2016年高考江苏数学试题及答案(word解析版)

1 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 江苏卷 年普通高等学校招生全国统一考试 江苏卷 数学数学 参考公式 参考公式 样本数据的方差 其中 12 n x xx 2 2 1 1 n i i sxx n 1 1 n i i xx n 棱柱的体积 其中是棱柱的底面积 是高 VSh Sh 棱锥的体积 其中是棱锥的底面积 为高 1 3 VSh Sh 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 共计分 共计 70 分 分 请把答案填写在答题卡相应位置上请把答案填写在答题卡相应位置上 1 2016 年江苏 1 5 分 已知集合 则 1 2 3 6A 23Bxx AB 答案 1 2 解析 由交集的定义可得 1 2AB 点评 本题考查的知识点是集合的交集及其运算 难度不大 属于基础题 2 2016 年江苏 2 5 分 复数 其中 为虚数单位 则的实部是 12i3iz iz 答案 5 解析 由复数乘法可得 则则的实部是 5 55iz z 点评 本题考查了复数的运算性质 考查了推理能力与计算能力 属于基础题 3 2016 年江苏 3 5 分 在平面直角坐标系中 双曲线的焦距是 xOy 22 1 73 xy 答案 2 10 解析 因此焦距为 22 10cab 22 10c 点评 本题重点考查了双曲线的简单几何性质 考查学生的计算能力 比较基础 4 2016 年江苏 4 5 分 已知一组数据 4 7 4 8 5 1 5 4 5 5 则该组数据的方差是 答案 0 1 解析 5 1x 222222 1 0 40 300 30 40 1 5 s 点评 本题考查方差的求法 是基础题 解题时要认真审题 注意方差计算公式的合理运用 5 2016 年江苏 5 5 分 函数的定义域是 2 32yxx 答案 3 1 解析 解得 因此定义域为 2 320 xx 31x 3 1 点评 本题考查的知识点是函数的定义域 二次不等式的解法 难度不大 属于基础题 6 2016 年江苏 6 5 分 如图是一个算法的流程图 则输出的值是 a 答案 9 解析 的变化如下表 a b a159 b975 则输出时 9a 点评 本题考查的知识点是程序框图 当循环次数不多 或有规律可循时 可采用模拟程序法进行解答 7 2016 年江苏 7 5 分 将一个质地均匀的骰子 一种各个面上分别标有个点为正方体玩具 1 2 3 4 5 6 先后抛掷 2 次 则出现向上的点数之和小于 10 的概率是 答案 5 6 解析 将先后两次点数记为 则共有个等可能基本事件 其中点数之和大于等于 10 有 x y6636 2 六种 则点数之和小于 10 共有 30 种 概率为 4 6 5 5 5 6 6 4 6 5 6 6 305 366 点评 本题考查概率的求法 是基础题 解题时要认真审题 注意对立事件概率计算公式的合理运用 8 2016 年江苏 8 5 分 已知是等差数列 是其前项和 若 则的值是 n a n Sn 2 12 3aa 5 10S 9 a 答案 20 解析 设公差为 则由题意可得 解得 则d 2 11 3aad 1 51010ad 1 4a 3d 9 48 320a 点评 本题考查等差数列的第 9 项的求法 是基础题 解题时要认真审题 注意等差数列的性质的合理运 用 9 2016 年江苏 9 5 分 定义在区间上的函数的图象与 0 3 sin2yx 的图象的交点个数是 cosyx 答案 7 解析 画出函数图象草图 共 7 个交点 点评 本题考查正弦函数与余弦函数的图象 作出函数与在区sin2yx cosyx 间 上的图象是关键 属于中档题 0 3 10 2016 年江苏 10 5 分 如图 在平面直角坐标系中 是椭圆xOyF 22 22 10 xy ab ab 的右焦点 直线与椭圆交于两点 且 则该椭圆的离心率是 2 b y B C90BFC 答案 6 3 解析 由题意得 直线与椭圆方程联立可得 由可得 0F c 2 b y 3 22 a b B 3 22 a b C 90BFC 则 由可得0BF CF 3 22 ab BFc 3 22 ab CFc 222 31 0 44 cab 222 bac 则 22 31 42 ca 26 33 c