青岛市黄岛区2015届中考数学模拟试卷（八）含答案解析

第 1 页（共 28 页） 2015年山东省青岛市黄岛区六中中考数学模拟试卷（八） 一、选择题（本题满分 24分，共有 8道小题，每小题 3分）下列每小题都给出标号为 A、 B、 C、中只有一个是正确的每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分请将 1小题后面给出表格的相应位置上 1 的绝对值是（ ） A B C D 2下列水平放置的几何体中，主视图是矩形的有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 3我国第六次人口普查显示，全国人口为 1370536875 人，将这个总人口数（保留四个有效数字）用科学记数法表示为（ ）人 A 08 B 09 C 09 D 010 4 观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B C D 5若反比例函数 的图象经过点 A（ 3， 2），则当 x 1 时，函数值 y 的取值范围是（ ） A y 6 B 0 y 6 C y 6 D 6 y 0 6正方形 坐标系中的位置如图所示，将正方形 D 点顺时针旋转 90后， B 点的坐标为（ ） 第 2 页（共 28 页） A（ 4， 0） B（ 4， 1） C（ 2， 2） D（ 3， 1） 7如图， O 的直径，弦 足为 E， 0， ，则 O 的半径为（ ） A B C 5 D 6 8函数 y=ax+a 与 y= （ a0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 二、填空题（本题满分 18分，共有 6道小题，每小题 3分） 9小亮应聘小记者，进行了三项素质测试，测试成绩分别是： 采访写作 90 分，计算机输入 85 分，创意设计 70 分，若将采访写作、计算机输入、创意设计三项成绩按 5： 2： 3 的比例来计算平均成绩，则小亮的平均成绩是 分 10如图， O 的直径， E 是 O 上的一点， C 是弧 中点，若 A=50，则 度数为 第 3 页（共 28 页） 11某旅馆的客房有三人间和二人间两种，三人间每人每天 80 元，二人间每人每天 110 元一个40 人的旅游团到该旅店住宿，租住了若干房间，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费 2500 元求两种客房各租住了多少间？若设租住了三人间 x 间，二人间 y 间，则根据题意可列方程组为 12某口袋中装有红色、黄色、蓝色三种颜色的小球（小球出颜色外完全相同）共 60 个通过多次摸球实验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是 30%和 45%，由此估计口袋中蓝球的数目约为 个 13如图，等腰直角三角形 ， 底边 的高，现将 向平移，使点 重合，若重叠部分（阴影部分）的面积是 4，则 腰长为 14如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去已知第一个矩形的面积为 s，则第 n 个矩形的面积为 三、作图题（本题满分 4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 15某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置 第 4 页（共 28 页） 四、解答题（本题满分 74分，共有 9道小题） 16（ 1）解不等式组： （ 2）化简： 17某校为了解九年级学生的体能情况，随机抽取部分男生进行引体向上测试，并根据抽测成绩绘制成如下两幅统计图 （ 1）请你补全图 2 的统计图； （ 2）本次抽测成绩的众数和中位数分别是多少？ （ 3）若规定引体向上 9 次以上（含 9 次）为体能达到标准，则该校 450 名九年级男生中，估计有多少人 体能达到标准？ 18甲、乙两个人进行游戏：在一个不透明的口袋中装有 4 张相同的纸牌，它们分别标有数字 1， 2，3， 4从中随机摸出一张纸牌然后放回，再随机摸出一张纸牌，若两次摸出的纸牌上数字之和是 3的倍数，则甲得 1 分；否则乙得 1 分这是个公平的游戏吗？请说明理由；若不公平，请你修改规则使该游戏对双方公平 19五一期间，小明随父母到某旅游胜地参观游览，他在游客中心 O 处测得景点 A 在其北偏东 72方向，测得景点 B 在其南偏东 40方向小明从游客中心走了 2 千米到达景点 A，已知景点 B 正好位于景点 A 的正南方向，求景点 A 与 B 之间的距离（结果精确到 米） （参考数据： 第 5 页（共 28 页） 20某超市第一次用 3000 元从生产基地购进某品种水果，很快售完，第二次又用 2400 元购进相同品种的水果，第二次购进水果每千克的进价是第一次的 ，且重量比第一次少了 20 千克 （ 1）求两次购进水果每千克的进价分别是多少元？ （ 2）在这两 次购进水果的运输过程中，总重量损失 10%，若这两次水果的售价相同，全部售完后超市至少要获得 20%的总利润，则该水果的售价最低应定为每千克多少元？