辽宁省锦州市2016届高考数学二模试卷(理科)含答案解析

第 1 页（共 31 页） 2016 年辽宁省锦州市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 A=x| 1x1， B=x|2x 0，则 A （ =（ ） A 1， 0 B 1， 2 C 0， 1 D（ ， 1 2， +） 2已知（ a+i）（ 1 =2i（其中 a， b 均为实数， i 为虚数单位），则 |a+于（ ） A 2 B C 1 D 1 或 3下列有关命题的说法正确的是（ ） A命题 “若 ，则 x=1”的否命题为： “若 ，则 x1” B “m=1”是 “直线 x 和直线 x+ 互相垂直 ”的充要条件 C命题 “xR，使得 x2+x+1 0”的否定是： “xR，均有 x2+x+1 0” D命题 “已知 x， y 为一个三角形的两内角，若 x=y，则 逆命题为真命题 4某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（ ）A B 1 C D 5如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的 S 为（ ） 第 2 页（共 31 页） A a1+a3+a0+的值 B a3+a2+a1+的值 C a0+a1+a2+的值 D a2+a0+a3+ 的值 6已知变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=x 2y 的最大值为（ ） A 3 B 0 C 1 D 3 7把 A、 B、 C、 D 四件玩具分给三个小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具，且 A、 B 两件玩具不能分给同一个人，则不同的分法有（ ） A 36 种 B 30 种 C 24 种 D 18 种 8已知 a= 二项式（ ） 6 的展开式中 ） A 20 B 20 C 160 D 160 9已知四棱锥 S 所有顶点在同一球面上，底面 正方形且球心 O 在此平面内，当四棱锥体积取得最大值时，其面积等于 16+16 ，则球 O 的体积等于（ ） A B C D 10已知顶点为坐标原点 O 的抛物线 双曲线 （ a 0， b 0）都过点 M（ ， ），且它们有共同的一个焦点 F则双曲线 离心率是（ ） A 2 B 3 C D 第 3 页（共 31 页） 11设函数 f（ x）是定义在 R 上的偶 函数，对任意 xR，都有 f（ x） =f（ x+4），且当 x 2， 0时， f（ x） =（ ） x 1，若在区间（ 2， 6内关于 x 的方程 f（ x） x+2） =0（ a 1）恰有三个不同的实数根，则 a 的取值范围是（ ） A（ ， 2） B（ ， 2） C ， 2） D（ ， 2 12不等式 x 解集为 P，且 0， 2P，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， e 1） B（ e 1， +） C（ ， e+1） D（ e+1， +） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13已知函数 f（ x） = ，则 f（ = 14若 三边 a， b， c 及面积 S 满足 S= b c） 2，则 15已知向量 与 的夹角为 120，且 ， 若 ，且 ，则实数 = 16在 ，内角 A， B， C 的所对边分别是 a， b， c，有如下下列命题： 若 A B C，则 若 ，则 等边三角形； 若 等腰三角形； 若（ 1+ 1+=2，则 钝角三角形； 存在 A， B， C，使得 立 其中正确的命题为 （写出所有正确命题的序号） 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17已知数列 前 n 项和为 Sn=n（ n+1）（ nN*） （ ）求数列 通项公式； （ ） 若数列 足： ，求数列 通项公式； （ ）令 （ nN*），求数列 前 n 项和 第 4 页（共 31 页） 18某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在 50， 100内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见表规定： A、 B、 C 三级为合格等级， D 为不合格等级 百分制 85 以及以上 70 分到 84 分 60 分到 69 分 60 分以下 等级 A B C D 为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了 n 名学生的原始成绩作为样本进行统计按照50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90， 100的分组作出频率分布直方图如图 1 所示，样本中分数在 80 分及以上的所有数据的茎叶图如图 2 所示 （ I）求 n 