初中数学 数学名师 盖尔范德

1 盖尔范德盖尔范德 盖尔范德 m 1913 年 9 月 2 日生于乌克兰奥德萨省红窗市 数学 数学物理 生 物学 盖尔范德出生于一个贫穷的犹太人家庭 由于家境贫寒 甚至未能完成中等教育 他 在中学时就对数学极感兴趣 试图自学高等数学 但买不起书 他不得不趁得阑尾炎需动 手术之机向双亲要求 声言如不给他买书 就不去敖德萨医院 他终于得到了高等数学教 材第一册 父亲的钱只够买一本 在医院用 9 天时间自修了平面解析几何和微分学 据他 回忆 中学时实际上就独立推出了欧拉 马克劳林公式 伯努利数 前 n 个自然数 p 次幂的 求和公式等 并培养了解题后继续思考的习惯 1930 年 2 月 盖尔范德随父去莫斯科投靠远亲 起初生活困难 经常失业 只得打工 做杂活 包括在列宁图书馆做检查员 闲暇时他都在图书馆读书 补充在中学及未结业的 职业技术学校没有学到的知识 在图书馆 他结识了不少大学生 并到莫斯科大学旁听数 学课 还参加讨论班 他曾说他平生第一所数学学校便是 m a 拉甫伦捷夫主持的复变函 数讨论班 年 18 岁时他即在夜校讲授初等数学 后来也教高等数学 1932 年 从未上过正规大学的盖尔范德被莫斯科大学录取为研究生 师从 a h 柯尔 莫哥洛夫 他后来说 从莫斯科大学优秀数学家那里他学到了许多知识 而从柯尔莫哥洛 夫身上学到最多 使他懂得当代数学家应该成为自然哲学家 柯尔莫哥洛夫让盖尔范德在新兴的泛函分析领域从事研究 1935 年 盖尔范德以关于 抽象函数和线性算子的论文获副博士学位 在该文和稍早的另一篇论文中 他得到了泛函 分析中不少基本结果 例如完全赋范空间的 桶型 性质 通过二次对偶空间中的元素定 义现称的盖尔范德 佩蒂斯积分等 他还在证明过程中建立了现在泛函分析中通用的通过连 续线性泛函转化为经典分析中对象的方法 1940 年 盖尔范德获苏联物理数学科学博士学位 在学位论文中 他创建了赋范环 现称巴拿赫代数 论 在短短 2 页的论文中 他建立了赋范环论的基本框架 在紧接着发 表的论文 文献 vol l pp 172 174 中 他应用赋范环论只用 5 行篇幅证明了 n 维纳 wiener 早先在一篇长文中证明的著名定理 如果一个不取零值的函数可展开为绝对收敛 的傅里叶级数 则其倒数也可展开为绝对收敛的傅里叶级数 他还指明用类似方法可以证 明一系列定理 这项成就显示了赋范环论的威力 引起国际数学界极大兴趣 1943 年起盖 尔范德任莫斯科大学教授 后来还领导苏联科学院应用数学研究所的一个部门 1967 年他 主持创办 泛函分析及其应用 杂志并任主编 从 20 世纪 30 年代后期以来 盖尔范德在纯粹数学和应用数学的众多分支进行了大量 卓有成效的研究 50 年代末 他开始研究生物学和生理学 截止到 1992 年 他本人或与 别人合作发表论文近 500 篇 其中概观性论文约占 7 关于泛函分析和调和分析的约占 6 关于群表示论的约占 16 关于积分几何与广义函数的约占 8 关于无穷维李代数 上同调的约占 6 关于微分方程和数学物理的约占 9 关于生物学和生理学的约占 23 其他 25 他还写作教材或专著 18 本 1987 年至 1989 年 施普林格出版社出版了 盖尔范德文选 此文选经作者审定 凡 3 卷 共收入论文 167 篇 盖尔范德于 1953 年当选为苏联科学院通讯院士 1984 年当选为院士 他于 1966 年至 1970 年任莫斯科数学会主席 现为该会名誉会员 他是许多著名科学院或学会的成员 其 中有英国皇家学会 美国国家科学院 美国科学与艺术学院 巴黎科学院 瑞典皇家科学 院 他还是牛津大学 哈佛大学 巴黎大学的名誉博士 在国内 他曾获一次列宁奖 两 次国家奖 1978 年首次颁发沃尔夫奖时 他与 c l 西格尔 siegel 一起荣获数学奖 盖尔范德曾在国际数学家大会上作过三次全会报告 