（结果保留整数） 21如图，在 ，分别取 中点 E 和 F，连接 点 A 作 延长线于点 P （ 1）求证： （ 2）当 P 满足什么条件时，四边形 菱形？证明你的结论 22某茶叶专卖店经销一种崂山绿茶，每千克成本 80 元据销售人员调查发现 ，每月的销售量 y（千克）与销售单价 x（元 /千克）之间存在如图所示的变化规律 （ 1）求每月销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式； （ 2）写出每月销售这种绿茶获得的利润 w（元）与销售单价 x（元 /千克）之间的函数关系式； （ 3）若该专卖店销售这种绿茶想要每月获得的利润不低于 1350 元，并且为了不压货，要求每月销售量不得低于 70 千克，则销售单价应定在什么范围内？ 第 6 页（共 28 页） 23【问题提出】 如图 1，把一个边长为 1 的正三角形纸片（即 在直线 ， 与 直线 后将三角形纸片绕着顶点 A 按顺时针方向旋转 120，此时点 O 运动到了点 B 运动到了点 将三角形纸片 点 20，点 A 运动到了点 动到了点 （即顶点 O 经过上述两次旋转到达 求顶点 O 经过的路程，并求顶点 O 在此运动过程中所形成的图形与直线 成图形的面积 【问题解决】 三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点 O 运动所形成的图形是两段圆弧，即弧 弧 点 O 所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，即 + = ；这两段圆弧与直线 于扇形 面积、 1面积之和，即+ + = + 【类比应用】 如图 2，把边长为 1 的正方形纸片 在直线 ， 与直线 后将正方形纸片进行第一次旋转，即绕着顶点 A 按顺时针方向旋转 90，此时点 O 运动到了点 点 B 处），点 C 运动到了点 ，点 B 运动到了点 ；再将正方形纸片 绕点顺时针方向旋转 90， ，按上述方法经过若干次旋转后 第 7 页（共 28 页） 请你解答下面两个问题： （ 1）若正方形纸片 上述方法经 过 3 次旋转，求顶点 O 经过的路程，并求顶点 O 在此运动过程中所形成的图形与直线 （ 2）若正方形 上述方法经过 5 次旋转，求顶点 O 经过的路程 【拓展应用】 将正方形纸片 上述方法经过多少次旋转，顶点 O 经过的路程是 ？ 24如图，在直角梯形 ， D= 0， B=60， 线 出发沿 向匀速运动，速度是 2cm/s，运动过程中始终保持 E，交 点 F；同时，点 P 从点 C 出发沿 向匀速运动，速度是 1cm/s，连接 运动时间为 t（ s）（ 0 t 4） （ 1）当 ，求 t 的值是多少？ （ 2）设 面积为 y（ 求 y 与 t 之间的函数关系式； （ 3）是否存在某一时刻 t，使面积 y 最大？若存在，求出 y 的最大值；若不存在，说明理由 （ 4）连接 否存在某一时刻 t，使点 E 恰好在 垂直平分线上？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，说明理由 第 8 页（共 28 页） 2015年山东省青岛市黄岛区六中中考数学模拟试卷（八） 参考答案与试题解析 一、选择题（本题满分 24分，共有 8道小题，每小题 3分）下列每小题都给出标号为 A、 B、 C、中只有一个是正确的每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分请将 1小题后面给出表格的相应位置上 1 的绝对值是（ ） A B C D 【考点】 绝对值 【分析】 根据正数的绝对值是它本身，可得答案 【解答】 解： | |= ，故 B 正确； 故选： B 【点评】 本题考查了绝对值，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数 2下列水平放置的几何体中，主 视图是矩形的有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【考点】 简单几何体的三视图 【分析】 根据主视图的概念找出各图形的主视图 【解答】 解；圆柱的主视图我长方形，长方体的主视图为长方形，三棱柱的主视图为长方形，圆锥的主视图为三角形 主视图为矩形的共 3 个 故选 C 【点评】 本题考查了简单几何体的三视图，主视图为从物体正面看到的视图 第 9 页（共 28 页） 3我国第六次人口普查显示，全国人口为 1370536875 人，将这个总人口数（保留四个有效数字）用科 学记数法表示为（ ）人 A 08 B 09 C 09 D 010 【考点】 科学记数法与有效数字 【分析】 科学记数法的表示形式为 a10中 1|a| 10， n 为整数确定 n 的值是易错点，由于 137 053 687 5 有 10 位，所以可以确定 n=10 1=9有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0 的数字起，后面所有的数字都是有效数字 用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的 a 有关，与 10 的多少次方无关 【解答】 解：全国人口为 1370536875 人，将这个总人口数（保留四个有效数字）用科学记数法表示为 