18年高考真题——理科数学(全国1卷)

第 1 页 共 6 页 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 理 全国 I 卷 一 选择题 共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求的一 项 1 设 则 A 0 B C 1 D 1 2 1 i zi i z 1 2 2 2 已知集合 则 2 20Ax xx RA A B C D 12xx 12xx 1 2x xx x 1 2x xx x 3 某地区经过一年的新农村建设 农村的经济收入增加了一倍 实现翻番 为更好地了解该地区农村的经济收入变化 情况 统计了该地区新农村建设前后农村 的经济收入构成比例 得到如右饼图 则 下面结论中不正确的是 A 新农村建设后 种植收入减少 B 新农村建设后 其他收入增加了一倍以上 C 新农村建设后 养殖收入增加了一倍 D 新农村建设后 养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4 设为等差数列的前项和 若 则 n S n an 324 3SSS 1 2a 5 a A B C 10 D 1212 10 5 设函数 若为奇函数 则曲线在点处的切线方 32 1f xxaxax f x yf x 0 0 程为 A B C D 2yx yx 2yx yx 6 在中 为边上的中线 为的中点 则 ABC ADBCEADEB A B C D 31 44 ABAC 13 44 ABAC 31 44 ABAC 13 44 ABAC 7 已知正方体的棱长为 1 每条棱所在直线与平面所成的角相等 则 截此正方体所得截面面积的最大值为 A B C D 3 3 4 2 3 3 3 2 4 3 2 8 设抛物线 的焦点为 过点且斜率为的直线与 C 2 4yx F 2 0 2 3 交于两点 则 A 5 B 6 C 7 D 8 C M N FM FN 第 2 页 共 6 页 9 已知函数 若存在 2 个零点 则的取值范围 0 ln0 x ex f x xx g xf xxa g xa 是 A B C D 1 0 0 1 1 10 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形 此图由三个半 圆构成 三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边 直角边ABCBC 的三边所围成的区域记为 I 黑色部分记为 II 其余部分记 AB ACABC 为 III 在整个图形中随机取一点 此点取自 I II III 的概率分别记为 则 A B C D 123 p pp 12 pp 13 pp 23 pp 123 ppp 11 已知双曲线 为坐标原点 为的右焦点 过的直线与的两条渐近线C 2 2 1 3 x y OFCFC 的交点分别为 若为直角三角形 则 M NOMN MN A B 3 C D 4 3 2 2 3 12 已知正方体的棱长为 1 每条棱所在直线与平面所成的角相等 则截此正方体所得截面面积 的最大值为 A B C D 3 3 4 2 3 3 3 2 4 3 2 二 填空题 共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 若满足约束条件 则的最大值为 x y 220 10 0 xy xy y 32zxy 14 记为数列的前项和 若 则 n S n an21 nn Sa 6 S 15 从 2 位女生 4 位男生中选 3 人参加科技比赛 且至少有 1 位女生入选 则不同的选法共有 种 用数字填写答案 16 已知函数 则的最小值是 2sinsin2f xxx f x 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题考 生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 60 分 17 本小题 12 分 在平面四边形中 ABCD 0 90ADC 0 45A 2AB 5BD 求 若 求 cos ADB2 2DC BC 18 本小题 12 分 如图 四边形为正方形 分别ABCD E F 第 3 页 共 6 页 为的中点 以为折痕把折起 使点到达点的 AD BC DFDFC CP 位置 且 证明 平面平面 求与平面所成角的正弦值 PFBF PEF ABFDDPABFD 19 本小题 12 分 设椭圆 的右焦点为 过的直线 与交于两点 点 C 2 2 1 2 x y FFlC A B 的坐标为 当 与轴垂直时 求直线的方程 设为坐标原点 证明 M 2 0 lxAMO OMAOMB 20 本小题12分 某工厂的某种产品成箱包装 每箱200件 每一箱产品在交付用户之前要对产品作 检验 如检验出不合格品 则更换为合格品 检验时 先从这箱产品中任取20件作检验 再根据检验结果 决定是否对余下的所有产品作检验 设每件产品为不合格品的概率都为 且各件产品是否为 01pp 不合格品相互独立 记20件产品中恰有2件不合格品的概率为 求的最大值点 现对 fp fp 0 p 一箱产品检验了20件 结果恰有2件不合格品 以 中确定的作为的值 已知每件产品的检验费用为 0 pp 2元 若有不合格品进入用户手中 则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用 若不对该箱余下的 产品作检验 这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 求 以检验费用与赔偿费用和的期望XEX 值为决策依据 是否该对这箱余下的所有产品作检验 21 本小题 12 分 已知函数 讨论的单调性 若存在两个极 1 lnf xxax x f x f x 值点 证明 12 x x 12 12 2 f xf