和频率分布直方图中的 x， y 的值； （ ）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选 3 人，求至少有 1 人成绩是合格等级的概率； （ ）在选取的样本中，从 A、 C 两个等级的学生中随机抽取了 3 名学生进行调 研，记 表示所抽取的 3 名学生中为 C 等级的学生人数，求随机变量 的分布列及数学期望 19如图，多面体 ， 平面 面 菱形， ， 0，四边形 正方形 （ ）求证： 平面 （ ）求直线 平面 成角的正弦值； （ ）在线段 是否存在点 P，使得 平面 存在，求出 的值；若不存在，说明理由 第 5 页（共 31 页） 20椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，且过其右焦点 F 与长轴垂直的直线被椭圆 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）设点 P 是椭圆 C 的一个动点，直线 l： y= x+ 与椭圆 C 交 于 A， B 两点，求 积的最大值 21已知函数 f（ x） =1+ a0） （ 1）若 f（ x）在 x=0 处取得极值，求 a 的值； （ 2）讨论 f（ x）的单调性； （ 3）证明： 为自然对数的底数） 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图，圆周角 平分线与圆交于点 D，过点 D 的切线与弦 延长线交 于点 E， C 于点 F （ ）求证： （ ）若 D， E， C， F 四点共圆，且 = ，求 第 6 页（共 31 页） 选修 4标系与参数方程 23已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） （ ）已知 在极坐标系（与直角坐标系 相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，点 P 的极坐标为（ 4， ），判断点 P 与直线 l 的位置关系； （ ）设点 Q 是曲线 C 上的一个动点，求点 Q 到直线 l 的距离的最小值与最大值 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x 2| （ 1）解不等式： f（ x+1） +f（ x+2） 4； （ 2）已知 a 2，求证： xR， f（ +x） 2 恒成立 第 7 页（共 31 页） 2016 年辽宁省锦州市高考数学二模试卷（ 理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 A=x| 1x1， B=x|2x 0，则 A （ =（ ） A 1， 0 B 1， 2 C 0， 1 D（ ， 1 2， +） 【考点】 交、并、补集的混合运算 【专题】 集合 【分析】 解不等式求出集合 B，进而结合集合的补集和并集运算，可得答案 【解答】 解： 集合 A=x| 1x1= 1， 1， B=x|2x 0=（ 0， 2）， ， 0 2， +）， A （ =（ ， 1 2， +）， 故选： D 【点评】 本题考查的知识点是集合的交集运算，并集运算和补集运算，难度不大，属于基础题 2已知（ a+i）（ 1 =2i（其中 a， b 均为实数， i 为虚数单位），则 |a+于（ ） A 2 B C 1 D 1 或 【考点】 复数求模 【专题】 数系的扩充和复数 【 分析】 首先将已知不等式展开，利用复数相等求出 a， b，然后求模 【解答】 解：由（ a+i）（ 1 =2i 得（ a+b） +（ 1 i=2i，所以 ，解得 或者 ， 所以 |a+ = ； 故选： B 【点评】 本题考查了复数相等以及复数的 模，属于基础题 第 8 页（共 31 页） 3下列有关命题的说法正确的是（ ） A命题 “若 ，则 x=1”的否命题为： “若 ，则 x1” B “m=1”是 “直线 x 和直线 x+ 互相垂直 ”的充要条件 C命题 “xR，使得 x2+x+1 0”的否定是： “xR，均有 x2+x+1 0” D命题 “已知 x， y 为一个三角形的两内角，若 x=y，则 逆命题为真命题 【考点】 命题的真假判断与应用 【专题】 简易逻辑 【分析】 对于 A 根据否命题的意义即可得出； 对于 B 按照垂直的条件判断； 对于 C 按照含有一个量词的命题的否定形式判断； 对于 D 按照正弦定理和大角对大边原理判断 【解答】 解：对于 A，根据否命题的意义可得：命题 “若 ，则 x=1”的否命题为： “若 ，则 x1”，因此原命题不正确，违背否命题的形式； 对于 B， “m=1”是 “直线 x 和直线 x+ 互相垂直 ”的充要条件不准确，因为 “直线 x 和直线 x+ 互相垂直 ”的充要条件是 ，即 m=1 对于命题 C： “xR，使得 x2+x+1 0”的否定的写法应该是： “xR，均有 x2+x+10”，故原结论不正确 对于 D，根据正弦定理， x=y所以逆命题为真命题是正确的 故答案选： D 【点评】 