【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义 第1章 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案 苏教版

1 学案学案 3 3 简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词 导学目标导学目标 1 了解逻辑联结词 或 且 非 的含义 2 理解全称量词与存在量词的 意义 3 能正确地对含有一个量词的命题进行否定 自主梳理 1 逻辑联结词 命题中的或 且 非叫做逻辑联结词 p且q 记作p q p或q 记作p q 非 p 记作綈p 2 命题p q p q 綈p的真假判断 pqp qp q 綈p 真真真真假 真假假真假 假真假真真 假假假假真 3 全称量词与存在量词 1 短语 所有的 任意一个 在逻辑中通常叫做全称量词 并用符号 表 示 含有全称量词的命题 叫做全称命题 可用符号简记为 x M p x 它的否定 x M 綈p x 2 短语 存在一个 至少有一个 在逻辑中通常叫做存在量词 并用符号 表 示 含有存在量词的命题 叫做存在性命题 可用符号简记为 x M p x 它的否 定 x M 綈p x 自我检测 1 命题 x R R x2 2x 1 0 的否定是 答案 x R R x2 2x 1 0 解析 因要否定的命题是存在性命题 而存在性命题的否定为全称命题 对 x2 2x 10 则x2 0 的否命题是 命题 填 真 或 假 答案 假 解析 其否命题是 若x 0 则x2 0 为假命题 4 若 x 2 5 或x x x4 是假命题 则x的取值范围是 答案 1 2 解析 x 2 5 且x x x4 是真命题 由Error 得 1 x 2 故填 1 2 5 2009 辽宁改编 下列 4 个命题 x 0 xlogx 1 2 1 3 x 0 x logx 1 2 1 2 2 x 0 x logx 1 3 1 2 1 3 其中的真命题是 填序号 答案 解析 取x 则 logx 1 logx log32 1 1 2 1 2 1 3 正确 当x 0 时 x1 正确 1 3 1 2 1 3 探究点一探究点一 判断含有逻辑联结词的命题的真假判断含有逻辑联结词的命题的真假 例 1 写出由下列各组命题构成的 p q p q 綈p 形式的复合命题 并判 断真假 1 p 1 是素数 q 1 是方程x2 2x 3 0 的根 2 p 平行四边形的对角线相等 q 平行四边形的对角线互相垂直 3 p 方程x2 x 1 0 的两实根的符号相同 q 方程x2 x 1 0 的两实根的绝对 值相等 解题导引 正确理解逻辑联结词 或 且 非 的含义是解题的关键 应根据组 成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断 其步骤为 确定复合命题的构成形式 判断其中简单命题的真假 根据其真值表判断复合 命题的真假 解 1 p q 1 是素数或是方程x2 2x 3 0 的根 真命题 p q 1 既是素数又是方程x2 2x 3 0 的根 假命题 綈p 1 不是素数 真命题 2 p q 平行四边形的对角线相等或互相垂直 假命题 p q 平行四边形的对角相等且互相垂直 假命题 綈p 有些平行四边形的对角线不相等 真命题 3 p q 方程x2 x 1 0 的两实根的符号相同或绝对值相等 假命题 p q 方程x2 x 1 0 的两实根的符号相同且绝对值相等 假命题 綈p 方程x2 x 1 0 的两实根的符号不相同 真命题 变式迁移 1 已知命题p x R R 使 tan x 1 命题q x2 3x 2 0 的解集是 x 1 x 2 给出下列结论 命题 p q 是真命题 命题 p 綈q 是假命题 命题 綈p q 是真命题 命题 綈p 綈q 是假命题 其中正确的是 填序号 答案 解析 命题p x R R 使 tan x 1 是真命题 命题q x2 3x 2 0 的解集是 x 1 x 1 2 2 使 cos cos cos 3 x y N N 都有x y N N 4 x0 y0 Z Z 使得x0 y0 3 2 3 解题导引 判定一个全称 存在性 命题的真假的方法 1 全称命题是真命题 必须确定对集合中的每一个元素都成立 若是假命题 举反例 即可 2 存在性命题是真命题 只要在限定集合中 至少找到一个元素使得命题成立 解 1 真命题 因为x2 x 1 x 2 1 2 3 4 3 4 1 2 2 真命题 如 符合题意 4 2 3 假命题 例如x 1 y 5 但x y 4N N 4 真命题 例如x0 0 y0 3 符合题意 变式迁移 2 2010 江苏苏州中学阶段性测试一 若命题 x R R 使得x2 1 a x 10 解得a3 探究点三探究点三 全称命题与存在性命题的否定全称命题与存在性命题的否定 例 3 写出下列命题的 否定 并判断其真假 1 p x R R x2 x 0 1 4 2 q 所有的正方形都是矩形 3 r x R R x2 2x 2 0 4 s 至少有一个实数x 使x3 1 0 解题导引 1 全称 存在性 命题的否定与一般命题的否定有着一定的区别 全称 存 在性 命题的否定是将其全称量词改为存在量词 或把存在量词改为全称量词 并把结 论否定 而一般命题的否定则是直接否定结论即可 2 要判断 綈p 命题的真假 可以直接判断 也可以判断p的真假 因为p与綈p 的真假相反且一定有一个为真 