PAC,因而PA平分BAC,根据角平分线的特点可构造全等三角形，其方法一：在AB边上截取；方法二：延长AC边，又由于BPA150是特殊角，考虑BPA的完整性，因而取方法二的可能性更大解：延长AC到D，使ADAB，连接PD、BD,PBA8PAB 22BPA150，在ABP和ADP中，ABPADP APBAPD 150，BPDP ,PBAAPD 8BPD60, BPD是正三角形PBC30 PBCDBC在PBC和DBC中，PBCDBC , PCCD CPDCDP8APCAPD一CPD150一8142【变式题组】01如图，D是等边三角形ABC内一点，E为ABC外部一点，满足DADB，BEBA，DBEDBC求BED的度数02如图D是ABC外一点ABACBDCD，ABD60求ACD的度数 【例3】如图(1)，ABC等边三角形，BDC是顶角120的等腰三角形，以D为顶点作60的角，它的两边分别与AB、AC交于点M和N，连接MN(1)探究：MN、NC之间的关系，并加以证明; (2)若点M、N分别在射线AB、CA上，其他条件不变，再探究线段BM、MN、NC之间的关系，在图(2)中画出相应的图形并就结论说明理由 【解法指导】对于(1)，这时在DMB中，有DBMDBCCBA306090为了把BM，MN，NC集中到一个三角形中去，将DMB 绕D点顺时针旋转120得到DGC如图(3)从而有MBGC而此时恰又有MNDGND得MNNGNCCGNCBM对于(2)，此时的图形(4)，仍作(1)中的旋转，类似地可以推得MNCN一BM 解(1)关系为MNBMNC 证明：延长AC到G，使CGBM，连接DG，如图(3) ABDABCCBD60十3090同理也有ACD90 在DMB和DGC中； DBDCBMCG DMBDGC DMDGMDBGDC 在MND和GND中，ND公用，DMDG，MDN60 GDNGDCDCNMDBCDN60 MNDGND MNGNGC十NCBMNC (2)此时图形如图(4)，有关系式MNCNBM理由如下： 在CN上截取GGBM连接DG，如图(4)与(1)中情况类似可推得 ABDACD90且RtDMBDGC ，得DMDGMDBGDC仍与(1)中情况娄似，可推得MNDGND就有MNGNNCCGNCBM【变式题组】01用两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成四边形ABCD，把一个含60角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60角的顶点与点A重合两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转(1)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD相交于点E，F时，(如图1)，通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论； (2)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD的延长线相交于点F时(如图2)，你在(1)中得到的结论还成立吗，简要说明理由02如图四边形ABCD中，ABAD，BAD60，BCD120求证：ACBCDC练习01如图ABC是等边三角形，ADBC，点E在AC上，且AEAD，则DEC( )A 105 B 85 C 95 D 75第1题图 第2题图02如图，等边ABC，D在AC上，延长BC到E使CECD，若BDDE，给出下列结论： BD平分ABC AD AB CE BC A2E，其中正确结论的个数是( )A4个 B 3个 C 2个 D 1个03(河北)如图，等边ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC 上的点，将ABC沿直线DE折叠，点A落在A处，且A在ABC外部，则阴影部分图形的周长为_ cm第3题图 第4题图 第5题图 04在等边ABC中，AC9，点O在AC上，且AO3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60，得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP_05如图，ABC是等边三角形，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且DEBC，EFAC，FDAB，试判断DEF是否为等边三角形，并说明理由06请你用三种不同的分割方法，将图中的三个正三角形分别分割成四个等腰三角形(在图中画出分割线，并标出必要的角的度数) 07如图，点D是等边ABC边AB上的一点AB3AD，DEBC于点E，AE、CD相交于点F(1)求证：ACDBAE：(2)过点C作CGAE，垂足为点G，探究CF与FG之间的数量关系，并证明08如图：ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将线段DB绕点D顺时针旋转60得到线段DE，延长ED交AC于点F，连接DC，AE求证：ADEDFC09如图：ABC是等边三角形，点D、E分别在CA、AB的延长线上， ADBEDB的延长线交EC于F求证：(1)DBEC；(2) BFC6010(常德)如图1，若ABC与AD