e a 点评 本题考查椭圆的离心率的求法 注意运用两直线垂直的条件 斜率之积为 1 考查化简整理的运算能 力 属于中档题 11 2016 年江苏 11 5 分 设是定义在上且周期为 2 的函数 在区间上 f xR 1 1 10 2 01 5 xax f x xx 其中 若 则的值是 a R 59 22 ff 5fa 答案 2 5 解析 由题意得 由可得 511 222 ffa 91211 225210 ff 59 22 ff 11 210 a 则 则 3 5 a 32 53111 55 faffa 1 1 O y x F CB O y x 3 点评 本题考查的知识点是分段函数的应用 函数的周期性 根据已知求出 a 值 是解答的关键 12 2016 年江苏 12 5 分 已知实数满足 则的取值范围是 x y 240 220 330 xy xy xy 22 xy 答案 4 13 5 解析 在平面直角坐标系中画出可行域如下 为可行域内的点到原点距离的平方 22 xy 可以看出图中点距离原点最近 此时距离为原点到直线的距离 AA220 xy 则 图中点距离原点最远 点为 2 2 5 541 d 22 min 4 5 xy BB 与交点 则 则 240 xy 330 xy 2 3B 22 max 13xy 点评 本题主要考查线性规划的应用 涉及距离的计算 利用数形结合是解决本题的关键 13 2016 年江苏 13 5 分 如图 在中 是的中点 是上两个三等分ABC DBC E FAD 点 则的值是 4BA CA 1BF CF BE CE 答案 7 8 解析 令 则 则 DFa DBb DCb 2DEa 3DAa 3BAab 3CAab 则 2BEab 2CEab BFab CFab 22 9BA CAab 22 BF CFab 由 可得 因此 22 4BE CEab 4BA CA 1BF CF 22 94ab 22 1ab 22513 88 ab 因此 2245137 4 888 BE CEab 点评 本题考查的知识是平面向量的数量积运算 平面向量的线性运算 难度中档 14 2016 年江苏 14 5 分 在锐角三角形中 则的最小值是ABCsin2sinsinABC tantantanABC 答案 8 解析 由 sinsin sinsincoscossinAABCBCBC sin2sinsinABC 可得 由三角形为锐角三角形 则 sincoscossin2sinsinBCBCBC ABCcos0 cos0BC 在 式两侧同时除以可得 coscosBCtantan2tantanBCBC 又 tantan tantan tan 1tantan BC AABC BC 则 由可得 tantan tantantantantan 1tantan BC ABCBC BC tantan2tantanBCBC 令 由为锐角可得 2 2 tantan tantantan 1tantan BC ABC BC tantanBCt A B C tan0 tan0 tan0ABC 由 得 解得 1tantan0BC 1t 2 2 22 tantantan 11 1 t ABC t tt 由则 因此最小值为 2 2 11111 24ttt 1t 2 111 0 4tt tantantanABC8 当且仅当时取到等号 此时 2t tantan4BC tantan2BC 解得 或互换 此时均为锐角 tan22 tan22 tan4BCA tan tanBC A B C 点评 本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识 有一定灵活性 F E D CB A x y B A 1 2 3 41234 1 2 3 4 1 2 3 4 4 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 共计小题 共计 90 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出必要的文字说明 证明分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出必要的文字说明 证明 过程或演算步骤 过程或演算步骤 15 2016 年江苏 15 14 分 在中 ABC 6AC 4 cos 5 B 4 C 