2012年高考数学 10 圆锥曲线试题解析 教师版文

用心 爱心 专心1 20122012 年高考试题解析数学 文科 分项版之专题年高考试题解析数学 文科 分项版之专题 1010 圆锥曲线圆锥曲线 教教 师版师版 一 选择题一 选择题 1 20122012 年高考新课标全国卷文科年高考新课标全国卷文科 4 4 设 12 FF是椭圆 的左 右焦点 为直线 3 2 a x 上一 22 22 1 0 xy Eab ab P 点 是底角为30 的等腰三角形 则的离心率为 12PF F E A 1 2 B 2 3 C D 2 20122012 年高考新课标全国卷文科年高考新课标全国卷文科 1010 等轴双曲线的中心在原点 焦点在轴上 Cx 与抛物线的准线交于两点 则的实轴长为 Cxy16 2 A B4 3AB C A2 B2 2 C D 3 2012 2012 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 11 11 已知双曲线 的离心率为 2 若抛 1 C 22 22 1 0 0 xy ab ab 物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为 2 则抛物线的方程为 2 2 2 0 Cxpy p 1 C 2 C A B 2 16 3 3 xy C D 2 8 3 3 xy 2 8xy 2 16xy 答案 D 用心 爱心 专心2 解析 抛物线的焦点 双曲线的渐近线为 不妨取 即 2 0 p x a b y x a b y 4 2012 2012 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 8 8 如图 中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点 M N 是双曲线的两顶点 若 M O N 将椭圆长轴四等分 则双曲线与椭圆的离心率的比值是 A 3 B 2 C D 32 5 2012 2012 年高考湖南卷文科年高考湖南卷文科 6 6 已知双曲线 C 1 的焦距为 10 点 P 2 1 在 2 2 x a 2 2 y b C 的渐近线上 则 C 的方程为 A 1 B 1 C 1 D 1 答案 A 2 20 x 2 5 y 2 5 x 2 20 y 2 80 x 2 20 y 2 20 x 2 80 y 解析 设双曲线 C 1 的半焦距为 则 2 2 x a 2 2 y b c210 5cc 又C 的渐近线为 点 P 2 1 在 C 的渐近线上 即 b yx a 12 b a A2ab 又 C 的方程为 1 222 cab 2 5 5ab 2 20 x 2 5 y 用心 爱心 专心3 考点定位 本题考查双曲线的方程 双曲线的渐近线方程等基础知识 考查了数形结合 的思想和基本运算能力 是近年来常考题型 6 20122012 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 1212 已知 P Q 为抛物线 x2 2y 上两点 点 P Q 的横坐标分别为 4 2 过 P Q 分别作抛物线的切线 两切线交于点 A 则点 A 的纵坐标为 A 1 B 3 C 4 D 8 7 2012 2012 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 5 5 已知双曲线 2 2 x a 2 5 y 1 的右焦点为 3 0 则该双曲线的 离心率等于 A 3 14 14 B 3 2 4 C 3 2 D 4 3 8 2012 2012 年高考全国卷文科年高考全国卷文科 5 5 椭圆的中心在原点 焦距为 一条准线为 则该椭44x 圆的方程为 A B 22 1 1612 xy 22 1 128 xy C D 22 1 84 xy 22 1 124 xy 答案 C 解析 椭圆的焦距为 4 所以因为准线为 所以椭圆的焦点在轴2 42 cc4 xx 上 且 所以 所以椭圆的方程为4 2 c a 84 2 ca448 222 cab 选 C 1 48 22 yx 用心 爱心 专心4 9 2012 2012 年高考全国卷文科年高考全国卷文科 10 10 已知 为双曲线的左 右焦点 点 1 F 2 F 22 2C xy 在上 则PC 12 2 PFPF 12 cosFPF A B C D 1 4 3 5 3 4 4 5 10 2012 2012 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 9 9 已知抛物线关于轴对称 它的顶点在坐标原点 xO 并且经过点 