2012高考数学备考 真题+模拟新题分类汇编 概率

用心 爱心 专心 1 概率概率 高考真题高考真题 模拟新题模拟新题 课标理数 13 K113 K1 2011 福建卷 盒中装有形状 大小完全相同的 5 个球 其中红色球 3 个 黄色球 2 个 若从中随机取出 2 个球 则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于 课标理数 13 K113 K1 2011 福建卷 答案 3 5 解析 从盒中随机取出 2 个球 有 C 种取法 所取出的 2 个球颜色不同 有 C C 2 51 3 种取法 则所取出的 2 个球颜色不同的概率是p 1 2 C1 3C1 2 C2 5 6 10 3 5 课标文数 19 I219 I2 K1K1 2011 福建卷 某日用品按行业质量标准分成五个等级 等级系 数X依次为 1 2 3 4 5 现从一批该日用品中随机抽取 20 件 对其等级系数进行统计分析 得到频率分布表如下 X 1 2 3 4 5f a 0 2 0 45 b c 1 若所抽取的 20 件日用品中 等级系数为 4 的恰有 3 件 等级系数为 5 的恰有 2 件 求a b c的值 2 在 1 的条件下 将等级系数为 4 的 3 件日用品记为x1 x2 x3 等级系数为 5 的 2 件日用品记为y1 y2 现从x1 x2 x3 y1 y2这 5 件日用品中任取两件 假定每件日用品被 取出的可能性相同 写出所有可能的结果 并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概 率 课标文数 19 I219 I2 K1K1 2011 福建卷 解答 1 由频率分布表得 a 0 2 0 45 b c 1 即a b c 0 35 因为抽取的 20 件日用品中 等级系数为 4 的恰有 3 件 所以b 0 15 3 20 等级系数为 5 的恰有 2 件 所以c 0 1 2 20 从而a 0 35 b c 0 1 所以a 0 1 b 0 15 c 0 1 2 从日用品x1 x2 x3 y1 y2中任取两件 所有可能的结果为 x1 x2 x1 x3 x1 y1 x1 y2 x2 x3 x2 y1 x2 y2 x3 y1 x3 y2 y1 y2 设事件A表示 从日用品x1 x2 x3 y1 y2中任取两件 其等级系数相等 则A包含 的基本事件为 x1 x2 x1 x3 x2 x3 y1 y2 共 4 个 又基本事件的总数为 10 故所求的概率P A 0 4 4 10 课标数学 5 K15 K1 2011 江苏卷 从 1 2 3 4 这四个数中一次随机地取两个数 则其中一 个数是另一个数的两倍的概率是 课标数学 5 K15 K1 2011 江苏卷 解析 一次随机抽取两个数共有 1 3 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 一个数是另一个数的 2 倍的有 2 种 故所求概率为 1 3 课标文数 9 K29 K2 2011 安徽卷 从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点 则以它们 作为顶点的四边形是矩形的概率等于 A B 1 10 1 8 用心 爱心 专心 2 C D 1 6 1 5 课标文数 9 K29 K2 2011 安徽卷 D 解析 假设正六边形的六个顶点分别为 A B C D E F 则从 6 个顶点中任取 4 个共有 15 种基本结果 所取四个点构成矩形四 个顶点的结果数为 3 所以概率为 1 5 课标文数 16 I216 I2 K2K2 2011 北京卷 以下茎叶图记录了甲 乙两组各四名同学的植树棵 数 乙组记录中有一个数据模糊 无法确认 在图中以X表示 甲组 乙组 9 9 1 1 0 1 X 8 9 0 1 如果X 8 求乙组同学植树棵数的平均数和方差 2 如果X 9 分别从甲 乙两组中随机选取一名同学 求这两名同学的植树总棵数为 19 的概率 注 方差s2 x1 2 x2 2 xn 2 其中 为x1 x2 xn的平均 1 nxxxx 数 课标文数 16 I216 I2 K2K2 2011 北京卷 解答 1 当X 8 时 由茎叶图可知 乙组同 学的植树棵数是 8 8 9 10 所以平均数为 x 8 8 9 10 4 35 4 方差为 s2 1 4 8 35 4 2 8 35 4 2 9 35 4 2 10 35 4 2 11 16 2 记甲组四名同学分别为A1 A2 A3 A4 他们植树的棵数依次为 9 9 11 11 乙组四 名同学分别为B1 B2 B3 B4 他们植树的棵数依次为 9 8 9 10 分别从甲 乙两组中随机选取一名同学 所有可能的结果有 16 个 它们是 A1 B1 A1 B2 A1 B3 A1 B4 A2 B1 A2 B2 A2 B3 A2 B4 A3 B1 A3 B2 A3 B3 A3 B4 A4 B1 A4 B2 A4 B3 A4 B4 用C表示 选出的两名同学的植树总棵数为 19 这一事件 则C中的结果有 4 个 它 们是 A1 B4 A2 B4 A3 B2 A4 B2 故所求概率为P C 4 16 1 4 课标文数 17 I217 I2 K2K2 2011 广东卷 在某次测验中 有 6 位同学的平均成绩为 75 分 用xn表示编号为n n 1 2 6 的 同学所得成绩 且前 5 位同学的成绩如下 编号n 1 2 3 4 5 成绩xn 70 76 72 70 72 1 求第 6 位同学的成绩x6 及这 6 位同学成 绩的标准差s 2 从前 5 位同学中 随机地选 2 位同学 求恰有 1 位同学成绩在区间 68 75 中的概 率 课标文数 17 I217 I2 K2K2 