本题考查了四种命题之间的关系、命题的否定，属于基础题 4某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（ ）A B 1 C D 第 9 页（共 31 页） 【考点】 由三视 图求面积、体积 【专题】 计算题；空间位置关系与距离 【分析】 根据几何体的三视图，得出该几何体是直三棱锥，根据图中的数据，求出该三棱锥的 4 个面的面积，得出面积最大的三角形的面积 【解答】 解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是如图所示的直三棱锥， 且侧棱 底面 ， ，点 B 到 距离为 1； 底面 面积为 21=1， 侧面 面积为 1= ， 侧面 面积为 21=1， 在侧面 ， ， = ， = ， 面积为 = ； 三棱锥 P 所有面中，面积最大的是 故选： A 【点评】 本题考查了 空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间中的位置关系与距离的计算问题，是基础题目 5如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的 S 为（ ） 第 10 页（共 31 页） A a1+a3+a0+的值 B a3+a2+a1+的值 C a0+a1+a2+的值 D a2+a0+a3+的值 【考点】 程序框图 【专题】 图表型；算法和程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，根据秦九韶算法即可得解 【解答】 解：由秦九韶算法， S=a0+a1+a2+， 故选： C 【点评】 本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析，本题特殊利用秦九韶算法，使学生更加深刻地认识中国优秀的传统文化，属于基础题 6已知变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=x 2y 的最大值为（ ） A 3 B 0 C 1 D 3 【考点】 简单线性规划 【专题】 计算题；不等式的解法及应用 【分析】 作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的 其内部，再将目标 函数 z=x 2y 对应的直线进行平移，可得当 x=1， y=0 时， z 取得最大值 1 第 11 页（共 31 页） 【解答】 解：作出不等式组 表示的平面区域， 得到如图的 其内部，其中 A（ 1， 1）， B（ 2， 1）， C（ 1， 0） 设 z=F（ x， y） =x 2y，将直线 l： z=x 2y 进行平移， 当 l 经过点 C 时，目标函数 z 达到最大值 z 最大值 =F（ 1， 0） =1 故选： C 【点评】 本题给出二元一次不等式组，求目标函数 z=x 2y 的最 大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题 7把 A、 B、 C、 D 四件玩具分给三个小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具，且 A、 B 两件玩具不能分给同一个人，则不同的分法有（ ） A 36 种 B 30 种 C 24 种 D 18 种 【考点】 排列、组合的实际应用 【专题】 计算题；概率与统计 【分析】 根据题意，运用排除法分 2 步进行分析， 、先计算把 A、 B、 C、 D 四件玩具分给三个小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具的分法数目， 再计算 A、 B 两件玩具分给同一个人的分法数目；将全部 分法的数目减去 A、 B 两件玩具分给同一个人的分法数目即可得答案 【解答】 解：根据题意，分 2 步进行分析： 、先计算把 A、 B、 C、 D 四件玩具分给三个小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具的分法数目： 首先将 4 件玩具分成 3 组，其中 1 组有 2 件，剩余 2 组各 1 件，有 种分组方法， 再将这 3 组对应三个小朋友，有 种方法， 则有 66=36 种情况， 、计算 A、 B 两件玩具分给同一个人的分法数目， 第 12 页（共 31 页） 若 A、 B 两件玩具分给同一个人，则剩余的 2 件玩具分给其他 2 人，有 22=6 种情况， 综合可得： A、 B 两件玩具 不能分给同一个人的不同分法有 36 6=30 种； 故选： B 【点评】 本题考查排列组合的实际应用，注意本题可以利用排除法分析，可以避免分类讨论，即可以简化计算 8已知 a= 二项式（ ） 6 的展开式中 ） A 20 B 20 C 160 D 160 【考点】 二项式系数的性质；定积分 【专题】 计算题；二项式定理 【分析】 求定积分可得 a=2，在二项式（ ） 6 