探究应用新思维_数学7年级1_

1 数形结合话数轴 解读课标 数学是研究 数 和 形 的一门学科 从古希腊时期起 人们就已试图把它们统一 起来 在日常生活中我们通常对有形的东西认识比较快 而对抽象的东西认识比较慢 这正 是现阶段数学学习的特点 以形助数是数学学习的一个重要方法 运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系 现阶段数轴是数形联系的有 力工具 主要反映在 1 利用数轴形象地表示有理数 2 利用数轴直观地解释相反数 3 利用数轴解决与绝对值有关的问题 4 利用数轴比较有理数的大小 问题解决 例 1 1 已知 为有理数 且 将四个数 ab0a 0b 0ab aba 按由小到大的顺序排列是 b 时代学习报 数学文化节试题 2 已知数轴上有 两点 A B 之间的距离为 点与原点的距离为 那AB1AO3 么点对应的数是 B 广西竞赛题 试一试 对于 1 赋值或借助数轴比较大小 对于 2 确定 两点在数轴上的位AB 置 充分考虑 两点的多种位置关系 AB 例 2 如图 数轴上标出若干个点 每相邻两点相距个单位 1 点 对应的数分别是整数 且 那么数轴的原ABCDabcd210da 点应是 A 点B 点C 点D 点ABCD 江苏省竞赛题 试一试 从寻找与的另一关系式入手 da 例 3 已知两数 如果比大 试判断与的大小 abab a b 试一试 因 符号未定 故比大有多种情形 借助数轴可直观全面比较与abab a 的大小 b 例 4 电子跳蚤落在数轴上的某点 第一步从向左跳 个单位到 第二步由 0 K 0 K1 1 K 向右跳个单位到 第三步由向左跳个单位到 第四步由向右跳个单 1 K2 2 K 2 K3 3 K 3 K4 位到 按以上规律跳了步时 电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰 4 K100 100 K 是 试求电子跳蚤的初始位置点所表示的数 19 94 0 K 希望杯 邀请赛试题 试一试 设点表示的数为 把 点所表示的数用的式子表 0 Kx 1 K 2 K 100 Kx 示 例 5 已知数轴上的点和点之间的距离为个单位长度 点在原点的左边 AB28A 距离原点个单位长度 点在原点的右边 8B 1 求 两点所对应的数 AB 2 数轴上点以每秒 个单位长度出发问左运动 同时点以每秒个单位长度的速A1B3 度向左运动 在点处追上了点 求点对应的数 CAC 3 已知在数轴上点从点出发向右运动 速度为每秒 个单位长度 同时点从MA1N 点出发向右运动 速度为每秒个单位长度 设线段的中点为 为原点 在B2NOPO 运动的过程中线段的值是否变化 若不变 求其值 若变化 请说明理由 POAM 分析与解 对于 3 设点运动时间为 秒 把用的式子表示 MtPOAM 2 1 两点所对应的数分别为 AB8 20 2 点对应的数为 C22 3 为什么 则 即 202 10 2 t AMt OPt 1010POAMtt 的值不变 POAM 生活启示 例 6 李老师从油条的制作中受到启发 设计了一个数学问题 如图 在数轴上截取 从原点到 的对应点的线段 对折后 点与点重合 固定左端向右均匀地拉成1ABAB 个单位长度的线段 这一过程称为一次操作 例如 在第一次操作后 原线段上的1AB 均变成 变成 等等 那么在线段上 除点 点外 的点中 在 1 4 3 4 1 2 1 2 1ABAB 第二次操作后 求恰好被拉到与 重合的点所对应的数字之和 1 浙江省绍兴市中考题 分析 捕捉问题所蕴含的信息 阅读理解 一次操作 的意义 将线段沿中点翻折 中点左侧的点不动 中点右侧的点翻折到左侧的对应位置上 由原来的一个等分点变为两 个等分点 解 故在第二次操作后 恰好被拉到与 重合的点所对应的数字之和是 1 13 1 44 数学冲浪 知识技能广场 1 数轴上有 两点 若点对应的数是 且 两点的距离为 则点对 ABA2 AB3B 应的数是 2 电影 哈利 波特 中 小哈利 波特穿墙进入 站台 的镜头 如示意图中的 3 9 4 站台 构思奇妙 能给观众留下深刻的印象 若 站台分别位于 处 MAB2 1 则站台用类似电影中的方法可称为 站台 2ANNB N 时代学习报 数学文化节 试题 3 已知点 在数轴上 点表示的数为 那么点表示ABPB68AB 5AP P 的数是 4 如图所示 按下列方法将数轴的正半轴绕 在一个圆 该圆周长为个单位长 且在圆周3 的三等分点处分别标上了数字 012 上 先让原点与圆周上数字所对应的点重合 再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上 0 使数轴上 所对应的点分别与圆周上 所对应的点重合 1234 1201 这样 正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系 1 圆周上的数字与数轴上的数对应 则 a5a 2 数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周圈 为正整数 后 并落在圆周上数字 所nn1 对应的位置 这个整数是 用含的代数式表示 n 