2012年高考数学压轴题精炼六

用心 爱心 专心1 20122012 高考数学压轴题精炼六高考数学压轴题精炼六 1 本小题满分 14 分 如图 设抛物线 2 xyC 的焦点为 F 动点 P 在直线02 yxl上运动 过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA PB 且与抛物线 C 分别相切于 A B 两点 1 求 APB 的重心 G 的轨迹方程 2 证明 PFA PFB 解 1 设切点 A B 坐标分别为 01 2 11 2 0 xxxxxx 和 切线 AP 的方程为 02 2 00 xyxx 切线 BP 的方程为 02 2 11 xyxx 解得 P 点的坐标为 10 10 2 xxy xx x PP 所以 APB 的重心 G 的坐标为 P P G x xxx x 3 10 3 4 3 33 2 10 2 1010 2 1 2 010 pP P G yx xxxxxxxxyyy y 所以 2 43 GGp xyy 由点 P 在直线 l 上运动 从而得到重心 G 的轨迹方程为 24 3 1 02 43 22 xxyxyx即 2 方法 1 因为 4 1 4 1 2 4 1 2 1110 10 2 00 xxFBxx xx FPxxFA 由于 P 点在抛物线外 则 0 FP 4 1 4 1 4 1 4 1 2 cos 10 2 2 0 2 0 2 0100 10 FP xx xxFP xxxx xx FAFP FAFP AFP 同理有 4 1 4 1 4 1 4 1 2 cos 10 2 2 1 2 1 2 1101 10 FP xx xxFP xxxx xx FBFP FBFP BFP 用心 爱心 专心2 AFP PFB 方法 2 当 0 0 0 000101 yxxxxx则不妨设由于时所以 P 点坐标为 0 2 1 x 则 P 点到直线 AF 的距离为 4 1 4 1 2 1 2 1 1 1 x x x yBF x d 的方程而直线 即 0 4 1 4 1 11 2 1 xyxxx 所以 P 点到直线 BF 的距离为 2 4 1 2 4 1 4 1 42 4 1 1 2 1 12 1 2 1 22 1 112 1 2 x x x x xx xx x d 所以 d1 d2 即得 AFP PFB 当0 01 xx时 直线 AF 的方程 0 4 1 4 1 0 0 4 1 4 1 00 2 0 0 2 0 xyxxxx x x y即 直线 BF 的方程 0 4 1 4 1 0 0 4 1 4 1 11 2 1 1 2 1 xyxxxx x x y即 所以 P 点到直线 AF 的距离为 2 4 1 4 1 2 4 1 4 1 2 4 1 10 2 0 2 0 10 2 0 22 0 01 2 0 102 0 1 xx x x xx xx xxx xx x d 同理可 得到 P 点到直线 BF 的距离 2 01 2 xx d 因此由 d1 d2 可得到 AFP PFB 2 本小题满分 12 分 设 A B 是椭圆 22 3yx上的两点 点 N 1 3 是线段 AB 的中点 线段 AB 的垂 直平分线与椭圆相交于 C D 两点 确定 的取值范围 并求直线 AB 的方程 试判断是否存在这样的 使得 A B C D 四点在同一个圆上 并说明理由 用心 爱心 专心3 此题不要求在答题卡上画图 本小题主要考查直线 圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决 问题的能力 解法 1 依题意 可设直线 AB 的方程为 22 3 3 1 yxxky代入 整理得 0 3 3 2 3 222 kxkkxk 设 212211 xxyxByxA则是方程 的两个不同的根 0 3 3 3 4 22 kk 且 3 3 2 2 21 k kk xx由 N 1 3 是线段 AB 的中点 得 3 3 1 2 221 kkk xx 解得 k 1 代入 得 即 12 的取值范围是 12 于是 直线 AB 的方程为 0 4 1 3 yxxy即 解法 2 设 2211 yxByxA则有 0 3 3 21212121 2 2 2 2 2 1 2 1 yyyyxxxx yx yx 依题意 3 21 21 21 yy xx kxx AB N 1 3 是 AB 的中点 1 6 2 2121 AB kyyxx从而 又由 N 1 3 在椭圆内 12313 22 的取值范围是 12 