2011 广东卷 解答 1 xn 75 x 1 6 6 n 1 用心 爱心 专心 3 x6 6 xn 6 75 70 76 72 70 72 90 x 5 n 1 s2 xn 2 52 12 32 52 32 152 49 1 6 6 n 1x 1 6 s 7 2 从 5 位同学中随机选取 2 位同学 共有如下 10 种不同的取法 1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5 选出的 2 位同学中 恰有 1 位同学的成绩位于 68 75 的取法共有如下 4 种 1 2 2 3 2 4 2 5 故所求概率为 2 5 课标理数 4 K24 K2 2011 课标全国卷 有 3 个兴趣小组 甲 乙两位同学各自参加其中一 个小组 每位同学参加各个小组的可能性相同 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A B C D 1 3 1 2 2 3 3 4 课标理数 4 K24 K2 2011 课标全国卷 A 解析 甲 乙两名同学参加小组的情况共有 9 种 参加同一小组的情况有 3 种 所以参加同一小组的概率为 3 9 1 3 课标文数 19 K219 K2 I2I2 2011 辽宁卷 某农场计划种植某种新作物 为此对这种作物的两 个品种 分别称为品种甲和品种乙 进行田间试验 选取两大块地 每大块地分成n小块地 在总共 2n小块地中 随机选n小块地种植品种甲 另外n小块地种植品种乙 1 假设n 2 求第一大块地都种植品种甲的概率 2 试验时每大块地分成 8 小块 即n 8 试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地 上的每公顷产量 单位 kg hm2 如下表 品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差 根据试验结果 你认为应该 种植哪一品种 附 样本数据x1 x2 xn的样本方差s2 x1 2 x2 2 xn 2 1 nxxx 其中 为样本平均数 x 课标文数 19 K219 K2 I2I2 2011 辽宁卷 解答 1 设第一大块地中的两小块地编号为 1 2 第二大块地中的两小块地编号为 3 4 令事件A 第一大块地都种品种甲 从 4 小块地中任选 2 小块地种植品种甲的基本事件共 6 个 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 而事件A包含 1 个基本事件 1 2 所以P A 1 6 2 品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为 甲 403 397 390 404 388 400 412 406 400 x 1 8 s 32 3 2 10 2 42 12 2 02 122 62 57 25 2 甲 1 8 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为 乙 419 403 412 418 408 423 400 413 412 x 1 8 S 72 9 2 02 62 4 2 112 12 2 12 56 2 乙 1 8 用心 爱心 专心 4 由以上结果可以看出 品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数 且两品种的样本 方差差异不大 故应该选择种植品种乙 课标文数 6 K26 K2 2011 课标全国卷 有 3 个兴趣小组 甲 乙两位同学各自参加其中一 个小组 每位同学参加各个小组的可能性相同 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A B 1 3 1 2 C D 2 3 3 4 课标文数 6 K26 K2 2011 课标全国卷 A 解析 甲 乙两名同学参加小组的情况共有 9 种 参加同一小组的情况有 3 种 所以参加同一小组的概率为 3 9 1 3 课标文数 18 K218 K2 2011 山东卷 甲 乙两校各有 3 名教师报名支教 其中甲校 2 男 1 女 乙校 1 男 2 女 1 若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名 写出所有可能的结果 并求选出的 2 名 教师性别相同的概率 2 若从报名的 6 名教师中任选 2 名 写出所有可能的结果 并求选出的 2 名教师来自 同一学校的概率 课标文数 18 K218 K2 2011 山东卷 解答 1 甲校两名男教师分别用A B表示 女教 师用C表示 乙校男教师用D表示 两名女教师分别用E F表示 从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名的所有可能的结果为 A D A E A F B D B E B F C D C E C F 共 9 种 从中选出两名教师性别相同的结果有 A D B D C E C F 共 4 种 选出的两名教师性别相同的概率为P 4 9 2 从甲校和乙校报名的教师中任选 2 名的所有可能的结果为 A B A C A D A E A F B C B D B E B F C D C E C F D E D F E F 共 15 种 从中选出两名教师来自同一学校的结果有 A B A C B C D E D F E F 共 6 种 选出的两名教师来自同一学校的概率为P 6 15 2 5 课标理数 10 K210 K2 2011 陕西卷 甲乙两人一起去游 2011 西安世园会 他们约定 各 自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览 