一个为假 解 1 綈p x R R x2 x 0 是真命题 这是由于 x R R x2 2x 2 x 1 2 1 1 0 成立 4 綈s x R R x3 1 0 是假命题 这是由于x 1 时 x3 1 0 变式迁移 3 2010 深圳一模 已知命题p x R R x2 2ax a 0 若命题p是假命 题 则实数a的取值范围为 答案 0 1 解析 p为假 即 x R R x2 2ax a 0 为真 4a2 4a 0 0 a 1 转化与化归思想转化与化归思想 例 14 分 已知命题p x 1 2 x2 a 0 命题 q x0 R R x 2ax0 2 a 0 若命题 p且q 是真命题 求实数a的取值范 2 0 围 答题模板 4 解 由 p且q 是真命题 则p为真命题 q也为真命题 4 分 若p为真命题 a x2恒成立 x 1 2 a 1 8 分 若q为真命题 即x2 2ax 2 a 0 有实根 4a2 4 2 a 0 即a 1 或a 2 12 分 综上 所求实数a的取值范围为a 2 或a 1 14 分 突破思维障碍 含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的 一个或两个 命题的真假 求出参数存在 的条件 命题p转化为恒成立问题 命题q转化为方程有实根问题 最后再求出含逻 辑联结词的命题成立的条件 若直接求p成立的条件困难 可转化成求綈p成立的条 件 然后取补集 易错点剖析 p且q 为真是全真则真 要区别 p或q 为真是一真则真 命题q就是方程 x2 2ax 2 a 0 有实根 所以 0 不是找一个x0使方程成立 1 逻辑联结词 或 且 非 的含义的理解 1 或 与日常生活用语中的 或 意义有所不同 日常用语 或 带有 不可兼有 的意思 如工作或休息 而逻辑联结词 或 含有 同时兼有 的意思 如x9 2 命题 非p 就是对命题 p 的否定 即对命题结论的否定 否命题是四种命题 中的一种 是对原命题条件和结论的同时否定 2 判断复合命题的真假 要首先确定复合命题的构成形式 再指出其中简单命题的真 假 最后根据真值表判断 3 全称命题 x M p x 的否定是一个存在性命题 x M 綈p x 存在性命 题 x M p x 的否定是一个全称命题 x M 綈p x 满分 90 分 一 填空题 每小题 6 分 共 48 分 1 2011 常州月考 已知命题p x R R x2 3x 3 0 则綈p为 答案 x R R x2 3x 3 0 2 已知命题p x R R ax2 2x 3 0 如果命题綈p是真命题 那么实数a的取值 范围是 答案 1 3 解析 命题綈p是真命题 命题p是假命题 而当命题p是真命题时 不等式 ax2 2x 3 0 对一切x R R 恒成立 这时应有Error 解得a 因此当命题p是假命题 1 3 即命题綈p是真命题时 5 实数a的范围是a 1 3 3 已知条件p x 1 2 条件q x a 且綈p是綈q的充分不必要条件 则a的取 值 范围是 答案 1 解析 綈p是綈q的充分不必要条件的等价命题为q是p的充分不必要条件 即 q p 而pq 条件p化简为x 1 或x0 则a 0 则它的否命题是 答案 a b R R 如果ab 0 则a 0 解析 a b R R 是大前提 在否命题中也不变 又因ab 0 a 0 的否定分别为 ab 0 a 0 5 下列有关命题的说法中正确的有 填序号 命题 若x2 1 则x 1 的否命题为 若x2 1 则x 1 x 1 是 x2 5x 6 0 的必要不充分条件 命题 x R R 使得x2 x 1 0 的否定是 x R R 均有x2 x 13 的否定是 答案 x R R x 2 x 4 3 7 2011 镇江模拟 已知命题p x R R m R R 使 4x 2x 1 m 0 若命题綈p 是假命题 则实数m的取值范围为 答案 m 1 解析 命题綈p是假命题 即命题p是真命题 也就是关于x的方程 4x 2x 1 m 0 有实数解 即m 4x 2x 1 令f x 4x 2x 1 由于f x 2x 1 2 1 所以当x R R 时f x 1 因此实数m的取值范围是m 1 8 2010 安徽 命题 存在x R R 使得x2 2x 5 0 的否定是 答案 对任意x R R 都有x2 2x 5 0 解析 因存在性命题的否定是全称命题 所以得 对任意x R R 都有x2 2x 5 0 二 解答题 共 42 分 9 14 分 分别指出由下列命题构成的 p q p q 綈p 形式的命题的真假 1 p 4 2 3 q 2 2 3 2 p 1 是奇数 q 1 是质数 3 p 0 q x x2 3x 5 0 R R 4 p 5 5 q 27 不是质数 解 1 p是假命题 q是真命题 p q为真命题 p q为假命题 綈p为真命题 3 分 2 1 是奇数 p是真命题 又 1 不是质数 q是假命题 因此p q为真命题 p q为假命题 綈p为假命题 6 分 3 0 p为假命题 又 x2 3x 5 0 x 3 29 2 3 29 2 x x2 3x 5 0 x x0 对一切x R R 恒成立 q 函数f x 3 2a x是增函数 若p或q为真 p且q为假 求实数a的取值范围 解 设g x x2 2ax 4 由于关于x的不等式x2 2ax 4 0 对一切x R R 恒成立 所以函数g x 的图象开口向 上且与x轴没有交点 故 4a2 16 0 2 a1 a 1 6 分 又由于p或q为真 p且q为假 可知p和