若点到该抛物线焦点的距离为 则 0 2 MyM3 OM A B C D 2 22 342 5 11 2012 2012 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 8 8 椭圆的左 右顶点分别是 A B 左 22 22 1 0 xy ab ab 右焦点分别是 F1 F2 若 AF1 F1F2 F1B 成等比数列 则此椭圆的离心率为 A B C D 1 4 5 5 1 2 5 2 答案 B 解析 本题主要考查椭圆和等比数列的知识 根据等比中项的性质可得结果 用心 爱心 专心5 12 2012 2012 年高考上海卷文科年高考上海卷文科 16 16 对于常数 是 方程的mn0mn 22 1mxny 曲线是椭圆 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 二 填空题二 填空题 13 20122012 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 1515 已知双曲线 x2 y2 1 点 F1 F2为其两个焦点 点 P 为双曲线上一点 若 P F1 P F2 则 P F1 P F2 的值为 14 2012 2012 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 11 11 已知双曲线与双曲线 0 0 1 2 2 2 2 1 ba b y a x C 有相同的渐近线 且的右焦点为 则 1 164 22 2 yx C 1 C 5 0 Fa b 答案 1 2 解析 双曲线的渐近线为 而的渐近线为 1 164 22 yx xy2 1 2 2 2 2 b y a x x a b y 所以有 又双曲线的右焦点为 所以 又2 a b ab2 1 2 2 2 2 b y a x 0 5 5 c 即 所以 222 bac 222 545aaa 2 1 1 2 baa 用心 爱心 专心6 15 20122012 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 1414 过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两 2 4yx F A B 点 若 则 3AF BF 16 16 20122012 年高考江苏卷年高考江苏卷 8 8 在平面直角坐标系中 若双曲线的离心xOy 22 2 1 4 xy mm 率为 则m的值为 5 17 2012 2012 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 15 15 椭圆为定值 且的的左焦点为 22 2 1 5 xy a a 5 a F 直线与椭圆相交于点 的周长的最大值是 12 则该椭圆的离心率是xm ABFAB 答案 3 2 解析 根据椭圆定义知 4a 12 得 a 3 又5 22 ca 3 2 2 a c ec 考点定位 本题考查对椭圆概念的掌握程度 突出展现高考前的复习要回归课本的新课 用心 爱心 专心7 标理念 18 2012 2012 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 16 16 设为正实数 现有下列命题 a b 若 则 22 1ab 1ab 若 则 11 1 ba 1ab 若 则 1ab 1ab 若 则 33 1ab 1ab 其中的真命题有 写出所有真命题的编号 19 2012 2012 年高考重庆卷文科年高考重庆卷文科 14 14 设为直线与双曲线 P 3 b yx a 22 22 1 0 0 xy ab ab 左支的交点 是左焦点 垂直于轴 则双曲线的离心率 1 F 1 PFxe 20 2012 2012 年高考陕西卷文科年高考陕西卷文科 14 14 右图是抛物线形拱桥 当水面在 时 拱顶离水面 2 米 l 水面宽 4 米 水位下降 1 米后 水面宽 米 2 6 用心 爱心 专心8 三 解答题三 解答题 21 2012 2012 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 21 21 本小题满分 13 分 如图 椭圆的离心率为 直线和所围成的矩形 22 22 1 0 xy Mab ab 3 2 xa yb ABCD的面积为 8 求椭圆M的标准方程 设直线与椭圆M有两个不同的交点 l yxm m R 与矩形ABCD有两个不同的交点 求的最大值及 P Q l S T PQ ST 取得最大值时m的值 当 过点时 当lA1m 过点时 