每个景点参观 1 小时 则最后一小时他们同 在一个景点的概率是 A B C D 1 36 1 9 5 36 1 6 课标理数 10 K210 K2 2011 陕西卷 D 解析 对本题我们只看甲乙二人游览的最后一个 景点 最后一个景点的选法有 C C 36 种 若两个人最后选同一个景点共有 C 6 种 1 61 61 6 选法 所以最后一小时他们在同一个景点游览的概率为P C1 6 C1 6 C1 6 1 6 大纲文数 12 K212 K2 2011 四川卷 在集合 1 2 3 4 5 中任取一个偶数a和一个奇数b构 成以原点为起点的向量 a b 从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻 边作平行四边形 记所有作成的平行四边形的个数为n 其中面积等于 2 的平行四边形的个 用心 爱心 专心 5 数为m 则 m n A B C D 2 15 1 5 4 15 1 3 大纲文数 12 K212 K2 2011 四川卷 B 解析 因为当 a1 a2 b1 b2 则 OP OQ 以 为邻边的平行四边形的面积S sin POQ OP OQ OP OQ OP OQ 1 cos2 POQ a1b2 a2b1 根 OP 2 OQ 2 OP OQ 2 a2 1 a2 2 b2 1 b2 2 a1b1 a2b2 2 据条件知平行四边形面积等于 2 可转化为 a1b2 a2b1 2 由条件知 满足条件的向量 有 6 个 即 1 1 2 12 1 2 2 2 32 3 3 3 2 52 5 4 4 4 14 1 5 5 4 34 3 6 6 4 5 易知n C 15 而满足 式的有向量 1和 4 1和 5 2和 6共 3 个 即 2 6 m n 1 5 大纲理数 12 K212 K2 2011 四川卷 在集合 1 2 3 4 5 中任取一个偶数a和一个奇数b构 成以原点为起点的向量 a b 从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻 边作平行四边形 记所有作成的平行四边形的个数为n 其中面积不超过 4 的平行四边形的 个数为m 则 m n A B C D 4 15 1 3 2 5 2 3 大纲理数 12 K212 K2 2011 四川卷 B 解析 因为当 a1 a2 b1 b2 则 OP OQ 以 为邻边的四边形的面积S sin POQ OP OQ OP OQ OP OQ 1 cos2 POQ a1b2 a2b1 根 OP 2 OQ 2 OP OQ 2 a2 1 a2 2 b2 1 b2 2 a1b1 a2b2 2 据条件知平行四边形面积不超过 4 可转化为 a1b2 a2b1 4 由条件知 满足条件的向 量有 6 个 即 1 1 2 12 1 2 2 2 32 3 3 3 2 52 5 4 4 4 14 1 5 5 4 34 3 6 6 4 5 易知n C 15 而满足 式的有向量 1 1和 2 2 1 1和 4 4 1 1和 5 5 2 2和 3 3 2 2 2 6 和 6 6共 5 个 即 m n 1 3 课标理数 16 K216 K2 K6K6 2011 天津卷 学校游园活动有这样一个游戏项目 甲箱子里装有 3 个白球 2 个黑球 乙箱子里装有 1 个白球 2 个黑球 这些球除颜色外完全相同 每次游 戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球 若摸出的白球不少于 2 个 则获奖 每次游戏结束 后将球放回原箱 1 求在 1 次游戏中 i 摸出 3 个白球的概率 ii 获奖的概率 2 求在 2 次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E X 课标理数 16 K216 K2 K6K6 2011 天津卷 解答 1 i 设 在 1 次游戏中摸出i个白球 为事件Ai i 0 1 2 3 则P A3 C2 3 C2 5 C1 2 C2 3 1 5 ii 设 在 1 次游戏中获奖 为事件B 则B A2 A3 又P A2 且A2 A3互斥 所以P B P A2 P A3 C2 3 C2 5 C2 2 C2 3 C1 3C1 2 C2 5 C1 2 C2 3 1 2 1 2 1 5 7 10 2 由题意可知X的所有可能取值为 0 1 2 P X 0 2 1 7 10 9 100 用心 爱心 专心 6 P X 1 C 1 2 7 10 1 7 10 21 50 P X 2 2 7 10 49 100 所以X的分布列是 X 0 1 2P X的数学期望E X 0 1 2 9 100 21 50 49 100 9 100 21 50 49 100 7 5 课标文数 15 K215 K2 2011 天津卷 编号分别为A1 A2 A16的 16 名篮球运动员在某次 训练比赛中的得分记录如下 运动员编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8得分 15 35 21 28 25 36 18 34 运动员编号 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16 得分 17 26 25 33 22 12 31 38 1 将得分在对应区间内的人数填入相应的空格 区间 10 20 20 30 30 40 人数 2 从得分在区间 20 30 内的运动员中随机抽取 2 人 用运动员编号列出所有可能的抽取结果 求这 2 人得分之和大于 50 的概率 课标文数 15 K215 K2 2011 天津卷 解答 1 4 6 6 2 得分在区间 20 30 内的运动员编号为A3 