x a xx 二 选考题 共10分 请考生在第22 23题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 22 选修4 4 坐标系与参数方程 本小题10分 在直角坐标系中 曲线的方程为xOy 1 C 以坐标原点为极点 轴正半轴为极轴建立极坐标系 曲线的极坐标方程为 2yk x x 2 C 2 2 cos30 求的直角坐标方程 若与有且仅有三个公共点 求的方程 2 C 1 C 2 C 1 C 23 选修 4 5 不等式选讲 本小题 10 分 已知 当时 求不等 1 1 f xxax 1a 式的解集 若时不等式成立 求的取值范围 1f x 0 1x f xx a 第 4 页 共 6 页 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 I卷 解答 一 选择题 CBABD AADCA BA 二 填空题 13 6 14 15 16 16 63 3 3 2 17 解 在中 由正弦定理得 故 得ABD sinsin BDAB AADB 0 52 sin45sin ADB 由题设知 所以 2 sin 5 ADB 0 90ADB 2 23 cos1 sin 5 ADBADB 由题设及 知 在中 由余弦定理得 2 cossin 5 BDCADB BCD 所以 222 2cos25BCBDDCBD DCBDC 5BC 18 证明 由题 又 故平面 又平面 BFPF BFEF PFEFF BF PEFBF 所以平面平面 ABFDPEF ABFD 作 垂足为 由 得 平面 以为坐标原点 的方向为轴正PHEF HPH ABFDHHF y 方向 为单位长 建立如图所示的空间直角坐标系 由 知 又 BF Hxyz DEPE 2DP 故 又 故 可得 则 1DE 3PE 1PF 2EF PEPF 3 2 PH 3 2 EH 0 0 0H 且为平面的法向量 设 3 0 0 2 P 3 1 0 2 D 33 1 22 DP 3 0 0 2 HP ABFD 与平面所成角为 则为所求 DPABFD 3 43 sin 4 3 HP DP HPDP 19 解 由已知得 由题可知或 故 1 0F l1x 1 2 2A 1 2 2A 2 2 AM k 所以的方程为 AM 2 2 2 yx 第 5 页 共 6 页 当 与轴重合时 当 与轴垂直时 为的垂直平分线 所以 lx 0 0OMAOMB lxOMAB 当 与轴不重合也不垂直时 设 OMAOMB lxl 10yk xk 1122 A x yB xy 则 直线的斜率之和为 1 2x 2 2x MA MB 12 12 1212 11 2222 MAMB k xk xyy kk xxxx 由得 故 1212 12 234 22 x xxx k xx 2 2 1 1 2 yk x x y 2222 214220kxk xk 2 12 2 4 21 k xx k 因此 从而 故 2 12 2 22 21 k x x k 22 1212 22 224 2342340 2121 kk x xxx kk 0 MAMB kk 的倾斜角互补 所以 综上 MA MB OMAOMB OMAOMB 20 解 由题可知 因此 18 22 20 1fpC pp 1817 22 20 21181fpCpppp 令 得 当时 当时 17 2 20 21 101C ppp 0fp 0 1p 0 0 1p 0fp 0 1 1p 所以的最大值点为 0fp fp 0 0 1p 由 知 令表示余下的 180 件产品中的不合格品件数 依题意知 0 1p Y 180 0 1YB 所以 20 2254025XYY 40254025490EXEYEY 如果对余下的产品作检验 则这一箱产品所需要的检验费为 400 元 由于 故应该对余400EX 下的产品作检验 21 解 的定义域为 若 则 f x 0 2 22 11 1 axax fx xxx 2a 当且仅当时 故在单调递减 若 令得 0fx 2 1 a x 0fx f x 0 2a 0fx 当或时 当 2 4 2 aa x 2 4 0 2 aa x 2 4 2 aa x 0fx 时 所以在单调递 22 44 22 aaaa x 0fx f x 22 44 0 22 aaaa 减 在单调递增 22 44 22 aaaa 由 知 存在两个极值点当且仅当 因的两个极值点满足 fx2a fx 12 x x 2 10 xax 第 6 页 共 6 页 故 不妨设 则 因 12 1x x 12 xx 2 1x 12 122 121212 2 2 lnln2ln1 12 1 f xf xxxx aa xxx xxx x x 故 设函数 由 知在 12 22 122 1 22ln0 f xf x axx xxx 1 2ln1g xxx x x g x 单调递减 而 故时 故 即 0 10g 1x 0g x 22 2 1 2ln0 xx x 12 12 2 f xf x a xx 22 解 由 得的直角坐标方程为 即cosx siny 2 C 22 230 xyx 2 2 14xy 由 知是圆心为 半径为 2 的圆 由题知 是过点且关于轴对称的两条 2 C 1 0A 1 C 0 2By 射线 记轴右边的射线为 轴左边的射线为 由于在圆的外面 故与有且仅有三个公y 1 ly 2 lB 2 C 1 C 2 C 共点等价于与只有一个公共点 且与有两个公共点 或与只有一个公共点 且与有两 1 l 2 C 2 l 2 C 2 l 2 C 1 l 2 C 个公共点 当与只有一个公共点时 到所在直线的距离为 2 所以 故或 1 l 2 CA 1 l 2 2 2 1 k k 4 3 k 经检验 当时 与没有公共点 当时 与只有一个公共点 与有两0k 0k 1 l 2 C 4 3 k 1 l 2 C 2 l 2 C 个公共点 当与只有一个公共点时 到所在直线的距离为 2 所以 故或 2 l 2 CA 2 l