lC1m 当时 有 51m 1 1 2 2 2 3 SmTmSTm 2 22 45446 1 5 3 5 PQm STmtt 其中 由此知当 即时 取得最大值 3tm 13 4t 45 5 1 33 tm PQ ST 2 5 5 用心 爱心 专心9 由对称性 可知若 则当时 取得最大值 15m 5 3 m PQ ST 2 5 5 当时 11m 2 2ST 2 2 5 5 PQ m ST 由此知 当时 取得最大值 0m PQ ST 2 5 5 综上可知 当和 0 时 取得最大值 5 3 m PQ ST 2 5 5 22 2012 2012 年高考广东卷文科年高考广东卷文科 20 20 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系 xoy 中 已知椭圆 C1 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点为 F1 1 0 且点 P 0 1 在 C1上 1 求椭圆 C1的方程 2 设直线 l 同时与椭圆 C1和抛物线 C2 相切 求直线 l 的方程 2 4yx 23 2012 2012 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 22 22 本题满分 14 分 如图 在直角坐标系 xOy 中 点 P 1 到抛物线 C 2px P 0 的准线的距离为 点 M t 1 是 C 上的定点 1 2 2 y 5 4 A B 是 C 上的两动点 且线段 AB 被直线 OM 平分 用心 爱心 专心10 1 求 p t 的值 2 求 ABP 面积的最大值 设点 P 到直线 AB 的距离为 d 则 设ABP 的面积为 S 则 2 2 1 22 14 mm d m 22 1 1 2 2 SAB dmmmm 由 得 2 440mm 01m 令 则 2 tmm 1 0 2 t 2 1 2 Stt 设 则 2 1 2 Stt 1 0 2 t 2 1 6St 由 得 所以 故ABP 的面积的最大值为 2 1 60St 61 0 62 t max 6 9 S 6 9 用心 爱心 专心11 考点定位 本题主要考查了抛物线的几何性质 直线与抛物线的位置关系 同时考查解 析几何的基本思想方法和运算求解能力 24 2012 2012 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 21 21 本小题满分 12 分 如图 动点与两定点 M 1 0 A 构成 且直线的斜率之积为 4 设动点的轨迹为 1 0 BMAB MAMB MC 求轨迹的方程 C 设直线与轴交于点 与轨迹相交于点 且 0 yxm m yPCQR 求的取值范围 PQPR PR PQ 2 由消去 y 可得 3x2 2mx m2 4 0 044 22 yx mxy 此时2 3 1 1 3 1 22 mm 且 所以 3 5 1 3 12 2 1 3 1 3 12 2 11 m 22 且 m 用心 爱心 专心12 所以 3 5 31 X X X X P R P R PQ PR PQ PR 且 25 2012 2012 年高考湖南卷文科年高考湖南卷文科 21 21 本小题满分 13 分 在直角坐标系 xOy 中 已知中心在原点 离心率为的椭圆 E 的一个焦点为圆 C x2 y2 1 2 4x 2 0 的圆心 求椭圆 E 的方程 设 P 是椭圆 E 上一点 过 P 作两条斜率之积为的直线l1 l2 当直线l1 l2都与 1 2 圆 C 相切时 求 P 的坐标 设点的坐标为 的斜分率分别为则的方程分别为p 00 xy 12 l l 12 k k 12 l l 且由与圆相 10102020 lyyk xxlyykxx 12 1 2 k k 1 l 22 2 2cxy 切 得 1010 2 1 2 2 1 kyk x k 即 222 010020 2 22 2 20 xkxy ky 同理可得 222 020020 2 22 2 20 xkxy ky 从而是方程的两个实根 于是 12 k k 022 0000 2 22 2 20 xkxy ky 2 0 22 00 2 20 8 2 20 x xy 用心 爱心 专心13 且 2 0 12 2 2 2 2 2 2 y k k x 26 2012 2012 年高考湖北卷文科年高考湖北卷文科 21 21 本小题满分 14 分 设 A 是单位圆 x2 y2 1 上任意一点 l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线 D 是直线 l 与 x 轴的交 点 点 M 在直线 l 上 