09， 故选： C 【点评】 此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的 a 有关，与 10 的多少次方无关 4观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B C D 【考点】 中心对称图形；轴对称图形 【专题】 压轴题 【分析】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】 解： A、不是轴对称图形，不符合题意，故本选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，故本选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误 故选 C 【点评】 本题考查轴对称图形及中心对称图形的知识，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形 两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图形重合 第 10 页（共 28 页） 5若反比例函数 的图象经过点 A（ 3， 2），则当 x 1 时，函数值 y 的取值范围是（ ） A y 6 B 0 y 6 C y 6 D 6 y 0 【考点】 反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质 【分析】 根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点 A 的坐标代入函数解析式求得 k= 6，据此可以画出该函数的大致图象，根据图象直接回答问题 【解答】 解： 反比例函数 的图象经过点 A（ 3， 2）， k= 3） 2= 6 0， 该反比例函数经过第二、四象限，且当 x=1 时， y= 6 其图象如图所示： 根据图象知，当 x 1 时， 6 y 0 故选 D 【点评】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质解题时，采用了 “数形结合 ”的数学思想 6正方形 坐标系中的位置如图所示，将正方形 D 点顺时针旋转 90后， B 点的坐标为（ ） A（ 4， 0） B（ 4， 1） C（ 2， 2） D（ 3， 1） 【考点】 坐标与图形变化 方形的性质 第 11 页（共 28 页） 【分析】 根据旋转的性质作出旋转后的图形，写出点 B 对应点的坐标即可得解 【解答】 解：如图，点 B 的对应点 B的坐标为（ 4， 0） 故选 A 【点评】 本题考查了坐标与图形变化旋转，利用数形结合求解更加简便，准确作出图形是解题的关键 7如图， O 的直径，弦 足为 E， 0， ，则 O 的半径为（ ） A B C 5 D 6 【考点】 垂径定理；勾股定理 【分析】 如图，作辅助线；设 O 的半径为 ，运用勾股定理列出 2=42+（ 10 ） 2，求出 即可解决问题 【解答】 解：如图，连接 设 O 的半径为 ，则 0 弦 E=4； 由勾股定理得 ： 2=42+（ 10 ） 2， 解得： = ， 故选 A 第 12 页（共 28 页） 【点评】 该题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答 8函数 y=ax+a 与 y= （ a0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 【考点】 反比例函数的图象；一次函数的图象 【分析】 根据反比例函数图象所在的象限可以判定 a 的符号，根据 a 的符号来确定直线所经过的象限 【解答】 解： A、双曲线经过第二、四象限，则 a 0则直线应该经过第二、四象限，故本选项错误 B、双曲线经过第一、三象限，则 a 0所以直线应该经过第一、三象限，且与 y 轴交于正半轴，故本选项正确 C、双曲线经过第二、四象限，则 a 0所以直线应该经过第二、四象限，且与 y 轴交于正半轴，故本选项错误 D、双曲线经过第一、三象限，则 a 0所以直线应该经过第一、三象限，且与 y 轴交于正半轴，故本选项错误 故选： B 第 13 页（共 28 页） 【点评】 此题考查一次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系，难度不大，属于基础题 二、填空题（本题满分 18分，共有 6道小题，每小题 3分） 9小亮应聘小记者，进行了三项素质测试，测试成绩分别是：采访写作 90 分，计算机输入 85 分，创意设计 70 分，若将采访写作、计算机输入、创意设计 三项成绩按 5： 2： 3 的比例来计算平均成绩，则小亮的平均成绩是 83 分 【考点】 加权平均数 【分析】 利用加权平均数按照比例求得小亮同学的成绩即可 【解答】 解： （分） 故答案为： 83 【点评】 本题考查了加权平均数的计算方法，在进行计算时候注意权的分配，另外还应细心，否则很容易出错 10如图， O 的直径， E 是 O 上的一点， C 是弧 中点，若 A=50，则 度数为 160 【考点】 圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系 