江西省中考题 5 有理数 在数轴上的位置如图所示 则下列各式正ab 确的是 A B C D 0ab 0ab 0ab 0ab 2012 年湖南省常德市中考题 6 文具店 书店 玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上 文具店在书店西米 玩具20 店位于书店东米处 小明从书店沿街向东走了米 接着又向东走了米 此时小1004060 明的位置在 A 文具店B 玩具店C 文具店西边米D 玩具店东米4060 7 将一刻度尺如图所示放在数轴上 数轴的单位长度是 刻度尺上的 1cm0cm 分别对应数轴上的和 则 15cm3 6 x A B C D 910 x 1011x 1112x 1213x 浙江省绍兴市中考题 8 在数轴上任取一条长度为的线段 则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的 1 1999 9 个数是 A B C D 1998199920002001 重庆市竞赛题 9 一个跳蚤在一条直线上 从点开始 第 次向右跳 个单位 紧接着第次晾左跳个O1122 单位 第次向右跳个单位 第次向左跳个单位 依此规律剧下去 当它跳第3344 次落下时 求落点处离点的距离 用单位表示 100O 江苏省无锡市中考题 10 已知数轴上有 两点 之间的距离为 点与原点的距离为 求所ABAB1AO3 有满足条件的点与原点的距离的和 BO 北京市 迎春杯 竞赛题 思维方法天地 11 在数轴上 点 分别表示和 则线段的中点所表示的数是 AB 1 3 1 5 AB 12 在数轴上 表示数 的点与表示数 的点关于原点对称 则的 2 2 a M 3 3 a Na 值为 13 数形相伴 1 如图所示 点 所代表的数分别为AB 在数轴上画出与 两点的距离和为的点 并标上字母 1 2AB5 2 若数轴上点 所代表的数分别为 则 两点之间的距离可表示为ABabAB 那么 当时 当 ABab 1 2 7xx x 时 数所对应的点在数轴上的位置是在 1 2 5xx x 时代学习报 数学文化节试题 14 点 分别是数 在数轴上对应的点 使线段沿数轴向右移动为 AB3 1 2 ABA B 且线段的中点对应的数是 则点对应的数是 点移动的距离是A B 3A A 江苏省竞赛题 15 点 为正整数 都在数轴上 点在原点的左边 且 1 A 2 A 3 A n An 1 AO 点在点的右边 且 点在点的左边 且 点在 1 1AO 2 A 1 A 21 2A A 3 A 2 A 32 3A A 4 A 点的右边 且 依照上述规律 点 所表示的数分别为 3 A 43 4A A 2008 A 2009 A A B 20082009 2008 2009 C D 10041005 10041004 福建省泉州市中考题 16 如图 数轴 上标出若干个点 每相邻两点相距 个单1 位 点 对应的数分别是整数 且 那么数轴的ABCDabcd29ba 原点对应点是 A 点B 点C 点D 点ABCD 17 有理数 在数轴上的位置如图 式子abc ab 化简结果为 abbc A B C D 23abc 3bc bc cb 18 不相等的有理数 在数轴上对应点分别为 若abcABC 那么点 abbcac B A 在 点右边B 在 点左边ACAC C 在 点之间D 以上均有可能AC 希望杯 邀请赛题 19 在数轴上 点与点的距离是点与所对应点之间的距离的倍 那么点表NON304N 示的数是多少 CASIO 杯 河南省竞赛题 20 已知数轴上有 三点 分别代表 两只电子蚂蚁甲 乙分别ABC24 10 10 从 两点同时相向而行 甲的速度为个单位 秒 AC4 1 问多少秒后甲到 的距离和为个单位 ABC40 2 若乙的速度为个单位 秒 两只电子蚂蚁甲 乙分别从 两点同时相向 而6AC1 行 问甲 乙在数轴上的哪个点相遇 3 在 1 2 的条件下 当甲到 的距离和为个单位时 甲调头返回 ABC40 问甲 乙还能在数轴上相遇吗 若能 求出相遇点 若不能 请说明理由 21 操作与探究 对数轴上的点进行如下操作 先把点表示的数乘以再把所得数对应的点向右平PP 1 3 移 个单位 得到点的对应点 1PP 点 在数轴上 对线段上的每个点进行上述操作后得到线段 其中 点A BABA B 的对应点分别为 如图所示 若点表示的数是 则点表示的数是A BA B A3 A 若点表示的数是 则点表示的数是 已知线段上的点B 2B AB 经过上述操作后得到的对应点与点重合 则点表示的数是 E E EE 2012 年北京市中考题 22 动点从数轴上的原点出发 沿数轴的正方向以每前进个单位 后退个单位的程P53 序运动 已知点每秒前进或后退 个单位 设表示第秒点在数轴上的位置所对应P1 n xnP 的数 如 求所对应的数 4 4x 5 5x 6 4x 2011 x 2 聚焦绝对值 绝对值是数学中的一个基本概念 这一概念是学习相反数 有理数运算 算术根的基础 绝对值又是数学中的一个重要概念 绝对值与其他知识融合形成绝对值 方程 绝对值不等 式 绝对值函数等 在代数式化简求值 解方程 解不等式等方面有广泛的应用 理解 掌握绝对值应注意以下几个方面 1 