A4 A5 A10 A11 A13 从中随机抽取 2 人 所有可能的抽取结果有 A3 A4 A3 A5 A3 A10 A3 A11 A3 A13 A4 A5 A4 A10 A4 A11 A4 A13 A5 A10 A5 A11 A5 A13 A10 A11 A10 A13 A11 A13 共 15 种 从得分在区间 20 30 内的运动员中随机抽取 2 人 这 2 个得分之和大于 50 记为 事件B 的所有可能结果有 A4 A5 A4 A10 A4 A11 A5 A10 A10 A11 共 5 种 所以P B 5 15 1 3 课标理数 9 K29 K2 2011 浙江卷 有 5 本不同的书 其中语文书 2 本 数学书 2 本 物理 书 1 本 若将其随机的并排摆放到书架的同一层上 则同一科目的书都不相邻的概率是 A B C D 1 5 2 5 3 5 4 5 课标理数 9 K29 K2 2011 浙江卷 B 解析 由古典概型的概率公式得P 1 2A2 2A2 2A2 3 A3 3A2 2A2 2 A5 5 2 5 课标文数 8 K28 K2 2011 浙江卷 从装有 3 个红球 2 个白球的袋中任取 3 个球 则所取 的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是 A B C D 1 10 3 10 3 5 9 10 课标文数 8 K28 K2 2011 浙江卷 D 解析 由古典概型的概率公式得P 1 C3 3 C3 5 9 10 大纲文数 14 K214 K2 2011 重庆卷 从甲 乙等 10 位同学中任选 3 位去参加某项活动 则 所选 3 位中有甲但没有乙的概率为 大纲文数 14 K214 K2 2011 重庆卷 解析 从 10 位同学中选 3 位的选法有 C种 7 303 10 其中有甲无乙的选法有 C 种 故所求的概率为 2 8 C2 8 C 3 10 7 30 用心 爱心 专心 7 课标理数 4 K34 K3 2011 福建卷 如图 1 1 矩形ABCD中 点E为边CD的中点 若在矩 形ABCD内部随机取一个点Q 则点Q取自 ABE内部的概率等于 图 1 1 A B 1 4 1 3 C D 1 2 2 3 课标理数 4 K34 K3 2011 福建卷 C 解析 因为S ABE AB BC S矩形 1 2 AB BC 则点Q取自 ABE内部的概率p 故选 C S ABE S矩形 1 2 课标文数 7 K37 K3 2011 福建卷 如图 1 2 矩形ABCD中 点E为边CD的中点 若在矩 形ABCD内部随机取一个点Q 则点Q取自 ABE内部的概率等于 图 1 2 A B C D 1 4 1 3 1 2 2 3 课标理数 15 K315 K3 2011 湖南卷 1 2 解析 1 S圆 S正方形 2 2 2 1 42 根据几何概型的求法有 P A S正方形 S圆 2 2 由 EOH 90 S EOH S正方形 故P Error A 1 4 1 2 S EOH S正方形 1 2 2 1 4 课标文数 15 H415 H4 K3K3 2011 湖南卷 已知圆C x2 y2 12 直线l 4x 3y 25 1 圆C的圆心到直线l的距离为 用心 爱心 专心 8 2 圆C上任意一点A到直线l的距离小于 2 的概率为 课标文数 15 H415 H4 K3K3 2011 湖南卷 1 5 2 1 6 解析 1 圆心到直线的距离为 d 5 25 32 42 图 1 4 2 当圆C上的点到直线l的距离是 2 时有两个点为点B与点D 设过这两点的直线方程 为 4x 3y c 0 同时可得到的圆心到直线 4x 3y c 0 的距离为OC 3 又圆的半径为r 2 可得 BOD 60 由图 1 2 可知点A在弧上移动 弧长 3BD l c 圆周长c 故P A BD 1 6 c 6 lBD c 1 6 课标理数 12 K312 K3 2011 江西卷 小波通过做游戏的方式来确定周末活动 他随机地往单 位圆内投掷一点 若此点到圆心的距离大于 则周末去看电影 若此点到圆心的距离小于 1 2 1 4 则去打篮球 否则 在家看书 则小波周末不在家看书的概率为 大纲理数 18 K418 K4 K6K6 2011 全国卷 根据以往统计资料 某地车主购买甲种保险的概率 为 0 5 购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0 3 设各车主购买保险相互独立 1 求该地 1 位车主至少购买甲 乙两种保险中的 1 种的概率 2 X表示该地的 100 位车主中 甲 乙两种保险都不购买的车主数 求X的期望 大纲理数 18 K418 K4 K6K6 2011 全国卷 解答 记A表示事件 该地的 1 位车主购买甲 种保险 B表示事件 该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险 C表示事件 该地的 1 位车主至少购买甲 乙两种保险中的 1 种 D表示事件 该地的 1 位车主甲 乙两种保险都不购买 1 P A 0 5 P B 0 3 C A B P C P A B P A P B 0 8 2 D P D 1 P C 1 0 8 0 2 C X B 100 0 2 即X服从二项分布 所以期望EX 100 0 2 20 大纲文数 19 K419 K4 K5K5 2011 全国卷 根据以往统计资料 某地车主购买甲种保险的概率 用心 爱心 专心 9 为 0 5 购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0 3 设各车主购买保险相互独立 1 求该地 1 位车主至少购买甲 乙两种保险中的 1 种的概率 2 