1954 1962 1970 这颇能说明 2 他在当代数学发展中的突出地位 迄今为止 只有 v 沃尔泰拉 volterra 做过 4 次全会 报告 而做过三次的 另外也只有三位 就是 e 嘉当 cartan l 阿尔福斯 ahlfors 和 a 韦伊 weil 巴拿赫代数 调和分析 20 世纪 30 年代中期 j 冯 诺伊曼 von neumann 建立了冯 诺伊曼代数的艰深理 论 多少有点奇怪的是 虽然当时也有人进行过关于交换赋范代数的零碎研究 却一直没 有建立起一般理论 直到 30 年代末 40 年代初 才由盖尔范德完整地创建了巴拿赫代数的 系统理论 在定义一般赋范环 r 后 盖尔范德极富创造性地引进并抓住极大理想这一基本概 念 他建立了 r 的特征标空间到 r 的极大理想的空间之间的一一对应 定义了现称为盖尔 范德变换的映射 并证明每个赋范环 r 都能同态地映到定义于 r 的极大理想构成的豪斯多 夫空间上的连续函数环中 而这一同态为同构的必要充分条件是 r 中不存在广义幂零 元 他还证明赋范域必同构于复数域 盖尔范德 马祖尔定理 盖尔范德另一极富创造性的思想 是把在此以前希尔伯特空间中线性算子的谱论推广 到赋范代数的元素上 从而建立了一般谱论 对于 r 的元素 x 他定义使得 x e e 是 r 的单位元 在 r 中不可逆的复数 的集合为 x 的谱 他洞察到为使这个概念富有成果 应 假定 r 是完全的 这就是巴拿赫代数 他证明巴拿赫代数中任一元素 x 的谱是非空紧 集 他称以原点为中心 包合 x 的谱的最小圆的半径为 x 的谱半径 并 盖尔范德创建的巴拿赫代数理论 几十年来一直是泛函分析最活跃的研究领域之 一 他关于极大理想的观念 不仅革新了调和分析 而且对代数几何的发展产生了很大影 响 他建立的一般谱论 使得 20 世纪前 30 年中由 d 希尔伯特 hilbert 和冯 诺伊曼等 建立的希尔伯特空间中算子的谱论极大地简单化和一般化 在辉煌地建立赋范环论后 盖尔范德 由 m a 奈玛克 hamapk 合作 又创建了 c 代 数的一般理论 本来 c 代数指的是希尔伯特空间中的一致闭算子代数 但盖尔范德和奈玛 克在其奠基性论文中指出无须使用希尔伯特空间 只要在赋范环中引进称为对合的映射 x x 满足 x y x y xy y x x x x x x x x 2 即可 定义 一般的具有对合的赋范环 文中证明了下述基本结果 每个非交换的具有对合的赋 范环可实现为某个希尔伯特空间中线性连续算子连同其自然对合 对应到伴随算子 所构成 的环 具有对合的巴拿赫代数 就是现称的 c 代数 通过 c 代数上的态 可以得到著名的 gns 盖尔范德 奈玛克 西格尔 构造 运用盖尔范德的理论 就能得到先前 f 里斯 riesz 冯 诺伊曼的 单位分解理论 和 e 赫林格 hellinser h 哈恩 hahn 的 重数理论 的现代描述 到了 50 年代 c 代数已成为泛函分析的一个基本工具 由于可以把量子系统 的观测量代数解释为 c 代数 而这时量子系统的状态相当于 c 代数上的态 因此 c 代数 在 60 至 70 年代关于量子场论的公理化处理中起了主导作用 盖尔范德 由 a 拉伊科夫 pakob 合作 还运用赋范环论 把实数直线上的调和分 析推广到局部紧阿贝尔群上 同韦伊的工作一起 完整地建立了局部紧阿贝尔群上的调和 分析 他指出局部紧阿贝尔群 g 上关于哈尔测度为可积的函数的全休 l1 g 构成一个巴拿 赫代数 定义 l1 g 中元素 f 的傅里叶变换 f 建立其反演公式以及相当于帕塞瓦尔等式和 普朗切雷尔定理的命题 证明 l1 g 的闭理想 i 等于 l1 g 的必要充分条件是存在 f l1 g 使对 g 的每个特征标 x 有 f x 0 当 g 为实数直线时 这个命题包含维纳的广义陶伯型 定理 他 由奈玛克合作 用赋范环论研究带调和函数 证明对于群 