直线 AB 的方程为 y 3 x 1 即 x y 4 0 解法 1 CD 垂直平分 AB 直线 CD 的方程为 y 3 x 1 即 x y 2 0 代入椭圆方程 整理得 0444 2 xx 又设 4433 yxDyxCCD 的中点为 4300 xxyxC则是方程 的两根 2 3 2 1 2 3 2 2 1 2 1 1 0043043 Mxyxxxxx即且 用心 爱心 专心4 于是由弦长公式可得 3 2 1 1 43 2 xx k CD 将直线 AB 的方程 x y 4 0 代入椭圆方程得01684 2 xx 同理可得 12 2 1 21 2 xxkAB 当12 时 12 2 3 2CDAB 假设存在 12 使得 A B C D 四点共圆 则 CD 必为圆的直径 点 M 为圆心 点 M 到直线 AB 的距离为 2 23 2 4 2 3 2 1 2 4 00 yx d 于是 由 式和勾股定理可得 2 2 3 2 12 2 9 2 22222 CDAB dMBMA 故当 12 时 A B C D 四点匀在以 M 为圆心 2 CD 为半径的圆上 注 上述解法中最后一步可按如下解法获得 A B C D 共圆 ACD 为直角三角形 A 为直角 AN 2 CN DN 即 2 2 2 2 d CD d CDAB 由 式知 式左边 2 12 由 和 知 式右边 2 12 2 9 2 3 2 23 2 3 2 2 23 2 3 2 式成立 即 A B C D 四点共圆 解法 2 由 解法 1 及 12 CD 垂直平分 AB 直线 CD 方程为13 xy 代入椭圆方程 整理得 0 444 2 xx 将直线 AB 的方程 x y 4 0 代入椭圆方程 整理得 01684 2 xx 解 和 式可得 2 31 2 122 4 32 1 xx 用心 爱心 专心5 不妨设 2 33 2 31 2 33 2 31 12 2 1 3 12 2 1 1 DCA 2 1233 2 3123 CA 2 1233 2 3123 DA 计算可得0 DACA A 在以 CD 为直径的圆上 又 B 为 A 关于 CD 的对称点 A B C D 四点共圆 注 也可用勾股定理证明 AC AD 3 本小题满分 14 分 已知不等式nn n 其中 log 2 11 3 1 2 1 2 为大于 2 的整数 log2n表示不超过 n 2 log的最大整数 设数列 n a的各项为正 且满足 4 3 2 0 1 1 1 n an na abba n n n 证明 5 4 3 log2 2 2 n nb b an 猜测数列 n a是否有极限 如果有 写出极限的值 不必证明 试确定一个正整数 N 使得当Nn 时 对任意 b 0 都有 5 1 n a 本小题主要考查数列 极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想 证法 1 当 111 0 2 11 1 1 1 nana an aan na an nn n nn n n 时 即 111 1 naa nn 于是有 111 3 111 2 111 12312 naaaaaa nn 所有不等式两边相加可得 1 3 1 2 111 1 naan 由已知不等式知 当 n 3 时有 log 2 111 2 1 n aan log2 2 2 log2 log 2 111 2 2 21 nb b a b nb n ba ba n n 用心 爱心 专心6 证法 2 设 n nf 1 3 1 2 1 首先利用数学归纳法证不等式 5 4 3 1 n bnf b an i 当 n 3 时 由 3 1 1 2 2 3 3 1 3 3 3 3 1 1 2 2 2 3 bf b a a a a a a 知不等式成立 ii 假设当 n k k 3 时 不等式成立 即 1bkf b ak 则 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b bkf k k a k k ak ak a k k k k 1 1 1 1 1 1 1 1 bkf b b k kf b bbkfkk bk 即当 n k 1 时 不等式也成立 由 i ii 知 5 4 3 1 n bnf b an 又由已知不等式得 5 4 3 log2 2 log 2 1 1 2 2 n nb b bn b an 有极限 且 0 lim n n a 5 1 log 2 log 2 log2 2 222 nnnb b 令 