求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲 乙两种保险都不购买的概率 大纲文数 19 K419 K4 K5K5 2011 全国卷 解答 记A表示事件 该地的 1 位车主购买甲 种保险 B表示事件 该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险 C表示事件 该地的 1 位车主至少购买甲 乙两种保险中的 1 种 D表示事件 该地的 1 位车主甲 乙两种保险都不购买 E表示事件 该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲 乙两种保险都不购买 1 P A 0 5 P B 0 3 C A B P C P A B P A P B 0 8 2 D P D 1 P C 1 0 8 0 2 C P E C 0 2 0 82 0 384 1 3 课标理数 18 K418 K4 K6K6 2011 湖南卷 某商店试销某种商品 20 天 获得如下数据 日销售量 件 0 1 2 3 频数 1 5 9 5 试销结束后 假设该商品的日销售量的分布规律不 变 设某天开始营业时有该商品 3 件 当天营业结束后检查存货 若发现存量少于 2 件 则当天进货补充至 3 件 否则不进货 将频率视为概率 1 求当天商店不进货的概率 2 记X为第二天开始营业时该商品的件数 求X的分布列和数学期望 课标理数 18 K418 K4 K6K6 2011 湖南卷 解答 1 P 当天商店不进货 P 当天 商品销售量为 0 件 P 当天商品销售量为 1 件 1 20 5 20 3 10 2 由题意知 X的可能取值为 2 3 P X 2 P 当天商品销售量为 1 件 5 20 1 4 P X 3 P 当天商品销售量为 0 件 P 当天商品销售量为 2 件 P 当天 商品销售量为 3 件 1 20 9 20 5 20 3 4 故X的分布列为 X 2 3P X的数学期望为EX 2 3 1 4 3 4 1 4 3 4 11 4 课标文数 18 I218 I2 K4K4 2011 湖南卷 某河流上的一座水力发电站 每年六月份的发电量 Y 单位 万千瓦时 与该河上游在六月份的降雨量X 单位 毫米 有关 据统计 当X 70 时 Y 460 X每增加 10 Y增加 5 已知近 20 年X的值为 140 110 160 70 200 160 140 160 220 200 110 160 160 200 140 110 160 220 140 160 1 完成如下的频率分布表 近 20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 2 假定今年六月份的降雨量与近 1 20 4 20 2 20 20 年六月份降雨量的分布规律相同 并将频率视为概率 求今年六月份该水力发电站的发电 量低于 490 万千瓦时 或超过 530 万千瓦时 的概率 课标文数 18 I218 I2 K4K4 2011 湖南卷 解答 1 在所给数据中 降雨量为 110 毫米的 有 3 个 为 160 毫米的有 7 个 为 200 毫米的有 3 个 故近 20 年六月份降雨量频率分布表 为 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 2 P 发电量低于 490 万千 1 20 3 20 4 20 7 20 3 20 2 20 用心 爱心 专心 10 瓦时或超过 530 万千瓦时 P Y530 P X210 P X 70 P X 110 P X 220 1 20 3 20 2 20 3 10 故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490 万千瓦时 或超过 530 万千瓦时 的概率 为 3 10 课标文数 16 K416 K4 2011 江西卷 某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别 公司准备了两种不同的饮料共 5 杯 其颜色完全相同 并且其中 3 杯为A饮料 另外 2 杯为 B饮料 公司要求此员工一一品尝后 从 5 杯饮料中选出 3 杯A饮料 若该员工 3 杯都选对 则评为优秀 若 3 杯选对 2 杯 则评为良好 否则评为合格 假设此人对A和B两种饮料没 有鉴别能力 1 求此人被评为优秀的概率 2 求此人被评为良好及以上的概率 课标文数 16 K416 K4 2011 江西卷 解答 将 5 杯饮料编号为 1 2 3 4 5 编号 1 2 3 表示A饮料 编号 4 5 表示B饮料 则从 5 杯饮料中选出 3 杯的所有可能情况为 123 124 125 134 135 145 234 235 245 345 可见 共有 10 种 令D表示此人被评为优秀的事件 E表示此人被评为良好的事件 F表示此人被评为良 好及以上的事件 则 1 P D 1 10 2 P E P F P D P E 3 5 7 10 课标理数 20 K420 K4 K6K6 2011 陕西卷 图 1 12 如图 1 12 A地到火车站共有两条路径L1和L2 据统计 通过两条路径所用的时间互 不影响 所用时间落在各时间段内的频率如下表 时间 分钟 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60L1的频率 0 1 0 2 0 3 0 2 0 2L2 的频率 0 0 1 0 4 0 4 0 1 现甲 乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站 1 为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站 