且满足丨 DM 丨 m 丨 DA 丨 m 0 且 m 1 当点 A 在圆上运动时 记点 M 的轨迹为曲线 C 1 求曲线 C 的方程 判断曲线 C 为何种圆锥曲线 并求其焦点坐标 2 过原点且斜率为 K 的直线交曲线 C 于 P Q 两点 其中 P 在第一象限 且它在 y 轴上 的射影为点 N 直线 QN 交曲线 C 于另一点 H 是否存在 m 使得对任意的 K 0 都有 PQ PH 若存在 请说明理由 因为 0 1 1 m 所以 当01m 时 曲线C是焦点在x轴上的椭圆 两焦点坐标分别为 2 1 0 m 2 1 0 m 当1m 时 曲线C是焦点在y轴上的椭圆 用心 爱心 专心14 两焦点坐标分别为 2 0 1 m 2 0 1 m 解法解法 2 2 如图 2 3 1 0 1 x 设 11 P x y 22 H xy 则 11 Qxy 1 0 Ny 因为P H两点在椭圆C上 所以 2222 11 2222 22 m xym m xym 两式相减可得 用心 爱心 专心15 22222 1212 0mxxyy 依题意 由点P在第一象限可知 点H也在第一象限 且P H不重合 故 1212 0 xxxx 于是由 式可得 27 2012 2012 年高考重庆卷文科年高考重庆卷文科 21 21 本小题满分 12 分 小问 5 分 小问 7 分 已知椭圆的中心为原点 长轴在 轴上 上顶点为 左 右焦点分别为 线OxA 12 F F 段 的中点分别为 且 12 OF OF 12 B B 是面积为 4 的直角三角形 求 12 AB B 该椭圆的离心率和标准方程 过 1 B 作直线交椭圆于 求 P Q 22 PBQB 的面积 2 PB Q 答案 1 2 20 x 2 4 y16 10 9 用心 爱心 专心16 12 OAB B 设 则 是上面方程的两根 因此 1122 P x yQ xy 12 y y 12 2 4 5 m yy m 又 所以 12 2 16 5 yy m 111222 2 2 B PxyB Pxy 1212 2 2 B P B Pxx 12 y y 1212 4 4 mymyy y 2 12 1 my y 12 4 16m yy 22 22 16 1 16 16 55 mm mm 由 知 即 解得 2 2 1664 5 m m 22 PBQB 22 0B P B Q 2 16640m 2m 用心 爱心 专心17 28 20122012 年高考新课标全国卷文科年高考新课标全国卷文科 2020 本小题满分 12 分 设抛物线 C x2 2py p 0 的焦点为 F 准线为l A 为 C 上一点 已知以 F 为圆心 FA 为 半径的圆 F 交l于 B D 两点 I 若 BFD 90 ABD的面积为 4 求p的值及圆 F 的方程 2 II 若 A B F 三点在同一直线m上 直线n与m平行 且n与 C 只有一个公共点 求 坐标原点到m n距离的比值 用心 爱心 专心18 29 2012 2012 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 19 19 本小题满分 14 分 已知椭圆 a b 0 点 P 在椭圆上 2 2 2 2 5 2 2 I 求椭圆的离心率 II 设 A 为椭圆的右顶点 O为坐标原点 若 Q 在椭圆上且满足 AQ AO 求直线的OQ 斜率的值 用心 爱心 专心19 30 20122012 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 2020 本小题满分 12 分 如图 动圆 1 t 3 222 1 Cxyt 与椭圆 相交于 A B C D 四点 点 2 C 2 2 1 9 x y 分别为的左 右顶点 12 A A 2 C 当 t 为何值时 矩形 ABCD 的面积取得最大值 并求出其最大面积 求直线 AA1与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程 解析解析 用心 爱心 专心20 考点定位考点定位 本题主要考查直线 圆 椭圆的方程 椭圆的几何性质 轨迹方程的求法 考查函数方程思想 转化思想 数形结合思想 运算求解能力和推理论证能力 难度较大 31 20122012 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 2020 本小题满分 13 分 如图 分别是椭圆 1 的左 右焦点 是椭圆的顶 21F FC 2 2 a x 2 2 b y 0 baAC 点 是直线与椭圆的另一个交点 60 B 2 AFC 1 F A 2 F 求椭圆的离心率 C 已知 的面积为 40 求的值 