的展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 3，求得 r 的值，可得展开式中含 的系数 【解答】 解： a= 2， 二项式（ ） 6的展开式的通项为 = ， 令 12 3r=3，可得 r=3， 所以二项式（ ） 6的展开式中 系数为 160 故选： C 【点评】 本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题 9已知四棱锥 S 所有顶点在同一球面上，底面 正方形且球心 O 在此平面内，当四棱锥体积取得最大值时，其面积等于 16+16 ，则球 O 的体积等于（ ） A B C D 【考点】 球的体积和表面积 【专题】 计算题；空间位置关系与距离 第 13 页（共 31 页） 【分析】 当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥，根据该四棱锥的表面积等于 16+16 ，确定该四棱锥的底面边长和高，进而可求球的半径为 R，从而可求球的体积 【解答】 解：由题意，当此四棱锥体积取得最大值时，四棱 锥为正四棱锥， 该四棱锥的表面积等于 16+16 ， 设球 O 的半径为 R，则 R， ，如图， 该四棱锥的底面边长为 R， 则有（ R） 2+4 R =16+16 ， 解得 R=2 球 O 的体积是 故选： D 【点评】 本题考查球内接多面体，球的体积，解题的关键是确定球的半径，再利用公式求解 10已知顶点为坐标原点 O 的抛物线 双曲线 （ a 0， b 0）都过点 M（ ， ），且它们有共同的一个焦点 F则双曲线 离心率是（ ） A 2 B 3 C D 【考点】 双曲线的简单性质 【专题】 圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】 设抛物线方程为 p 0），将 M（ ， ）代入，可求抛物线方程，再利用双曲线的定义可求双曲线的 a，再由离心率公式可得 e 【解答】 解：设抛物线方程为 p 0）， 将 M（ ， ）代入 p=2 第 14 页（共 31 页） 抛物线方程为 x，焦点为 F（ 1， 0）， 由题意知双曲线的焦点为 1， 0）， 1， 0）， c=1， 对于双曲线， 2a=| | = = ， a= ， e= =3 故选 B 【点评】 本题主要考查利用待定系数法求抛物线、双曲线方程，注意 挖掘题目隐含，将问题等价转化 11设函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，对任意 xR，都有 f（ x） =f（ x+4），且当 x 2， 0时， f（ x） =（ ） x 1，若在区间（ 2， 6内关于 x 的方程 f（ x） x+2） =0（ a 1）恰有三个不同的实数根，则 a 的取值范围是（ ） A（ ， 2） B（ ， 2） C ， 2） D（ ， 2 【考点】 函数的周期性；函数奇偶性的性质 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 由已知中 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，对于任意的 xR，都有 f（ x 2） =f（ 2+x），我们可以得到函数 f（ x）是一个周期函数，且周期为 4，则不难画出函数 f（ x）在区间（ 2， 6上的图象，结合方程的解与函数的零点之间的关系，我们可将方程 f（ x） =0 恰有 3 个不同的实数解，转化为函数 f（ x）的与函数 y= 的图象恰有 3 个不同的交点，数形结合即可得到实数a 的取值范围 【解答】 解：设 x0， 2，则 x 2， 0， f（ x） =（ ） x 1=2x 1， f（ x）是定义在 R 上的偶函数， f（ x） =f（ x） =2x 1 对任意 xR，都有 f（ x） =f（ x+4）， 当 x2， 4时，（ x 4） 2， 0， f（ x） =f（ x 4） =4 1； 当 x4， 6时，（ x 4） 0， 2， 第 15 页（共 31 页） f（ x） =f（ x 4） =2x 4 1 若在区间（ 2， 6内关于 x 的方程 f（ x） x+2） =0（ a 1）恰有三个不同的实数根， 函数 y=f（ x）与函数 y=x+2）在区间（ 2， 6上恰有三个交点， 通过画图可知：恰有三个交点的条件是 ，解得： a 2， 即 a 2，因此所求的 a 的取值范围为（ ， 2） 故选： B 【点评】 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题 12不等式 x 解集为 P，且 0， 2P，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， e 1） B（ e 1， +） C（ ， e+1） D（ e+1， +） 【考点】 一元二次不等式的解法；集合的 包含关系判断及应用 【专题】 不等式的解法及应用 【分析】 由不等式 x 解集为 P，且 0， 2P ， x0， 2，利用导数求出即可 【解答】 