甲和乙应如何选择各自的路径 2 用X表示甲 乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数 针对 1 的选择方案 求X的分布列和数学期望 课标理数 20 K420 K4 K6K6 2011 陕西卷 解答 1 Ai表示事件 甲选择路径Li时 40 分钟内赶到火车站 Bi表示事件 乙选择路径Li时 50 分钟内赶到火车站 i 1 2 用频率估计相应的概率可得 P A1 0 1 0 2 0 3 0 6 P A2 0 1 0 4 0 5 P A1 P A2 甲应选择L1 P B1 0 1 0 2 0 3 0 2 0 8 P B2 0 1 0 4 0 4 0 9 P B2 P B1 乙应选择L2 2 A B分别表示针对 1 的选择方案 甲 乙在各自允许的时间内赶到火车站 由 1 知P A 0 6 P B 0 9 又由题意知 A B独立 P X 0 P P P 0 4 0 1 0 04 A BAB P X 1 P B A P P B P A P ABAB 用心 爱心 专心 11 0 4 0 9 0 6 0 1 0 42 P X 2 P AB P A P B 0 6 0 9 0 54 X的分布列为 X 0 1 2P 0 04 0 42 0 54 EX 0 0 04 1 0 42 2 0 54 1 5 课标文数 20 K120 K1 2011 陕西卷 如图 1 13 A地到火车站共有两条路径L1和L2 现随 机抽取 100 位从A地到达火车站的人进行调查 调查结果如下 所用时间 分钟 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 选择L1的人数 6 12 18 12 12 选择L2的人数 0 4 16 16 4 图 1 13 1 试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率 2 分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率 3 现甲 乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站 为了尽最大可能在允 许的时间内赶到火车站 试通过计算说明 他们应如何选择各自的路径 课标文数 20 K120 K1 2011 陕西卷 解答 1 由已知共调查了 100 人 其中 40 分钟内 不能赶到火车站的有 12 12 16 4 44 人 用频率估计相应的概率为 0 44 2 选择L1的有 60 人 选择L2的有 40 人 故由调查结果得频率为 所用时间 分钟 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60L1的频率 0 1 0 2 0 3 0 2 0 2L2的频率 0 0 1 0 4 0 4 0 1 3 A1 A2分别表示甲选择L1和L2时 在 40 分钟内赶到火车站 B1 B2分别表示乙选择L1和L2时 在 50 分钟内赶到火车站 由 2 知P A1 0 1 0 2 0 3 0 6 P A2 0 1 0 4 0 5 P A1 P A2 甲应选择L1 P B1 0 1 0 2 0 3 0 2 0 8 P B2 0 1 0 4 0 4 0 9 P B2 P B1 乙应选择L2 大纲文数 19 K419 K4 K5K5 2011 全国卷 根据以往统计资料 某地车主购买甲种保险的概率 为 0 5 购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0 3 设各车主购买保险相互独立 1 求该地 1 位车主至少购买甲 乙两种保险中的 1 种的概率 2 求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲 乙两种保险都不购买的概率 大纲文数 19 K419 K4 K5K5 2011 全国卷 解答 记A表示事件 该地的 1 位车主购买甲 种保险 B表示事件 该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险 C表示事件 该地的 1 位车主至少购买甲 乙两种保险中的 1 种 D表示事件 该地的 1 位车主甲 乙两种保险都不购买 E表示事件 该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲 乙两种保险都不购买 1 P A 0 5 P B 0 3 C A B P C P A B P A P B 0 8 2 D P D 1 P C 1 0 8 0 2 C P E C 0 2 0 82 0 384 1 3 课标理数 12 K512 K5 2011 湖北卷 在 30 瓶饮料中 有 3 瓶已过了保质期 从这 30 瓶饮料 用心 爱心 专心 12 中任取 2 瓶 则至少取到 1 瓶已过保质期饮料的概率为 结果用最简分数表示 课标理数 12 K512 K5 2011 湖北卷 解析 所取 2 瓶全没有过保质期的概率为 28 145 所以至少取到 1 瓶已过保质期的概率为 1 C 2 27 C 2 30 117 145 117 145 28 145 课标文数 13 K513 K5 2011 湖北卷 在 30 瓶饮料中 有 3 瓶已过了保质期 从这 30 瓶饮料 中任取 2 瓶 则至少取到 1 瓶已过保质期饮料的概率为 结果用最简分数表示 课标文数 13 K513 K5 2011 湖北卷 解析 所取 2 瓶全没有过保质期的概率为 28 145 所以至少取到 1 瓶已过保质期的概率为 1 C 2 27 C 2 30 117 145 117 145 28 