3-2-5 分式的大小比较讲义学生版

3式的大小比较 讲义 教师版 内容 基本要求 略高要求 较高要求 分式的概念 了解分式的概念，能确定分式有意义 的条件 能确定使分式的值为零的条件 分式的性质 理解分式的基本性质，并能进行简单 的变型 能用分式的性质进行通分和约分 分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则 会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题 【例 1】 语句 “若 ，则 22”显然是不正确的 。试分别按照下列要求，将它改为正确的语句： （ 1）增加条件，使结论不变；（ 2）条件不变，改变结论。 【考点】整式的大小比较 【难度】 2星 【题型】解答 【关键词】 【解析】答案不唯一 【答案】（ 1）可增加条件： 都是正数，或 0x ，或 | | | |等 （ 2）可改变结论： 33，也可改变22。 【例 2】 若实数 1a ，则实数 2 2 133a N P ， ，的大小关系为 ( ) A P N M B M N P C N P M D M P N 【考点】 整式的大小比较 【难度】 4星 【题型】 选择 【关键词】 作差法 【解析】 本题主要考查代数式大小的比较有两种方法：其一，由于选项是确定的，我们可以用特值法，取1a 内的任意值即可；其二， 用作差法和不等式的传递性可得 M N P， ， 的关系 中考要求 分式 的大小比较 例题精讲 3式的大小比较 讲义 教师版 方法一：取 2a ，则 45233M N P， ，由此知 M P N ，应选 D 方 法二：由 1a 知 10a 又 2 1 1 033 a ， ； 2 1 2 1 03 3 3a a ， M P N ，应选 D 【答案】 D 【例 3】 比较下列各题中的两个式子的大小： 与 ； 221 ( 2)2 与221 ( 2 1)3 【考点】整式的大小比较 【难度】 3星 【题型】 解答 【关键词】 作差法 【解析】 比较两个代数式的大小一般用求差法，即：若 0，则 ；若 0，则 ；若0，则 ，在比较的过程中，常常需借助非负数的性质来判断差的符号，当差的符号无法确定时，应分情况进行讨论 ( ) ( ) 2a b a b a b a b b 当 0b 时， 20b ， a b a b ； 当 0b 时， 20b ， a b a b ； 当 0b 时， 20b ， a b a b ； 2 2 2 2 2 21 1 1( 2 ) ( 2 1 ) ( 4 )2 3 6a b a b a b 2 0a ， 2 0b 2240 即221 ( 4 ) 06 2 2 2 211( 2 ) ( 2 1 )23a b a b 当所比较的两个代数式 “同号 ”时，也可用求商法，看其商与 1的大小关系是什么，进而判断代断式的大小 【答案】（ 1）当 0b 时， a b a b ； 当 0b 时， a b a b ； 当 0b 时， a b a b ； （ 2）2 2 2 211( 2 ) ( 2 1 )23a b a b 【例 4】 已知 x ， y ， z 是三个互不相同的非零实数，设 2 2 2a x y z ， b xy yz ，2 2 21 1 1c x y z ，1 1 1d xy yz 则 a 与 b 的大小关系是 ； c 与 d 的大小关系是 【考点】 分式的大小比较 【难度】 4星 3式的大小比较 讲义 教师版 【题型】 填空 【关键词】 作差法 ,第 15届 ,希望杯 ,第 1试 【解析】 ,三个互不相同的非零实数， 2 2 2 ()a b x y z x y y z z x 2 2 21 ( ) ( ) ( ) 02 x y y z z x 又 2 2 21 1 1 1 1 1cd x y z x y y z z x 22 21 1 1 1 1 1 102 x y y z z x ， 【答案】 ， 【例 5】 已知 a ， b ， c 为正数，且 ，若 1 1 1 ， 1 1 1y a b b c c a ，则 x 与 y 的大小关系是 ( ) A B C D 随 a ， b ， c 的取值而变化 【考点】根式的大小比较 【难度】 4星 【题型】 选择 【关键词】 第 