解： 当 x=0 时，不等式 0 0 对任意实数 x 恒成立； 当 x 0 时，不等式 x 变形为 ， 由不等式 x 解集为 P，且 0， 2P ， x0， 2 设 ， x（ 0， 2 g（ x） = = ，令 g（ x） =0，解得 x=1 第 16 页（共 31 页） 当 0 x 1 时， g（ x） 0，函数 g（ x）单调递减；当 1 x2 时， g（ x） 0，函数 g（ x）单调递增 由此可知：当 x=1 时，函数 f（ x）取得极小值，也即最小值，且 f（ 1） =e 1+a e， a e 1 故选 A 【点评】 把问题正确等价转化并熟练掌握利用导数研究函数的极值 是解题的关键 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13已知函数 f（ x） = ，则 f（ = 【考点】 抽象函数及其应用 【专题】 计算题；函数的性质及应用 【分析】 注意分段函数各段的范围，由对数的性质和运算法则，结合对数恒等式 =N，计算即可得到 【解答】 解：由于函数 f（ x） = ， 则 f（ =f（ 1） 1 =f（ 1=f（ 1） 2=f（ 2 =f（ 1） 3=f（ 3=f（ 1） 4=f（ 4 = 4= 4= 故答案为： 【点评】 本题考查分段函数的运用：求函数值，注意各段的范围，考查对数的性质和运算法则及对数恒等式，属于中档题 14若 三边 a， b， c 及面积 S 满足 S= b c） 2，则 【考点】 余弦定理 【专题】 解三角形 第 17 页（共 31 页） 【分析】 由条件利用余弦定理求得 4 4利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得 值，可得 的值 【解答】 解： ，由于面积 S= b c） 2 =b2+2bc b2+2=22bc 而 S= bc 22bcbc得 4 4 4 4（ 1 2 ） =2 ， = = = ， 故答案为： 【点评】 本题主要考查余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于中档题 15已知向量 与 的夹角为 120，且 ， 若 ，且 ，则实数 = 【考点】 数量积表示两个向量的夹角；向量的模 【专题】 平面向量及应用 【分析】 利用 ， ，表示 向量，通过数量积为 0，求出 的值即可 【解答】 解：由题意可知： ， 因为 ， 所以 ， 所以 = = = 12+7=0 解得 = 故答案为： 第 18 页（共 31 页） 【点评】 本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直，考查转化数学与计算能力 16在 ，内角 A， B， C 的所对边分别是 a， b， c，有如下下列命题： 若 A B C，则 若 ，则 等边三角形； 若 等腰三角形； 若（ 1+ 1+=2，则 钝角三角形； 存在 A， B， C，使得 立 其中正确的命题为 （写出所有正确命题的序号） 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 【专题】 三角函数的求值 【分析】 已知不等式利用正弦定理化简，整理得到结果，即可做出判断； 已知等式利用正弦定理化简，整理得到结果，即可做出判断； 已知等式利用正弦函数的性质化简，整理得到结果 ，即可做出判断； 已知等式整理后，利用两角和与差的正切函数公式化简，求出 C 的度数，即可做出判断； 由 A， B， C 为三角形内角，得到 A+B） = C） = 用两角和与差的正切函数公式化简，整理得到 本选项错误 【解答】 解： A B C， a b c， 又 = = =2R， ， ， ， 2R 为定值， 选项正确； = = ， 由正弦定理得： a=2Rb=2Rc=2R入，得 = = ， = = ，即 A=B=C， 则 等边三角形，本选项正确； 第 19 页（共 31 页） 2A=2B 或 2A+2B=， 即 A=B 或 A+B= ， 则 等腰三角形或直角三角形，本选项错误； （ 1+ 1+=2，即 1+， ，即 =1，即 A+B） =1， A+B= ，即 C= ， 则 钝角三角形，本选项正确； 若 A、 B、 C 有一个为直角时不成立， 若 A、 B、 C 都不为直角， A+B= C， A+B） = C），即 = 则 即 错误， 故答案为： 【点评】 此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦定理，两角和与差的正切函数公式，熟练掌握 基本关系是解本题的关键 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17已知数列 前 n 项和为 Sn=n（ n+1）（ nN*） （ ）求数列 通项公式； （ ）若数列 足： ，求数列 通项公式； （ ）令 （ nN*），求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列的函数特性；等差数列的通项公式 【专题】 