【分析】 先根据圆周角定理得出 0，再由三角形内角和定理求出 度数，故可得出的度数，根据 C 是弧 中点可得出 的度数，进而可得出结论 【解答】 解： O 的直径， 0 A=50， 0 50=40 =40 点 C 是弧 中点， 第 14 页（共 28 页） =2 =80， 80=160 故答案为： 160 【点评】 本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键 11某旅馆的客房有三人间和二人间两种，三人间每人每天 80 元，二人间每人每天 110 元一个40 人的旅游团到该旅店住宿，租住了若干房间，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费 2500 元求两种客房各租住了多少间？若设租住了三人间 x 间，二人间 y 间，则根据题意可列方程组为 【考点】 由实际问题抽象出二元一次方程组 【分析】 设租住了三人间 x 间，二人间 y 间，根据总共 40 人花费 2500 元，列方程组即可 【解答】 解：设租住了三人间 x 间，二人间 y 间， 由题意得， 故答案为： 【点评】 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合 适的等量关系，列方程组 12某口袋中装有红色、黄色、蓝色三种颜色的小球（小球出颜色外完全相同）共 60 个通过多次摸球实验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是 30%和 45%，由此估计口袋中蓝球的数目约为 15 个 【考点】 利用频率估计概率 【分析】 首先求得摸到红球的频率，然后利用概率公式求解即可 【解答】 解： 摸到红球、黄球的频率分别是 30%和 45%， 摸到蓝色球的频率为 1 30% 45%=25%， 设有蓝球 x 个，根据题意得： =25%， 解得： x=15， 故答案为： 15 第 15 页（共 28 页） 【点评】 此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键 13如图，等腰直角三角形 ， 底边 的高，现将 向平移，使点 重合，若重叠部分（阴影部分）的面积是 4，则 腰长为 4 【考点】 平移的性质 【分析】 根据等腰直角三角形的性质得出 B= C=45，故可得出 等腰 直角三角形，根据重叠部分（阴影部分）的面积是 4 求出 长，故可得出 长，再根据勾股定理即可得出 【解答】 解： 等腰直角三角形， B= C=45， 等腰直角三角形 重叠部分（阴影部分）的面积是 4， ，解得 ， = =4， = =4 故答案为： 4 【点评】 本题考查的是平移的性质，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键 第 16 页（共 28 页） 14如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续 下去已知第一个矩形的面积为 s，则第 n 个矩形的面积为 （ s） 2n 2 【考点】 中点四边形 【专题】 规律型 【分析】 易得第二个矩形的面积为（ ） 2s，第三个矩形的面积为（ ） 4s，依此类推，第 n 个矩形的面积为（ ） 2n 2s 【 解答】 解：已知第一个矩形的面积为 s； 第二个矩形的面积为原来的（ ） 22 2s= s； 第三个矩形的面积是（ s） 23 2= s； 故第 n 个矩形的面积为：（ ） 2n 2s 故答案为：（ ） 2n 2s 【点评】 本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的 三、作图题（本题满分 4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 15某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置 【考点】 线段垂直平分线的性质 ；作图 应用与设计作图 【分析】 由三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，可得售票中心是海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐场组成三角形的三边的垂直平分线的交点 第 17 页（共 28 页） 【解答】 解：如图， 连接 分别作线段 垂直平分线，两垂直平分线相较于点 P， 则 P 即为售票中心 【点评】 此题考查了线段垂直平分线的性质此题难度不大，注意掌握线段垂直平分线的作法 四、解答题（本题满分 74分，共有 9道小题） 16（ 1）解不等式组： （ 2）化简： 【考点】 解一元一次不等式组；分式的混合运算 【分析】 （ 1）首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集； （ 2）首先把括号内的分式进行通分、相减，把除法转化为乘法，然后对分式进行化简即可 【解答】 解：（ 1） ， 解 得： x 1， 解 得： x 3， 则不等式的解集是： 1x 3； （ 2）原式 = = =2（ x 2）（ x+2） =2x 4 x 2 =x 6 第 18 页（共 28 页） 【点评】 本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断还可以观察不等式的解，若 x较小的数、较大的数，那么解集为 x 介于两数之间 17某校为了解九年级学生的体能情况，随机抽取部分男生进行引体向上测试，并根据抽测成绩绘制成如下两幅统计图 （ 1）请你补全图 2 的统计图； （ 2）本次抽测成绩的众数和中位数分别是多少？ （ 3）若规定引体向上 9 次以上（含 9 次）为体能达到标准，则该校 450 名九年级男生中，估计有多少人体能达到标准？ 【考点】 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；中位数；众数 【分析】 （ 1）先求出总人数，再求出做 9 次的人数即可作图， （ 2）利用众数和中位数的定义求解即可， （ 3）用总人数乘做 9 次以上（含 9 次）的百分比 【解答】 解：（ 1）抽测的男生数为 1020%=50 人，做 9 次的人数 50 10 14 12 3=11 人 （ 2）本次抽测成绩的众数和中位数分别是 7， 8， 第 19 页（共 28 页） （ 3）体能达到标准的人数为： 450 =126 人 【点评】 本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，中位数及众数，解题的关键是正确的从条形统计图，扇形统计图得出数据 18甲、乙两个人进行游戏：在一个不透明的口袋中装有 4 张相同的纸牌，它们分别标有数字 1， 2，3， 4从中随机摸出一张纸牌然后放回，再随机摸出一张纸牌，若两次 摸出的纸牌上数字之和是 3的倍数，则甲得 1 分；否则乙得 1 分这是个公平的游戏吗？请说明理由；若不公平，请你修改规则使该游戏对双方公平 【考点】 游戏公平性 【分析】 列表得出所有等可能的情况数，找出之和为 6 的情况数，即可求出所求的概率，找出数字之和为 3 的倍数的情况数，分别求出两人获胜的概率，比较即可得到游戏公平与否 【解答】 解：列表如下： 1 2 3 4 1 （ 1， 1） （ 2， 1） （ 3， 1） （ 4， 1） 2 （ 1， 2） （ 2， 2） （ 3， 2） （ 4， 2） 3 （ 1， 3） （ 2， 3） （ 3， 3） （ 4， 3） 4 （ 1， 4） （ 2， 4） （ 3， 4） （ 4， 4） 所有等可能的情况有 16 种，其中数字之和为 3， 6 的情况有 5 种， P（和为 3 的倍数） = ， 则该游戏不公平， 故可以这样修改游戏规则：数字之和为奇数甲获胜，之和为偶数乙获胜 【点评】 此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平 19五一期间，小明随父母到某旅游胜地参观游览，他在游客中心 O 处测得景点 A 在其北偏东 72方 向，测得景点 B 在其南偏东 40方向小明从游客中心走了 2 千米到达景点 A，已知景点 B 正好位于景点 A 的正南方向，求景点 A 与 B 之间的距离（结果精确到 米） （参考数据： 第 20 页（共 28 页） 【考点】 解直角三角形的应用 【分析】 作 在 ，求出 长，从而求出 长，于是将 【解答】 解：作 A=72， B=40， 在 ， 2米）， 2米）， 在 ， = 即 =米）， 米） 第 21 页（共 28 页） 【点评】 本题考查了方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想 20某超市第一次用 3000 元从生产基地购进某品种水果，很快售完，第二次又用 2400 元购进相同品种的水果，第二次购进水果每千克的进价是第一次的 ，且重量比第一次少了 20 千克 （ 1）求两次购进水果每千克的进价分别是多少元？ （ 2）在这两次购进水果的运输过程中，总重量损失 10%，若这两次水果的售价相同，全部售完后超市至少要获得 20%的总利润，则该水果的售价最低应 定为每千克多少元？（结果保留整数） 【考点】 一元一次不等式的应用；解分式方程 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）设第一次购进水果单价 x 元，则第二次购进水果单价 ，根据第二次比第一次的重量少了 20 千克，可得出分式方程，解出即可； （ 2）最低应定为每千克 y 元，根据全部售完后超市至少要获得 20%的总利润可得出不等式，解出即可 【解答】 解：（ 1）设第一次购进水果单价 x 元，则第二次购进水果单价 由题意得 =20， 解得： x=50， 经检验的 x=50 是原方程的解， 而 0， 所以两次购进水果每千克的进价分别是 50 元、 60 元 （ 2）最低应定为每千克 y 元， 购买水果的总质量为：（ + ） =100 千克， 由题意得： 10090%y 3000 2400540020%， 解得： y72， 答：该水果的售价最低应定为每千克 72 元 【点评】 本题考查了一元一次不等式及分式方程的应 用，解答此类题目的关键是仔细审题，找到题目中的等量关系及不等关系，从而利用数学知识解答 第 22 页（共 28 页） 21如图，在 ，分别取 中点 E 和 F，连接 点 A 作 延长线于点 P （ 1）求证： （ 2）当 P 满足什么条件时，四边形 菱形？