脱去绝对值符号是解绝对值问题的切入点 脱去绝对值符号常用到相关法则 分类讨论 数形结合等知识方法 2 恰当地运用绝对值的几何意义 从数轴上看表示数的点到原点的距离 表示数 数的两点间的距离 aa ab ab 3 灵活运用绝对值的基本性质 0a 222 aaa abab aa ba bb 例 1 已知 其中 那么 20 20 yxbxxb 020b 20bx 的最小值为 y CASIO 杯 河南省竞赛题 试一试 结合已知条件判断出每一个绝对值符号内式子的正负性 再去掉绝对值符号 例 2 式子的所有可能的值有 abab abab A 个B 个C 个D 无数个234 试一试根据 的符号所有可能情况 去掉绝对值符号 这是解本例的关键 ab 例 3 1 已知 求 2 2 0aba 111 1 1 2 2 ababab 的值 1 2005 2006 ab 华罗庚杯 香港中学竞赛题 2 设 为整数 且 求的值 abc 1abca caabbc 希望杯 邀请赛试题 试一试 对于 1 由非负数的性质先导出 的值 对于 2 写成两个非负整数的和ab1 的形式又有几种可能 这是解 2 的突破口 例 4 阅读下列材料并解决有关问题 我们知道现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式 如 0 0 0 0 x x xx x x 化简代数式 时 可令 和 分别求得 1 2 xx 10 x 20 x 1x 2x 称 分别为与的零点值 在有理数范围内 零点值和可将1 2 1 x 2 x 1x 2x 全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况 3 1 2 3 从而化简代数式可分以下1x 12x 2x 1 2 xx 种情况 3 1 当 时 原式 1x 1 2 21xxx 2 当时 原式 12x 1 2 3xx 3 当时 原式 2x 1221xxx 综上讨论 原式 21 1 3 12 21 2 xx x xx 通过以上阅读 请你解决以下问题 1 分别求出和的零点值 2 x 4 x 2 化简代数式 2 4 xx 云南省中考题 试一试 在阅读理解的基础上化简求值 例 5 1 当取何值时 有最小值 这个最小值是多少 x 3 x 2 当取何值时 有最大值 这个最大值是多少 x5 2 x 3 求的最小值 4 5 xx 4 求的最小值 7 8 9 xxx 分析对于 3 4 可先运用零点分段讨论法去掉绝对值符号 再求最小值 也可利用 绝对值的几何意义 即在数轴上找一表示的点 使之到表示 的点 或表示 x457 的点 的距离和最小 89 解 1 当时 原式有最小值 最小值为 3x 0 2 当时 原式有最大值 最大值为 2x 5 3 当时 原式有最小值 最小值为 45x 1 4 当时 原式有最小值 最小值为 8x 2 对于 3 给出另一种解法 当时 原式 最小值为 4x 4 5 92xxx 1 当时 原式 最小值为 45x 4 5 1xx 1 当时 原式 最小值为 5x 4529xxx 1 综上所述 原式有最小值等于 1 以退求进 例 6 少年科技组制成一台单项功能计算器 对任意两个整数只能完成求差后 再取绝对 值的运算 其运算过程是 输人第一个整数 只显示不运算 接着再输人整数心后则 1 x 2 x 显示的结果 此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运 12 xx 算 现小明将从 到这个整数随意地一个一个地输人 全部输入完毕之后显示的最119911991 后结果设为 试求出的最大值 并说明理由 PP 分析 先考虑输入个数较少的情形 并结合奇偶分析调整估值 一步步求出的最大P 值 解 由于输入的数都是非负数 当 时 不超过 中最大 1 0 x 2 0 x 12 xx 1 x 2 x 的数 对 则不超过工 中最大的数 设 1 0 x 2 0 x 3 0 x 123 xxx 1 x 2 x 3 x 小明输入这个数的次序是 相当于计算 1991 1 x 2 x 1991 x 因此的值 12319901991 xxxxxP P 1991 x 另外从运算奇偶性分析 为整数 与奇偶性相同 因此与 1 x 2 x 12 xx 12 xx P 的奇偶性相同 121991 xxx 但偶数 于是断定 我们证明可以 121991 121991xxx 1990 Px P 取到 1990 对 按如下次序 1234 1 3 4 2 0 对于均成立 因此 41 43 44 42 0kkkk 0 1 2 k 可按上述办法依次输入最后显示结果为 而后 1 19880 1989 1990 1991 1990 故的最大值为 P1990 数学冲浪 知识技能广场 1 数在数轴上的位置如图所示 且 则 a 1 2a 37 a 2 已知 且 那么 5a 3b abba ab 3 化简 11111111 20032003200220022001202004200401 北京市竞赛题 4 已知有理数 在数轴上的对应位置如图所示 则abc 化简后的结果是 1 cacab 5 已知整数 满足下列条件 1 a 2 a 3 a 4 a 1 0a 21 1 aa 依次类推 则的值为