江苏省苏州市2018届第一学期期末高三调研测试数学试卷及参考答案

第 1 页 苏州市 2018 届高三调研测试 数学 试题 2018 1 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共计 70 分 不需要写出解答过程 请把答案直接填 在答题卡相应位置上 1 已知 i 为虚数单位 复数的模为 33 i 22 z 2 已知集合 且 则正整数 1 2 a A 1 1 4 B AB a 3 在平面直角坐标系 xOy 中 抛物线的焦点坐标为 2 8yx 4 苏州轨道交通1 号线每 5 分钟一班 其中 列车在车站停留0 5 分钟 假设乘客到达站台的时刻是随机的 则该乘客到达站台 立即能乘上车的概率为 5 已知 则正实数 42 a log2 ax a x 6 秦九韶是我国南宋时期的数学家 他在所著的 数书九章 中 提出的多项式求值的秦九韶算法 至今仍是比较先进的算法 右边的流程图是秦九韶算法的一个实例 若输入 n x 的值分别 为 3 3 则输出 v 的值为 7 已知变量 x y 满足则的最大值为 03 0 30 x xy xy 23zxy 8 已知等比数列的前 n 项和为 且 则的值为 n a n S 6 3 19 8 S S 42 15 8 aa 3 a 9 鲁班锁是中国传统的智力玩具 起源于中国古代建筑中首创的 榫卯结构 它的外观是如图所示的十字立方体 其上下 左右 前后完全对称 六根等长的正四棱柱体分成三组 经 90 榫卯 起来 若正四棱柱的高为 5 底面正方形的边长为 1 现将该鲁 班锁放进一个球形容器内 则该球形容器的表面积至少为 容器壁的厚度忽略不计 结果保留 10 如图 两座建筑物 AB CD 的高度分别是 9m 和 15m 从建筑物 AB 的 顶部 A 看建筑物 CD 的张角 则这两座建筑物 AB 和 CD 的45CAD 底部之间的距离 m BD D C B A 第 10 题图 v 1 i n 1 v vx i i i 1 输出 v N Y 开始 结束 输入 n x i 0 第 6 题图 第 9 题图 第 2 页 11 在平面直角坐标系 xOy 中 已知过点的圆和直线 x y 1 相切 且圆心在直线 y 2 1 A C 2x 上 则圆 C 的标准方程为 12 已知正实数 a b c 满足 则的取值范围是 11 1 ab 11 1 abc c 13 如图 ABC 为等腰三角形 以 A 为圆心 1 为半径的圆分别120BAC 4ABAC 交 AB AC 与点 E F 点 P 是劣弧上的一点 则 A EF 的取值范围是 PB PC 14 已知直线 y a 分别与直线 曲线交22yx 2exyx 于点 A B 则线段 AB 长度的最小值为 二 解答题 本大题共 6 小题 共计 90 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 已知函数 2 3cossin 2 3sin2f xxxx 1 求函数的最小值 并写出取得最小值时自变量 x 的取值集合 f x f x 2 若 求函数的单调增区间 2 2 x f x 16 本小题满分 14 分 如图 在正方体中 已知 E F G H 分别是 A1D1 B1C1 D1D C1C 的中 1111 ABCDABC D 点 1 求证 EF 平面 ABHG 2 求证 平面 ABHG 平面 CFED P F E C B A 第 13 题图 A1B1 C1 D1 AB C D E F G H 第 3 页 17 本小题满分 14 分 如图 B C 分别是海岸线上的两个城市 两城市间由笔直的海滨公路相连 B C 之间的距离 为 100km 海岛 A 在城市 B 的正东方 50处 从海岛 A 到城市 C 先乘船按北偏西 角 km 其中锐角的正切值为 航行到海岸公路 P 处登陆 再换乘汽车到城市 C 已 2 1 2 知船速为 25km h 车速为 75km h 1 试建立由 A 经 P 到 C 所用时间与的函数解析式 2 试确定登陆点 P 的位置 使所用时间最少 并说明理由 18 本小题满分 16 分 在平面直角坐标系 xOy 中 椭圆的离心率为 椭圆上动点到一 22 22 1 0 xy Cab ab 2 2 P 个焦点的距离的最小值为 3 21 1 求椭圆 C 的标准方程 2 已知过点的动直线 l 与椭圆 C 交于 A B 两点 试判断以 AB 为直径的圆是否 0 1 M 恒过定点 并说明理由 O y x B A M B C P 东 北 A 第 4 页 19 本小题满分 16 分 已知各项是正数的数列的前 n 项和为 n a n S 1 若 n N n 2 且 2 1 2 3 n nn a SS 1 2a 求数列的通项公式 n a 若对任意恒成立 求实数的取值范围 1 2n n S n N 2 数列是公比为 q q 0 q 1 的等比数列 且 an 的前 n 项积为 若存在正整 n a10 n T 数 k 对任意 n N 使得为定值 求首项的值 1 kn