1 求的长 AB 2 求的值 cos 6 A 解 1 为三角形的内角 即 4 cos 5 B B 3 sin 5 B sinCsin ABAC B 6 3 2 5 2 AB 5 2AB 2 又为三角形的内角 coscossinsincoscosACBBCBC 2 cos 10 A A 7 2 sin 10 A 317 26 coscossin 62220 AAA 点评 本题考查正弦定理 考查两角和差的余弦公式 考查学生的计算能力 属于中档题 16 2016 年江苏 16 14 分 如图 在直三棱柱中 分别为的中点 111 ABCABC D E AB BC 点在侧棱上 且 求证 F 1 B B 11 B DAF 1111 ACAB 1 直线平面 DE 11 AC F 2 平面平面 1 B DE 11 AC F 解 1 为中点 为的中位线 又为棱柱 D E DE ABC DE AC 111 ABCABC 11 AC AC 又平面 且 平面 11 DE AC 11 AC 11 AC F 11 DEAC F DE 11 AC F 2 为直棱柱 平面 又 111 ABCABC 1 AA 111 ABC 111 AAAC 1111 ACAB 且 平面 平面 又 平面 1111 AAABA 111 AA AB 11 AAB B 11 AC 11 AAB B 11 DE AC DE 11 AAB B 又平面 又 且平面 1 AF 11 AAB B 1 DEAF 11 AFB D 1 DEB DD 1 DE B D 1 B DE 平面 又 平面平面 1 AF 1 B DE 111 AFAC F 1 B DE 11 AC F 点评 本题考查直线与平面平行的证明 以及平面与平面相互垂直的证明 把握常用方法最关键 难答不 大 17 2016 年江苏 17 14 分 现需要设计一个仓库 它由上下两部分组成 上部分的形状是正四 棱锥 下部分的形状是正四棱柱 如图所示 并要求正四棱柱 1111 PABC D 1111 ABCDABC D 的高是正四棱锥的高的倍 1 OO 1 PO4 1 若 则仓库的容积是多少 6 mAB 1 2 mPO 2 若正四棱锥的侧棱长为 当为多少时 仓库的容积最大 6 m 1 PO 解 1 则 1 2 mPO 1 8 mOO 1 1 11 23 1 11 6224 m 33 P A B C DABCD VSPO 故仓库的容积 1 1 11 23 1 68288 m ABCD A B C DABCD VSOO 1 1 111 1 11 3 312 m P A B C DABCD A B C D V VV 为 3 312 m 2 设 仓库的容积为 则 1 mPOx V x 1 4 mOOx 2 11 36mAOx 2 11 236mABx 1 1 11 2 2333 1 1112 72272224m 3333 P A B C DABCD VSPOxxxxxx 1 1 11 2 233 1 72242888m ABCD A B C DABCD VSOOxxxx O1 P O D C B A D1C1 B1A1 F E D C BA C1 B1A1 5 1 1 111 1 11 333 226 24288831206 33 P A B C DABCD A B C D V xVVxxxxxxx 当时 单调递增 22 263122612Vxxx 06x 0 2 3x 0Vx V x 当时 单调递减 因此 当时 取到最大值 2 3 6x 0Vx V x2 3x V x 即时 仓库的容积最大 1 2 3 mPO 点评 本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积 导数法求函数的最大值 难度中档 18 2016 年江苏 18 16 分 如图 在平面直角坐标系中 已知以为圆心的圆 xOyMM 及其上一点 22 1214600 xyxy 2 4A 1 设圆与轴相切 与圆外切 且圆心在直线上 求圆的标准方程 NxMN6x N 2 设平行于的直线 与圆相交于两点 且 求直线 的方程 OAlM B CBCOA l 3 设点满足 存在圆上的两点和 使得 求实数 的取值范 0T tMPQTATPTQ t 围 解 1 因为在直线上 设 因为与轴相切 则圆为 N6x 6 NnxN 22 2 6xynn 又圆与圆外切 圆 则 解得 