10届，希望杯，第 2试， 作差法 【解析】 由题意有 2 2 2 2 2 222xy a b c a b b c a c 1 2 1 1 2 1( ) ( )a b b ca b b c 1 2 1() 2 2 21 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )a b b c c a 又 ， 211( ) 0，211( ) 0，211( ) 0 0， 选 A 【答案】 A 【例 6】 已知正实数 a b c d、 、 、 满足 a b c d 且 1，且 S ， ， ， ， ，求 a b c d、 、 、 的大小关系 【考点】分式的大小比较 【难度】 5星 【题型】 解答 【关键词】 河北省，初中数学竞赛 【解析】 由 ( ) ( 1 ) 0a b b a c d ，所以 ， 由 ( ) (1 ) 0d c d c a b ，所以 ， 由 ( ) ( 1 ) 0b d d b a c ，所以 ， 所以 c d b a 【答案】 c d b a 3式的大小比较 讲义 教师版 【例 7】 已知 a b m， ， 都是正数，且 ，试证明分式 的值总小于 【考点】分式的大小比较 【难度】 4星 【题型】 解答 【关键词】 作差法 【解析】 略 【答案】方法 1： 求出两个分式的差： m b aa m a a b m b a b m ab m b b b m b b m 。根据条件，这个差总小于 0， 的值总小于 方法 2： 1a m b m a b a bb m b m b m ， 1a a ， a b m， ， 都是正数，且 ，所以 a b a bb m b 故 的值总小于 【例 8】 已知 ， 是 中三边长，试比较 22大小。 【考点】分式的大小比较 【难度】 4星 【题型】 解答 【关键词】 作差法 【解析】 略 【答案】方法一 求出这两个分式的差 222 2 2c a b c c a b a b a b a b 。 0 0 0a b c a b c ， ， ， 22 0 ，即 22 。 方法二 因为 ， 是三角形三边长，所以 0 c a b ，所以 01 22 【例 9】 加以两位采购员同去一家饮料公司购买两次饲料。两次的价格有变化，两位采购员的购买方式也不同，其中甲每次购买 1000 千克，乙每次都用 800 元。问： （ 1）甲、乙所购买饲料的平均单价各是多少？ （ 2）谁的 购买方式更合算？ 【考点】分式的大小比较 【难度】 4星 3式的大小比较 讲义 教师版 【题型】 解答 【关键词】 作差法 【解析】（ 1）设两次购买饲料的平均单价分别为 a 元 /千克和 b 元 /千克，（ 为正数，且 ） 甲所购平均单价为 1 0 0 0 1 0 0 02 0 0 0 2a b a b（元 /千克） 乙所购平均单价为 8 0 0 8 0 0 28 0 0 8 0 0（元 /千克） （ 2）甲、乙所购饲料的平均单价之差是： 22422 2 2a b a b a ba b a ba b a b a b 。 由于 均为整数，且 ， 22也是正数 22a b 。故乙的购买方式更合算。 【答案】（ 1）甲所购平均单价为2元 /千克） 乙 所购平均单价为 2元 /千克） （ 2）乙的购买方式更合算 1. 设 ， 的平均数为 M ， 的平均数为 N ， 的平均数为 P ，若 ，则 M 与 P 的大小关系是 ( ) A B C D不确定 【考点】整式的大小比较 【难度】 4星 【题型】选择 【关键词】 2000，全国初中数学竞赛，做差法 【解析】 23 2 2 4a b c a b N c a b P ， ， 212a b 因为 ，所以 22 01 2 1 2a b c a c c 即 0，所以 【答案】 B 2. 证明：对于任意两个不等的正数 ，不等式 2a b 总成立。 【考点 】分式的大小比较 【难度】 4星 【题型】解答 【关键词】作差法 【解析】略 课后作业 3式的大小比较 讲义 教师版 【答案】 是不等的正数， 2 2 22 2 0a b a b a b a b a b 2a b 总成立。 3. 设 , c a ba b b c c a ，则 ， 三个数的大小关系是（ ） A. c a b B. b c a C. D. c b