145 大纲理数 18 K518 K5 K6K6 2011 四川卷 本着健康 低碳的生活理念 租自行车骑游的人越 来越多 某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费 超过两小时的 部分每小时收费 2 元 不足 1 小时的部分按 1 小时计算 有甲 乙两人相互独立来该租车点 租车骑游 各租一车一次 设甲 乙不超过两小时还车的概率分别为 两小时以上且不 1 4 1 2 超过三小时还车的概率分别为 两人租车时间都不会超过四小时 1 2 1 4 1 求甲 乙两人所付的租车费用相同的概率 2 设甲 乙两人所付的租车费用之和为随机变量 求 的分布列及数学期望E 大纲理数 18 K518 K5 K6K6 2011 四川卷 解答 1 由题意得 甲 乙在三小时以上且不 超过四小时还车的概率分别为 1 4 1 4 记甲 乙两人所付的租车费用相同为事件A 则 P A 1 4 1 2 1 2 1 4 1 4 1 4 5 16 答 甲 乙两人所付的租车费用相同的概率为 5 16 2 可能取的值有 0 2 4 6 8 P 0 1 4 1 2 1 8 P 2 1 4 1 4 1 2 1 2 5 16 P 4 1 2 1 4 1 4 1 2 1 4 1 4 5 16 P 6 1 2 1 4 1 4 1 4 3 16 P 8 1 4 1 4 1 16 甲 乙两人所付的租车费用之和 的分布列为 0 2 4 6 8P 所以E 0 2 4 6 8 1 8 5 16 5 16 3 16 1 16 1 8 5 16 5 16 3 16 1 16 7 2 大纲理数 13 K513 K5 2011 重庆卷 将一枚均匀的硬币抛掷 6 次 则正面出现的次数比反面 出现的次数多的概率为 大纲理数 13 K513 K5 2011 重庆卷 解析 将一枚均匀的硬币投掷 6 次 可视作 6 11 32 用心 爱心 专心 13 次独立重复试验 正面出现的次数比反面出现的次数多的情况就是出现了 4 次 5 次 6 次正面 所以所 求概率为 C 42 C5 C 6 4 6 1 2 1 2 5 6 1 2 1 2 6 6 1 2 11 32 课标理数 20 K620 K6 K7K7 2011 安徽卷 工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务 每次只派一个人进去 且每个 人只派一次 工作时间不超过 10 分钟 如果有一个人 10 分钟内不能完成任务则撤出 再派 下一个人 现在一共只有甲 乙 丙三个人可派 他们各自能完成任务的概率分别 p1 p2 p3 假设p1 p2 p3互不相等 且假定各人能否完成任务的事件相互独立 1 如果按甲在先 乙次之 丙最后的顺序派人 求任务能被完成的概率 若改变三个 人被派出的先后顺序 任务能被完成的概率是否发生变化 2 若按某指定顺序派人 这三个人各自能完成任务的概率依次为q1 q2 q3 其中 q1 q2 q3是p1 p2 p3的一个排列 求所需派出人员数目X的分布列和均值 数学期望 EX 3 假定 1 p1 p2 p3 试分析以怎样的先后顺序派出人员 可使所需派出的人员数目的均 值 数学期望 达到最小 课标理数 20 K620 K6 K7K7 2011 安徽卷 解析 本题考查相互独立事件的概率计算 考 查离散型随机变量及其分布列 均值等基本知识 考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽 象概括能力 合情推理与演绎推理 分类讨论思想 应用意识与创新意识 解答 1 无论以怎样的顺序派出人员 任务不能被完成的概率都是 1 p1 1 p2 1 p3 所以任务能被完成的概率与三个人被派出的先后顺序无关 并等于 1 1 p1 1 p2 1 p3 p1 p2 p3 p1p2 p2p3 p3p1 p1p2p3 2 当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为q1 q2 q3时 随机变量X的分布列 为 X 1 2 3P q1 1 q1 q2 1 q1 1 q2 所需派出的人员数目的均值 数学期望 EX是 EX q1 2 1 q1 q2 3 1 q1 1 q2 3 2q1 q2 q1q2 3 方法一 由 2 的结论知 当以甲最先 乙次之 丙最后的顺序派人时 EX 3 2p1 p2 p1p2 根据常理 优先派出完成任务概率大的人 可减少所需派出的人员数目的均值 下面证明 对于p1 p2 p3的任意排列q1 q2 q3 都有 3 2q1 q2 q1q2 3 2p1 p2 p1p2 事实上 3 2q1 q2 q1q2 3 2p1 p2 p1p2 2 p1 q1 p2 q2 p1p2 q1q2 2 p1 q1 p2 q2 p1 q1 p2 q1 p2 q2 2 p2 p1 q1 1 q1 p2 q2 1 q1 p1 p2 q1 q2 0 即 成立 方法二 i 可将 2 中所求的EX改写为 3 q1 q2 q1q2 q1 若交换前两人的派出顺 序 则变为 3 q1 q2 q1q2 q2 由此可见 当q2 q1时 交换前两人的派出顺序可减小 均值 ii 也可将 2 中所求的EX改写为 3 2q1 1 q1 q2 若交换后两人的派出顺序 则变 为 3 2q1 1 q1 q3 由此可见 若保持第一个派出的人选不变 当q3 q2时 交换后两人 的派出顺序也可减小均值 综合 i ii 可知 当 q1 q2 q3 p1 p2 p3 时 EX达到最小 即完成任务概率大 的人优先派出 可减小所需派出人员数目的均值 这一结论是合乎常理的 用心 爱心 专心 14 课标理数 17 I217 I2 K6K6 K8K8 2011 北京卷 以下茎叶图记录了甲 