0n NMM 22 6725xx 75nn 1n 即圆的标准方程为 N 22 611xy 2 由题意得 设 则圆心到直线 的距离 2 5OA 2 OA k 2l yxb Ml 2 1275 5 21 bb d 则 即 2 22 5 2 52 25 5 b BCd 2 5BC 2 5 2 252 5 5 b 解得或 即 或 5b 15b l25yx 215yx 3 即 即 又 TATPTQ TATQTPPQ TAPQ 2 2 24TAt 10PQ 即 解得 对于任意 欲使 2 2 2410t 22 21 22 21t 22 21 22 21t TAPQ 此时 只需要作直线的平行线 使圆心到直线的距离为 必然与圆交于10TA TA 2 25 4 TA 两点 此时 即 因此对于任意 均满足题意 PQ TAPQ TAPQ 22 21 22 21t 综上 22 21 22 21t 点评 本题考查圆的标准方程的求法 考查直线方程的求法 考查实数的取值范围的求法 是中档题 解题 时 要认真审题 注意圆的性质的合理运用 19 2016 年江苏 19 16 分 已知函数 0 0 1 1 xx f xababab 1 设 2a 1 2 b 求方程的根 2f x 若对于任意 不等式恒成立 求实数的最大值 x R 26fxmf x m 2 若 函数有且只有 1 个零点 求的值 01a 1b 2g xf x ab 解 1 由可得 1 2 2 x x f x 2f x 1 22 2 x x 则 即 则 2 22210 xx 2 210 x 21 x 0 x y xO M A 6 由题意得恒成立 令 则由可得 2 2 11 226 22 xx xx m 1 2 2 x x t 20 x 1 2 22 2 x x t 此时恒成立 即恒成立 时 当且仅当 2 26tmt 2 44t mt tt 2t 44 24tt tt 时2t 等号成立 因此实数的最大值为 m4 2 由 可得 22 xx g xf xab ln lnlnln ln x xxx ab gxaabbab ba 01a 1b 1 b a 令 则递增 而 因此时 ln ln x ba h x ab h xln0 ln0ab 0 ln log ln b a a x b 0 0h x 因此时 则 时 0 xx 0h x ln0 x ab 0gx 0 xx 0h x ln0 x ab 则 则在递减 递增 因此最小值为 0gx g x 0 x 0 x g x 0 g x 若 时 则 logb2 时 0 0g x log 2 a x log 2 2 a x aa 0 x b 0g x x 0 x a log 2 2 b x bb 则 因此且时 因此在有零点 0g x 1 log 2 a x 10 xx 1 0g x g x 10 x x 且时 因此在有零点 2 log 2 b x 20 xx 2 0g x g x 02 x x 则至少有两个零点 与条件矛盾 g x 若 由函数有且只有 1 个零点 最小值为 可得 0 0g x g x g x 0 g x 0 0g x 由 因此 因此 即 即 00 020gab 0 0 x ln log0 ln b a a b ln 1 ln a b lnln0ab 因此 则 ln0ab 1ab 点评 本题考查函数与方程的综合应用 函数的导数的应用 基本不等式的应用 函数恒成立的应用 考查 分析问题解决问题的能力 20 2016 年江苏 20 16 分 记 对数列 和的子集 若 定义 1 2 100U n a n NUTT 0 T S 若 定义 例如 时 现设 12 k Tt tt 12k Tttt Saaa 1 3 66T 1366T Saaa n a n N 是公比为 的等比数列 且当时 3 2 4T 30 T S 1 求数列的通项公式 n a 2 对任意正整数 若 求证 k1100k 1 2 Tk 1Tk Sa 3 设 求证 CU DU CD SS 2 CCDD SSS 解 1 当时 因此 从而 2 4T 2422 930 T Saaaa 2 3a 2 1 1 3 a a 1 3n n a 2 21 121 31 13333 2 k kk Tkk Saaaa 3 设 C ACD D BCD AB CAC D SSS DBC D SSS 22 CC DDAB SSSSS 因此原题就等价于证明 