证明你的结论 【考点】 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定 【分析】 （ 1）根据平行四边形的对角相等可得 D，对边相等可得 D， D，再根据中点定义求出 F，然后利用 “边角边 ”证明即可； （ 2） P=90时，四边形 菱形先判断出四边形 平行四边形，根据平行四边形的对角相等可得 P，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 E，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形 平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明 【解答】 （ 1）证明：在 ， D， D， D， E、 F 分别是 中点， F， 在 ， ， （ 2）解： P=90时，四边形 菱形理由如下： 在 ， 四边形 平行四边形， P=90， E 是 中点， 第 23 页（共 28 页） E= E、 F 分别是 中点， E， 又 四边形 平行四边形， 四边形 菱形（邻边相等的平 行四边形是菱形） 【点评】 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键 22某茶叶专卖店经销一种崂山绿茶，每千克成本 80 元据销售人员调查发现，每月的销售量 y（千克）与销售单价 x（元 /千克）之间存在如图所示的变化规律 （ 1）求每月销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式； （ 2）写出每月销售这种绿茶获得的利润 w（元）与销售单价 x（元 /千克）之间的函数关系式； （ 3）若该专卖店销售这种绿茶想要每月获得的利润不低于 1350 元，并且为了不压货，要求每月销售量不得低于 70 千克，则销售单价应定在什么范围内？ 【考点】 二次函数的应用 【分析】 （ 1）设函数解析式为 y=kx+b，将（ 90， 100），（ 100， 80）代入 y=kx+b 即可； （ 2）每千克利润乘以销售量即为总利润； （ 3）要求每月销售量不得低于 70 千克和每月获得的利润不低于 1350 元，求出 x 的取值范围 【解答】 解：（ 1）设一次函数解析式为 y=kx+b， 把（ 90， 100），（ 100， 80）代入 y=kx+b 得， ， 第 24 页（共 28 页） 解得， ， y 与销售单价 x 之间的函数关系式为 y= 2x+280 （ 2） w=（ x 80）（ 2x+280） = 240x 22400； （ 3）要求每月销售量不得低于 70 千克， 即 2x+28070， 解得 x105， 当 240x 22400=1350 时， 得到 2（ x 110） 2+1800=1350， 解得（ x 110） 2=225， 解得 5， 25 每月获得的利 润不低于 1350 元，则有 95 元 x125 元， 于是销售单价在 95 元 x105 元之间 【点评】 本题考查了二次函数的应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题，同时要熟悉二次函数和一元二次方程的关系 23【问题提出】 如图 1，把一个边长为 1 的正三角形纸片（即 在直线 ， 与直线 后将三角形纸片绕着顶点 A 按顺时针方向旋转 120，此时点 O 运动到了点 B 运动到了点 将三角形纸片 点 20，点 A 运动到了点 动到了点 （即顶点 O 经过上述两次旋转到达 求顶点 O 经过的路程，并求顶点 O 在此运动过程中所形成的图形与直线 成图形的面积 【问题解决】 三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点 O 运动所形成的图形是两段圆弧，即弧 弧 点 O 所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，即 + = ；这两段圆弧与直线 于扇形 面积、 1面积之和，即+ + = + 【类比应用】 第 25 页（共 28 页） 如图 2，把边长为 1 的正方形纸片 在直线 ， 与直线 后将正方形纸片进行第一次旋转，即绕着 顶点 A 按顺时针方向旋转 90，此时点 O 运动到了点 点 B 处），点 C 运动到了点 ，点 B 运动到了点 ；再将正方形纸片 绕点顺时针方向旋转 90， ，按上述方法经过若干次旋转后 请你解答下面两个问题： （ 1）若正方形纸片 上述方法经过 3 次旋转，求顶点 O 经过的路程，并求顶点 O 在此运动过程中所形成的图形与直线 （ 2）若正方形 上述方法经过 5 次旋转，求顶点 O 经过的路程 【拓 展应用】 将正方形纸片 上述方法经过多少次旋转，顶点 O 经过的路程是 ？ 【考点】 几何变换综合题 【分析】 根据正方形旋转 3 次的路径，利用弧长计算公式以及扇形面积公式求出即可； 根据正方形旋转 5 次的路径，利用弧长计算公式求出即可； 【拓展应用】 再利用正方形纸片 过 4 次旋转得出旋转路径，进而得出 =20（ 1+ ） + ，即可得出旋转次数