kn T T 1 a 20 本小题满分 16 分 已知函数 32 0 e 0 x xxx f x axx 1 当时 求函数的单调区间 2a f x 2 若方程在区间 0 上有实数解 求实数 a 的取值范围 e3 x fxf x 3 若存在实数 且 使得 求证 0 2 m n 1mn f mf n 1e e1 a 第 5 页 2018 届高三调研测试 数学 附加题 2018 1 21 选做题 本题包括 四小题 请选定其中两题 并在相应的答题区域内作答 ABCD 若多做 则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 选修选修 4 1 几何证明选讲 几何证明选讲 本小题满分 10 分 A 如图 与圆 O 分别切于点 B C 点 P 为圆 O 上异于点 B C 的任意一点 ABAC 于点 D 于点 E 于点 F PDAB PEAC PFBC 求证 2 PFPD PE 选修选修 4 2 矩阵与变换 矩阵与变换 本小题满分 10 分 B 已知 求 12 21 M 1 7 4 M 选修选修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 本小题满分 10 分 C 在平面直角坐标系 xOy 中 直线 l 的参数方程为 t 为参数 以原点 O 为极点 x 轴 1 3 xt yt 正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C 的极坐标方程为 若直线 l 与曲线 C 相交于 2 2cos sin A B 两点 求 AOB 的面积 选修选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 本小题满分 10 分 D 已知 a b c R 若对一切实数 a b c 恒成立 222 1abc 2 1 1 xxabc D P F E O C B A 第 6 页 求实数 x 的取值范围 必做题 第 22 题 第 23 题 每题 10 分 共计分 共计 20 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写 出文字说明 证明过程或演算步骤 22 本小题满分 10 分 如图 已知矩形 ABCD 所在平面垂直于直角梯形 ABPE 所在平面于直线 AB 且 ABBP2 AD AE 1 AE AB 且 AE BP 1 求平面 PCD 与平面 ABPE 所成的二面角的余弦值 2 线段 PD 上是否存在一点 N 使得直线 BN 与平面 PCD 所成角的正弦值等于 若存在 2 5 试确定点 N 的位置 若不存在 请说明理由 23 本小题满分 10 分 在正整数集上定义函数 满足 且 yf n 1 1 2 2 1 f nf nf n 1 2f 1 求证 9 3 2 10 ff 2 是否存在实数 a b 使 对任意正整数 n 恒成立 并证明你的结 1 1 3 2 n f n ab 论 P N E DC B A z y x 第 7 页 苏州市苏州市 2018 届高三调研测试数学试卷参考答案届高三调研测试数学试卷参考答案 一 填空题 共 70 分 1 2 23 4 5 6 487 8 9 3 2 0 1 10 1 2 9 9 4 30 10 1811 12 13 14 22 1 2 2xy 4 1 3 11 9 3ln2 2 二 解答题 共 90 分 15 解 1 2 3cossin 2 3sin2f xxxx 22 3cos2 3sin cossin2 3sin2xxxxx 2 分 3 1cos2 1cos2 3sin2 22 xx x 4 分cos23sin22xx 2cos 2 2 3 x 当 即时 取得最小值 0 22 3 xk 3 xkk Z f x 此时 取得最小值时自变量 x 的取值集合为 f x 3 x xkk Z 7 分 注 结果不写集合形式扣 1 分 2 因为 2cos 2 2 3 f xx 令 8 分2222 3 kxkk Z 解得 10 分 36 kxkk Z 又 令 令 2 2 x 1k 26 x 0k 3 2 x 所以函数在的单调增区间是和 14 分 2 2 26 3 2 注 如果写成两区间的并集 扣 1 分 其中写对一个区间给 2 分 16 证明 1 因为 E F 是 A1D1 B1C1的中点 所以 11 EFAB 在正方体中 A1B1 AB 1111 ABCDABC D 注 缺少 A1B1 AB 扣 1 分 所以 3 分EFAB 又平面 ABHG AB平面 ABHG EF 注 缺少 AB平面 ABHG 不扣分 所以 EF 平面 ABHG 6 分 2 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 CD 平面 BB1C1C 又平面 所以 8 分BH 11 BBC CBHCD 设 BCH 所以 BHCFP 1 CC F 1 HBCFCC A1B1 C1D1 AB