综合题 第 20 页（共 31 页） 【分析】 （ ）当 n=1 时， 1=2，当 n2 时， n 1=n（ n+1）（ n 1） n=2n，由此能求出数列 通项公式 （ ）由 （ n1），知，所以 ，由此能求出 （ ） =n（ 3n+1） =n3n+n，所以 Tn=c1+c2+ 13+232+333+n3n） +（ 1+2+n），令 3+232+333+n3n，由错位相减法能求出 ，由此能求出数列前 n 项和 【解答】 解：（ ）当 n=1 时， 1=2， 当 n2 时， n 1=n（ n+1）（ n 1） n=2n， 知 满足该式， 数列 通项公式为 n （ ） （ n1） 得： ， =2（ 3n+1+1）， 故 （ 3n+1）（ nN*） （ ） =n（ 3n+1） =n3n+n， Tn=c1+c2+ 13+232+333+n3n） +（ 1+2+n） 令 3+232+333+n3n， 则 332+233+334+n3n+1 得： 2+32+33+3n n3n+1= 第 21 页（共 31 页） ， 数列 前 n 项和 【点评】 本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解 “存在 ”、 “恒成立 ”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性综合性强，难度大，易出错解题时要认真审题，注意错位相减法的灵活运用 18某学校高一年级学生某次身体 素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在 50， 100内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见表规定： A、 B、 C 三级为合格等级， D 为不合格等级 百分制 85 以及以上 70 分到 84 分 60 分到 69 分 60 分以下 等级 A B C D 为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了 n 名学生的原始成绩作为样本进行统计按照50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90， 100的分组作出频率分布直方图如图 1 所示，样本中分数在 80 分及以上的所有数据的茎叶 图如图 2 所示 （ I）求 n 和频率分布直方图中的 x， y 的值； （ ）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选 3 人，求至少有 1 人成绩是合格等级的概率； （ ）在选取的样本中，从 A、 C 两个等级的学生中随机抽取了 3 名学生进行调研，记 表示所抽取的 3 名学生中为 C 等级的学生人数，求随机变量 的分布列及数学期望 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 【专题】 数形结合；综合法；概率与统计 第 22 页（共 31 页） 【 分析】 （ I）结合图形求出 n 的值，即可求出频率分布直方图中的 x， y 的值； （ ）找出成绩是合格等级人数，进而求出抽取 50 人成绩合格等级的频率，即可求出该校高一学生中任选 3 人，求至少有 1 人成绩是合格等级的概率； （ ）找出 C 等级学生人数， A 等级学生人数，确定出 的取值，进而求出 P（ ）的值，确定出 的分布，以及 【解答】 解：（ I）由题意得：样本容量 n= =50， x= =y= = （ ）成绩是合格等级人数为（ 1 50=45 人，抽取的 50 人中成绩是合格等级的频率为 ， 设该校高一学生中任选 3 人，至少有 1 人成绩是合格等级的事件为 A， 则 P（ A） =1 （ 1 ） 2= ； （ ）由题意得： C 等级的学生人数 为 0=9 人， A 等级的人数为 3 人， 故 的取值为 0， 1， 2， 3， P（ =0） = = ， P（ =1） = = ， P（ =2） = = = ， P（ =3） = = = ， 的分布为 0 1 2 3 P 则 +1 +2 +3 = 【点评】 此题考查了列举法计算基本事件数及事件发生的概率，以及频率分布直方图，弄清图形的数据是解本题的关键 19如图，多面体 ， 平面 面 菱形， ， 0，四 边形 正方形 （ ）求证： 平面 （ ）求直线 平面 成角的正弦值； （ ）在线段 是否存在点 P，使得 平面 存在，求出 的值；若不存在，说明理由 第 23 页（共 31 页） 【考点】 直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角 【专题】 空间位置关系与距离；空间角 【分析】 （ ）根据线面平行的判定定理，可得： 平面 平面 而由面面平等的判定定理，可得平 面 平面 而根据面面平行的性质得到： 平面 （ ）建立空间直角坐标系 O 出直线 方向向量与平面 法向量，代入向量夹角公式，可得直线 平面 成角的正弦值； （ ）设 P（ x， y， z）， ，根据 平面 平面 向量为 满足： ，根据无满足条件的 值，可得不存在这样的 P 点 【解答】 证 明：（ ）因为 菱形， 所以 又 面 面 所以 平面 又因为 正方形， 所以 因为 面 面 所以 平面 因为 面 面 F=B， 所以平面 平面 因为 面 所以 平面 . 