乙两组各四名同学的植 树棵数 乙组记录中有一个数据模糊 无法确认 在图中以X表示 甲组 乙组 9 9 0 X 8 9 1 1 1 0 图 1 8 1 如果X 8 求乙组同学植树棵数的平均数和方差 2 如果X 9 分别从甲 乙两组中随机选取一名同学 求这两名同学的植树总棵数Y 的分布列和数学期望 注 方差s2 x1 2 x2 2 xn 2 其中 为x1 x2 xn的平均 1 nxxxx 数 课标理数 17 I217 I2 K6K6 K8K8 2011 北京卷 解答 1 当X 8 时 由茎叶图可知 乙 组同学的植树棵数是 8 8 9 10 所以平均数为 x 8 8 9 10 4 35 4 方差为s2 Error 1 4 Error 11 16 2 当X 9 时 由茎叶图可知 甲组同学的植树棵树是 9 9 11 11 乙组同学的植树 棵数是 9 8 9 10 分别从甲 乙两组中随机选取 1 名同学 共有 4 4 16 种可能的结果 这两名同学植 树总棵数Y的可能取值为 17 18 19 20 21 事件 Y 17 等价于 甲组选出的同学植树 9 棵 乙组选出的同学植树 8 棵 所以该 事件有 2 种可能的结果 因此P Y 17 2 16 1 8 同理可得P Y 18 P Y 19 1 4 1 4 P Y 20 P Y 21 1 4 1 8 所以随机变量Y的分布列为 Y 17 18 19 20 21P EY 17 P Y 17 18 P Y 18 19 P Y 19 1 8 1 4 1 4 1 4 1 8 20 P Y 20 21 P Y 21 17 18 19 20 21 1 8 1 4 1 4 1 4 1 8 19 大纲理数 18 K418 K4 K6K6 2011 全国卷 根据以往统计资料 某地车主购买甲种保险的概率 为 0 5 购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0 3 设各车主购买保险相互独立 1 求该地 1 位车主至少购买甲 乙两种保险中的 1 种的概率 2 X表示该地的 100 位车主中 甲 乙两种保险都不购买的车主数 求X的期望 大纲理数 18 K418 K4 K6K6 2011 全国卷 解答 记A表示事件 该地的 1 位车主购买甲 种保险 B表示事件 该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险 C表示事件 该地的 1 位车主至少购买甲 乙两种保险中的 1 种 D表示事件 该地的 1 位车主甲 乙两种保险都不购买 1 P A 0 5 P B 0 3 C A B P C P A B P A P B 0 8 2 D P D 1 P C 1 0 8 0 2 C X B 100 0 2 即X服从二项分布 所以期望EX 100 0 2 20 用心 爱心 专心 15 课标理数 19 K619 K6 K8K8 2011 福建卷 某产品按行业生产标准分成 8 个等级 等级系数X 依次为 1 2 8 其中X 5 为标准 A X 3 为标准 B 已知甲厂执行标准 A 生产该产品 产品的零售价为 6 元 件 乙厂执行标准 B 生产该产品 产品的零售价为 4 元 件 假定甲 乙两厂的产品都符合相应的执行标准 1 已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示 X1 5 6 7 8P 0 4 a b 0 1 且 X1的数学期望EX1 6 求a b的值 2 为分析乙厂产品的等级系数X2 从该厂生产的产品中随机抽取 30 件 相应的等级系 数组成一个样本 数据如下 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用这个样本的频率分布估计总体分布 将频率视为概率 求等级系数X2的数学期望 3 在 1 2 的条件下 若以 性价比 为判断标准 则哪个工厂的产品更具可购买 性 说明理由 注 1 产品的 性价比 产品的等级系数的数学期望 产品的零售价 2 性价比 大的产品更具可购买性 课标理数 19 K619 K6 K8K8 2011 福建卷 解答 1 因为EX1 6 所以 5 0 4 6a 7b 8 0 1 6 即 6a 7b 3 2 又由X1的概率分布列得 0 4 a b 0 1 1 即a b 0 5 由Error 解得Error 2 由已知得 样本的频率分布表如下 X2 3 4 5 6 7 8f 0 3 0 2 0 2 0 1 0 1 0 1 用 这个样本的频率分布估计总体分布 将频率视为概率 可得等级系数X2的概率分布列如下 X2 3 4 5 6 7 8P 0 3 0 2 0 2 0 1 0 1 0 1 所以EX2 3P X2 3 4P X2 4 5P X2 5 6P X2 6 7P X2 7 8P X2 8 3 0 3 4 0 2 5 0 2 6 0 1 7 0 1 8 0 1 4 8 即乙厂产品的等级系数X2的数学期望等于 4 8 3 乙厂的产品更具可购买性 理由如下 因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于 6 价格为 6 元 件 所以其性价比为 1 6 6 因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4 8 价格为 4 元 件 所以其性价比为 1 2 4 8 4 据此 乙厂的产品更具可购买性 课标理数 18 K418 K4 K6K6 2011 湖南卷 某商店试销某种商品 20 天 获得如下数据 日销售量 件 0 1 2 3 频数 1 5 9 5 试销结束后 假设该商品的日销售量的分布规律不 变 设某天开始营业时有该商品 3 件 当天营业结束后检查存货