由条件可知 2 AB SS CD SS AB SS 若 则 所以 B 0 B S 2 AB SS 若 由可知 设中最大元素为 中最大元素为 B AB SS A AlBm 若 则由第 小题 矛盾 因为 所以 所以1ml 1AlmB SaaS AB lm 7 1lm 即 211 12 31 1333 2222 m mmlA Bm aaS Saaa 2 AB SS 综上所述 因此 2 AB SS 2 CCDD SSS 点评 本题考查数列的应用 涉及新定义的内容 解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述 数学数学 选做题选做题 本题包括本题包括 A B C D 四小题 请选定其中两题 并在相应的答题区域内作答 若多做 则按作答四小题 请选定其中两题 并在相应的答题区域内作答 若多做 则按作答 的前两题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 的前两题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 21 A 2016 年江苏 21 A 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 在中 ABC 为垂足 是中点 求证 90ABC BDAC DEBCEDCABD 解 由可得 由是中点可得 则 BDAC 90BDC EBC 1 2 DECEBC EDCC 由可得 由可得 因此 90BDC 90CDBC 90ABC 90ABDDBC ABDC 又可得 EDCC EDCABD 点评 本题考查三角形的性质应用 利用 C DBC ABD DBC 90 证得 ABD C 是关键 属于 中档题 21 B 2016 年江苏 21 B 10 分 选修 4 2 矩阵与变换 已知矩阵 矩阵的逆矩阵 12 02 AB 求矩阵 1 1 1 2 02 BAB 解 因此 1 1 1 1 21 2 4 22 1 010 2 22 BB 1 51 121 4 4 021 010 2 AB 点评 本题考查逆变换与逆矩阵 考查矩阵乘法的性质 属于中档题 21 C 2016 年江苏 21 C 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中 已知直线xOy 的l 参数方程为 椭圆的参数方程为 设直线 与椭圆相交 1 1 2 3 2 xt t yt 为参数C cos 2sin x y 为参数lC 于两点 求线段的长 A BAB 解 直线 方程化为普通方程为 椭圆方程化为普通方程为 l330 xy C 2 2 1 4 y x 联立得 解得或 因此 2 2 330 1 4 xy y x 1 0 x y 1 7 8 3 7 x y 2 2 18 316 10 777 AB 点评 本题考查直线与椭圆的参数方程 考查了参数方程化普通方程 考查直线与椭圆位置关系的应用 是 基础题 21 D 2016 年江苏 21 D 本小题满分 10 分 选修 4 4 不等式选讲 设 0a 求证 1 3 a x 2 3 a y 24xya 解 由可得 1 3 a x 2 22 3 a x 2 24222 33 aa xyxya 点评 本题考查绝对值不等式的证明 注意运用绝对值不等式的性质 以及不等式的简单性质 考查运算能 E DC B A 8 力 属于基础题 必做题必做题 第第 22 23 题 每小题题 每小题 10 分 计分 计 20 分 请把答案分 请把答案写在答题卡的指定区域内写在答题卡的指定区域内 22 2016 年江苏 22 10 分 如图 在平面直角坐标系中 已知直线 xOy 20l xy 抛物线 2 20C ypx p 1 若直线 过抛物线的焦点 求抛物线的方程 lCC 2 已知抛物线上存在关于直线 对称的相异两点和 ClPQ 求证 线段上的中点坐标为 PQ 2 pp 求的取值范围 p 解 1 与轴的交点坐标为 即抛物线的焦点为 20l xy lx 2 0 2 02 2 p 2 8yx 2 设点 则 即 11 P x y 22 Q xy 2 11 2 22 2 2 ypx ypx 2 1 1 2 2 2 2 2 y x p y x p 12 22 1212 2 22 PQ yyp k yyyy pp 又关于直线 对称