解：（ ） 因为四边形 菱形，且 0， 所以 等边三角形 取 中点 O， 所以 第 24 页（共 31 页） 取 中点 G，连结 为 平面 所以 平面 如图建立空间直角坐标系 O 因为 所以 所以 ， ， 设平面 向量为 =（ x， y， z）， 则有 得 ， 令 y=1则 设 平面 成的角为 ，则 ， 所以直线 平面 成角的正弦值为 . （ ）不存在 ， 设 P（ x， y， z）， ， 由 ， 得 因为平面 法向量为 若 平面 ，即 ， . 第 25 页（共 31 页） 得 方程组无解，不符合题意 综上，不存在 使得 平面 . 【点评】 本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，向量法求线面夹角，难度中档 20椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，且过其右焦点 F 与长轴垂直的直线被椭圆 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）设点 P 是椭圆 C 的一个动点，直线 l： y= x+ 与椭圆 C 交于 A， B 两点，求 积的最大值 【考点】 椭圆的简单性质 【专题】 圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】 （ ）通过题意及 b2=得 、 6，从而得到椭圆 C 的方程； （ ）设过 P 点且与 行的直线 L 方程为 ， L 与 离就是 P 点到 距离，也就是 上的高，只要 L 与椭圆相切，就可得 L 与 A 的 B 最 大距离，从而可得最大面积 【解答】 解：（ ） 椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ， ， ，即 4 又 过椭圆右焦点 F 与长轴垂直的直线被椭圆 C 截得的弦长为 2， 第 26 页（共 31 页） ， ，即 ， 又 b2=以 a2=b2+ ，即 6， 所以椭圆 C 的方程为： ； （ ）联立直线直线 l： y= x+ 与椭圆 C 的方程，得 ，消去 y，整 理可得 72x 52=0， 即（ 7x+26）（ x 2） =0，解得 x=2 或 ， 所以不妨设 A（ 2， ）， B（ ， ）， 则 = ， 设过 P 点且与直线 l 平行的直线 L 的方程为： ， L 与 l 的距离就是 P 点到 距离，即 边 上的高， 只要 L 与椭圆相切，就有 L 与 最大距离，即得最大面积， 将 代入 ， 消元、整理，可得： ， 令判别式 = = 256864 =0，解得 c= = ， L 与 最大距离为 = ， 积的最大值为： = 第 27 页（共 31 页） 【点评】 本题考查 椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是求出L 与 大距离，属于中档题 21已知函数 f（ x） =1+ a0） （ 1）若 f（ x）在 x=0 处取得极值，求 a 的值； （ 2）讨论 f（ x）的单调性； （ 3）证明： 为自然对数的底数） 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明 【专题】 计算题；证明题；分类讨论 【分析】 （ 1）求出 f（ x），因为 f（ x）在 x=0 时取得极值，所以 f（ 0） =0，代入求出 a 即可； （ 2）分三种情况： a=0； a 1； 1 a 0，令 f（ x） 0 得到函数的递增区间；令 f（ x） 0 得到函数的递减区间即可；（ 3）由（ 2）知当 a= 1 时函数为减函数，所以得到 1+ x，利用这个结论根据对数的运算法则化简不等式的左边得证即可 【解答】 解：（ 1） ， x=0 使 f（ x）的一个极值点，则 f（ 0） =0， a=0，验证知 a=0 符合条件 （ 2） 若 a=0 时， f（ x）在（ 0， +）单调递增，在（ ， 0）单调递减； 若 得，当 a 1 时， f（ x） 0 对 xR 恒成立， f（ x）在 R 上单调递减 若 1 a 0 时，由 f（ x） 0 得 x+a 0 再令 f（ x） 0，可得 上单调递增， 在 第 28 页（共 31 页） 综上所述，若 a 1 时， f（ x）在（ ， +）上单调递减； 若 1 a 0 时， 上单调递增上单调递减； 若 a=0 时， f（ x）在（ 0， +）单调递增，在（ ， 0）单调递减 （ 3）由（ 2）知，当 a= 1 时， f（ x）在（ ， +）单调递减 当 x（ 0， +）时，由 f（ x） f（ 0） =0 1+ x， 1+ ）（ 1+ ） （ 1+ ） =1+ ） +1+ ） +1+ ） + + = = （ 1