则有 10242 10 loglog 10 22 nnn 故取 N 1024 可使当 n N 时 都有 5 1 n a 4 如图 已知椭圆的中心在坐标原点 焦点 F1 F2在 x 轴上 长轴 A1A2的长为 4 左准线 l 与 x 轴的交点为 M MA1 A1F1 2 1 求椭圆的方程 若点 P 为 l 上的动点 求 F1PF2最大值 用心 爱心 专心7 本题主要考查椭圆的几何性质 椭圆方程 两条直线的夹角等基础知识 考查解析几何的 基本思想方法和综合解题能力 满分 14 分 解 设椭圆方程为 22 22 10 xy ab ab 半焦距为c 则 2 111 2 222 22 2 24 2 3 1 1 43 a MAa AFac c a aac c a abc abc xy 由题意 得 故椭圆方程为 00 4 0Pyy 设 00 1122 121 1 00 21 12 2 120 0 001212 12 35 0 2 22 15 tan 115152 15 1515tan 15 arctan 15 yy PFkPFk FPFPFM FPF yykk FPF k kyy yyFPFFPF FPF 设直线的斜率 直线的斜率 为锐角 当 即 时 取到最大值 此时最大 故的最大值为 5 已知函数 f x和 g x的图象关于原点对称 且 2 2f xxx 求函数 g x的解析式 解不等式 1g xf xx 若 1h xg xf x 在 1 1 上是增函数 求实数 的取值范围 本题主要考查函数图象的对称 二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识 以及综 合运用所学知识分析和解决问题的能力 满分 14 分 解 设函数 yf x 的图象上任意一点 00 Q xy关于原点的对称点为 P x y 则 用心 爱心 专心8 0 0 00 0 2 0 2 xx xx yyyy 即 点 00 Q xy在函数 yf x 的图象上 222 22 2yxxyxxg xxx 即 故 由 2 1210g xf xxxx 可得 当1x 时 2 210 xx 此时不等式无解 当1x 时 2 210 xx 解得 1 1 2 x 因此 原不等式的解集为 1 1 2 2 12 11h xxx 1411 1h xx 当时 在上是增函数 1 1 1 1 x 当时 对称轴的方程为 1 11 1 1 当时 解得 1 11 10 1 当时 解得 0 综上 6 本题满分 16 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小题 满分 6 分 对定义域分别是 Df Dg的函数 y f x y g x f x g x 当 x Df且 x Dg 规定 函数 h x f x 当 x Df且 x Dg g x 当 x Df且 x Dg 1 若函数 f x 1 1 x g x x2 x R 写出函数 h x 的解析式 2 求问题 1 中函数 h x 的值域 3 若 g x f x 其中 是常数 且 0 请设计一个定义域为 R 的函数 用心 爱心 专心9 y f x 及一个 的值 使得 h x cos4x 并予以证明 解 1 h x 1 2 x x x 1 1 1 x 1 2 当 x 1 时 h x 1 2 x x x 1 1 1 x 2 若 x 1 时 则 h x 4 其中等号当 x 2 时成立 若 x 1 时 则 h x 0 其中等号当 x 0 时成立 函数 h x 的值域是 0 1 4 3 令 f x sin2x cos2x 4 则 g x f x sin2 x 4 cos2 x 4 cos2x sin2x 于是 h x f x f x sin2x co2sx cos2x sin2x cos4x 另解令 f x 1 2sin2x 2 g x f x 1 2sin2 x 1 2sin2x 于是 h x f x f x 1 2sin2x 1 2sin2x cos4x 7 本题满分 18 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 8 分 第 3 小题 满分 6 分 在直角坐标平面中 已知点 P1 1 2 P2 2 22 Pn n 2n 其中 n 是正整数 对平面上 任一点 A0 记 A1为 A0关于点 P1的对称点 A2为 A1关于点 P2的对称点 AN为 AN 1 关于点 PN的对称点 1 求向量 20A A的坐标 2 当点 A