ABF13 a b 解析 由题 60 则 即椭 1 F A 2 F 2 2 1 sin30 2 OFc AFa 圆的离心率为 C 1 2 法一 因 的面积为 40 设 又面积公式ABF13 BB B xy 又直线 1 2 40 3 2 ABAB Scyycyy 3 AB yxc 又由 知 联立方程可得 整理得 22 13 24 ca ba 222222 3 b xaxcab 用心 爱心 专心21 解得 所以 222222 313 3 424 a xaxaaa 4 5 B a x 3 3 10 B a y 解得10 5 3ab 33 3 40 3 2210 a aa 法二 设 则 则在中 由余弦定理可得 2 BFm 1 2BFam 12 BFF 32 2012 2012 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 21 21 本小题满分 12 分 如图 等边三角形 OAB 的边长为8 3 且其三个顶点均在抛物线 E x2 2py p 0 上 1 求抛物线 E 的方程 2 设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P 与直线 y 1 相较于点 Q 证明以 PQ 为直径的 圆恒过 y 轴上某定点 解析 1 依题意 设点 B x y 则 x 8 3OB 30BOY 8 3sin30 4 3 Y 12 B 12 在抛物线上 2p 12 p 2 8 3cos30 4 3 2 4 3 抛物线 E 的方程为 4y 2 X 2 设点 P 0 Y 0 X 0 Y 0 X 2 1 4 X 1 2 Yx 用心 爱心 专心22 33 2012 2012 年高考北京卷文科年高考北京卷文科 19 19 本小题共 14 分 已知椭圆 C 2 2 x a 2 2 y b 1 a b 0 的一个顶点为 A 2 0 离心率为 2 2 直线 y k x 1 与椭圆 C 交与不同的两点 M N 求椭圆 C 的方程 当 AMN 的面积为 10 3 时 求 k 的值 用心 爱心 专心23 34 20122012 年高考江苏卷年高考江苏卷 1919 本小题满分 16 分 如图 在平面直角坐标系xOy中 椭圆的左 右焦点分别为 22 22 1 0 xy ab ab 1 0 Fc 已知和都在椭圆上 其中e为椭圆的离心率 2 0 F c 1 e 3 2 e 1 求椭圆的离心率 2 设A B是椭圆上位于x轴上方的两点 且直线 1 AF 与直线平行 与交于点P 2 BF 2 AF 1 BF i 若 求直线的斜率 12 6 2 AFBF 1 AF ii 求证 是定值 12 PFPF 解析 1 由题设知 由点在椭圆上 得 222 c abce a 1 e A B P O 1 F 2 F x y 第 19 题 用心 爱心 专心24 222 22222222 22222 11 1 1 1 ec bca baa bb abaa b 22 1ca 由点在椭圆上 得 3 2 e 22 222 422 2244 33 22 13 11144 0 2 14 eca aaa abaa 椭圆的方程为 2 2 1 2 x y ii 证明 即 1 AF 2 BF 2 11 BFPB PFAF 2121 1111 11 BFPBPFBFAFPB PFAFPFAF 1 11 12 AF PFBF AFBF 由点在椭圆上知 B 12 2 2BFBF 1 12 12 2 2 AF PFBF AFBF 用心 爱心 专心25 同理 2 21 12 2 2 BF PFAF AFBF 122 1221 121212 2 2 22 22 2 AFBFAF BF PFPFBFAF AFBFAFBFAFBF A 由 得 2 1 2 2 21 2 m AFBF m 2 2 1 2 m AF BF m A 12 23 2 2 2 22 PFPF 是定值 12 PFPF 35 2012 2012 年高考全国卷文科年高考全国卷文科 22 22 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 已知抛物线与圆有一个公共点 且在 2 1 C yx 222 1 1 0 2 Mxyrr A 点处两曲线的切线为同一直线 Al 求 r 设 是异于 且与及都相切的两条直线 的交点为 求到mnlCMmnDD 的距离 l 解析 用心 爱心 专心26 36 2012 2012 年高考陕西卷文科年高考陕西卷文科 20 20 本小题满分 13 分 已知椭圆 椭圆以的长轴为短轴 且与有相同的离心率 2 2 1 1 4 x Cy 2 C 1 C 1 C 1 求椭圆的方程 2 C 2