C D E F G H P 第 8 页 因为 HBC PHC 90 所以 PHC 90 1 FCC 所以 即 11 分90HPC BHCF 由 又 DC CF 平面 CFED DCCFC 所以平面 CFED BH 又平面 ABHG BH 所以平面 ABHG 平面 CFED 14 分 注 缺少平面 ABHG 此三分段不给分 BH 17 解 1 由题意 轮船航行的方位角为 所以 90BAP 50AB 则 5050 cos 90 sin AP 50sin 90 50cos 50tan 90 cos 90 sin BP 4 分 50cos 100100 sin PCBP 注 AP BP 写对一个给 2 分 由 A 到 P 所用的时间为 1 2 25sin AP t 由 P 到 C 所用的时间为 6 分 2 50cos 100 42cos sin 7533sin t 所以由 A 经 P 到 C 所用时间与 的函数关系为 8 分 12 242cos62cos4 sin33sin3sin3 tft 函数的定义域为 其中锐角的正切值为 f 2 1 2 2 由 1 62cos4 3sin3 f 2 令 解得 10 分 2 13cos 9si 6 n f 0f 1 cos 3 设 0 使 0 2 0 1 cos 3 0 0 0 2 f 0 f 减函数极小值增函数 12 分 所以 当时函数 f 取得最小值 此时 BP 17 68 0 0 0 50cos25 2 sin2 km 答 在 BC 上选择距离 B 为 17 68 处为登陆点 所用时间最少 14 分 km 注 结果保留根号 不扣分 18 解 1 由题意 故 1 分 2 2 c a 2ac 又椭圆上动点到一个焦点的距离的最小值为 所以 P3 21 3 23ac 2 分 解得 所以 4 分3c 3 2a 222 9bac 第 9 页 所以椭圆 C 的标准方程为 6 分 22 1 189 xy 2 当直线 l 的斜率为 0 时 令 则 1y 4x 此时以 AB 为直径的圆的方程为 7 分 2 1 16xy 当直线 l 的斜率不存在时 以 AB 为直径的圆的方程为 8 分 22 9xy 联立解得 即两圆过点 2 22 1 16 9 xy xy 0 3xy 0 3 T 猜想以 AB 为直径的圆恒过定点 9 分 0 3 T 对一般情况证明如下 设过点的直线 l 的方程为与椭圆 C 交于 0 1 M 1ykx 1122 A x yB xy 则整理得 22 1 218 ykx xy 22 12 4160kxkx 所以 12 分 1212 22 416 1212 k xxx x kk 注 如果不猜想 直接写出上面的联立方程 韦达定理 正确的给 3 分 因为 1122121212 3 3 3 9TA TBx yxyx xy yyy 121212 1 1 3 11 9x xkxkxkxkx 2 1212 1 4 16kx xk xx 222 222 16 1 1616 12 16160 121212 kkk kkk 所以 TATB 所以存在以AB 为直径的圆恒过定点 T 且定点 T 的坐标为 16 分 0 3 19 解 1 当时 由 2n 2 1 2 3 n nn a SS 则 2 1 1 2 3 n nn a SS 得 即 2 分 22 11 1 3 nnnn aaaa 1 3 nn aa 2n 当时 由 知 即 2n 2 2 121 2 3 a aaa 2 22 3100aa 解得或 舍 2 5a 2 2a 所以 即数列为等差数列 且首项 21 3aa n a 1 3a 所以数列的通项公式为 5 分 n a31 n an 注 不验证扣 1 分 21 3aa 由 知 所以 31 n an 2 312 3 22 n nnnn S 由题意可得对一切恒成立 2 12 3 22 n nn Snn n N 记 则 2 2 3 2 n n nn c 2 1 1 3 1 1 2 n n nn c 2n 第 10 页 所以 8 分 2 1 2 3114 2 nn n nn cc 2n 当时 当时 且 4n 1nn cc 4n 4 13 16 c 3 15 16 c 2 7 8 c 1 1 2 c 所以当时 取得最大值 3n 2 2 3 2 n n nn c 15 16 所以实数的取值范围为 11 分 15 16 2 由题意 设 两边取常用对数 1 1 n n aa q 0 1qq 12 10 n T n aaa 12 lglglg nn Taaa 令 1 lglglglg nn banqaq 则数列是以为首项 为公差的等差数列 13 分 n b 1 lgalgq 若为定值 令 则 1 kn kn T T 1 kn kn T T 1 1 1 1 1 1 lglg 2 1 lglg 2 kn kn knaq kn kn knaq 即对恒成立 2 22 1 1 lg 1 lg lg0 a kkq nkkq q n N 因为 问题等价于0 1qq 22 2 1 1 0 1 0 kk kkaq 或 将代入 解得 1k k 1 0kk 01 或 因为 所以 k N0 1 所以 又故 16 分 2 1 aq 0 n a 1 aq 20 解 1 当时 2a 32 0 e 2 0 x xxx f x xx 当时 则 0 x 32 f xxx 2 32 32 fxxxxx 令 解得或 舍 所以时 0fx 0 x 2 3 x 0 x 0fx 所以函数在区间上为减函数 2 分 f x 0 当时 0 x e2 x f xx e2 x fx 令 解得 当时 当时 0fx ln2x 0ln2x 0fx ln2x 0fx 所以函数在区间上为减函数 在区间上为增函数 f x 0 ln2 ln2 且 4 分 0 10f 综上 函数的单调减区间为和 单调增区间为 f x 0 0 ln2 ln2 第 11 页 5 分 注 将单调减区间为和写出的扣 1 分 0 0 ln2 ln2 2 设 则 所以 0 x 0 x 32 exfxf xxxax 由题意 在区间上有解 32 ee3 xx xxax 0 等价于在区间上有解 6 分 2 3 axx x 0 记 2 3 0 g xxxx x 则 7 分 322 222 323 1 233 21 xxxxx g xx xxx 令 因为 所以 故解得 0g x 0 x 2 2330 xx 1x 当时 当时 0 1 x 0g x 1 x 0g x 所以函数在区间上单调递减 在区间上单调递增 g x 0 1 1 故函数在处取得最小值 9 分 g x1x 1 5g 要使方程在区间上有解 当且仅当 ag x 0 min 1 5ag xg 综上 满足题意的实数 a 的取值范围为 10 分 5 3 由题意 exfxa 当时 此时函数在上单调递增 0a 0fx f x 0 由 可得 与条件矛盾 所以 11 分 f mf n mn 1mn 0a 令 解得 0fx lnxa 当时 当时 0 ln xa 0fx ln xa 0fx 所以函数在上单调递减 在上单调递增 f x 0 ln a ln a 若存在 则介于 m n 之间 12 分 0 2 m n f mf n lna 不妨设 0ln2man 因为在上单调递减 在上单调递增 且 f x ln ma ln a n f mf n 所以当时 mxn f xf mf n 由 可得 故 02mn 1mn 1 m n 1 ff mf n 又在上单调递减 且 所以 f x ln ma0lnma 0 f mf 所以 同理 14 分 1 0 ff 1 2 ff 即解得 2 e1 ee2 a aa 2 e1eea 所以 16 分1e e1 a 2018 届高三调研测试数学附加题参考答案 21B 选修 4 2 矩阵与变换 解 矩阵的特征多项式为 2 分M 2 12 23 21 f 第 12 页 令 解得 解得 0f 12 3 1 属于 1的一个特征向量为 属于 2的一个特征向量为 5 分 1 1 1 2 1 1 令 即 所以解得 12 mn 111 711 mn 1 7 mn mn 4 3mn 7 分 所以 4444 1212 43 4 3 MMMM 10 分 4444 1122 11321 4 3 433 1 11327 21C 选修 4 4 坐标系与参数方程 解 由曲线 C 的极坐标方程是 得 2sin2 2 cos 2 2cos sin 所以曲线 C 的直角坐标方程是 y2 2x 2 分 由直线 l 的参数方程 t 为参数 得 1 3 xt yt 40 xy 所以直线 l 的普通方程为 4 分40 xy 将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程 y2 2x 得 2 870tt 设 A B 两点对应的参数分别为 t1 t2 所以 7 分 22 12121 2 2 2 42 84 76 2ABttttt t 因为原点到直线的距离 40 xy 4 2 2 2 d 所以 AOB 的面积是 10 分 11 6 2 2 2 12 22 SAB d 21D 选修 4 5 不等式选讲 解 因为 a b c R 222 1abc 由柯西不等式得 4 分 2222 1 1 1 3abcabc 因为对一切实数 a b c 恒成立 2 1 1 xxabc 所以 1 1 3xx 当时 即 1x 23x 3 2 x 当时 不成立 11x 23 当时 即 1x 23x 3 2 x 综上 实数 x 的取值范围为 10 分 33 22 22 解 1 因为平面 ABCD 平面 ABEP 平面 ABCD 平面 ABEPAB BP AB 所以 BP 平面 ABCD 又 AB BC 所以直线 BA BP BC 两两垂直 以 B 为原点 分别以 BA BP BC 为 x 轴 y 轴 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 则 P 0 2 0 B 0 0 0 D 2 0 1 E 2 1 0 C 0 0 1 因为 BC 平面 ABPE 所以为平面 ABPE 的一个法向量 2 分 0