g 在希尔伯特空间 h 中 的不可约酉表示 t 和 g 的子群 u h 中至多含有一个关于算子 tu u u 为不变的向量 从 而为带调和函数论建立了基础 群表示论 3 盖尔范德一直十分关注分析中的代数问题 从 40 年代初期起 他就研究连续群的表示 理论 把它看作体现代数与分析紧密结合的最为激动人心的分支 事实上 表示论也确实 是 40 年代以来数学中最活跃的研究领域之一 20 世纪初 f g 弗罗贝尼乌斯 frobenius 和 i 舒尔 schur 研究了有限群的有限 维表示 后来 e 嘉当和 h 外尔 weyl 对紧李群的有限维酉表示进行了基础性研究 由于 物理学发展的需要 e p 威格纳 wigner 在其关于非齐次洛伦茨群的论文中首次研究了 无限维酉表示 在 1943 年的论文中 盖尔范德 由拉伊科夫合作 首先正确地提出表示论的基本问题 表示为酉矩阵的自然推广是表示为希尔伯特空间中的酉算子 文中基于酉表示与正定函 数之间的联系 证明每个局部紧群具有不可约酉表示的完全系 这是抽象调和分析和群表 示论中最重要的定理之一 为以后大量研究提供了基础 接着 从 1944 至 1948 年 盖尔范德 由奈玛克合作 在一系列论文 文献 vol 2 pp 41 137 中 构造了经典复李群的无穷维表示 他们从简单明显的公式 给出 2 阶幺模复矩阵群 sl 2 c 的所有不可约酉表示 把它们分为主系列和补系列 证明 sl 2 c 的任一酉表示可分解为主系列和补系列中表示的直和 由于 sl 2 c 局部同构于 洛伦茨群 所以这一工作也首次给出了洛伦茨群的全部酉表示 从而也是对理论物理的一 个贡献 这项工作同 1947 年 v 巴格曼 bargmann 关于 sl 2 r 不可约酉表示的研究一起 成为酉表示论的真正起点 盖尔范德进一步研究了复半单李群的不可约酉表示 以 n 阶幺模复 个参数的函数构成 的空间中 他引进 广义线性元素 z 在 z 的空间中引进适当的测度 考虑关于此测度为 平方可积的函数的空间 h 对于 g g 由 tgf z f zg zg 确定 g 到 h 中的算子 tg 由 tg1g2 tg1tg2 和 tg 为酉算子来确定 这样定义的酉表示都是不可约的 按照在 h 上引 进内积的不同方式 把这些表示分为主系列和补系列 考虑 具有删节的广义线性元素 得到退化主系列和退化补系列 他对每种不可约表示求出相应的特征标的具体形式 他定 义了经典群不可约酉表示的迹 得到其显式表示 并证明在不计等价意义下表示为其迹唯 一决定 对于 k 为任意局部紧非离散域时 sl 2 k 的酉表示 他 由 m 戈拉叶夫 paeb 合作 建立了统一的理论 完整列举了 sl 2 k 的不可约酉表示 指出除主系列和补系列 外 还有 3 个离散表示系列和 1 个奇异表示系列 并用特征标给出普朗切雷尔公式 文献 vo1 2 pp 450 456 文献 vi 第 2 章 由于数学与流体力学 量子场论中常出现无穷维李群 盖尔范德 由戈拉叶夫 a m 韦尔希克 bep k 等合作 对无穷维酉表示也进行了很多研究 例如 对于具有规 范理论背景的群 gx 黎曼流形 x 上取值于紧半单李群 g 中的光滑函数组成的群 借助毛瑞 尔 嘉当闭上链 构造出 gx 在福克空间 expx 上的表示系列 证明当 dimx 4 时这些表示是 不可约的 后来别人证明 dimx 3 时是不可约的而 dimx 1 时则是可约的 盖尔范德对自守形式作了重要研究 他认为自守函数论中几乎所有问题都可陈述为把 给定半单李群 g 在函数空间中的表示分解为不可约表示 在 1952 年关于常负曲率流形上测 地流的论文 文献 vo1 2 pp 321 327 由 c b 福明 om h 合作 中 他证明自 守形式的空间的维数等于离散序列的表示在给定表示中出现的重数 后来他又由 皮亚捷茨基 沙皮罗合作 对半单李群 g 在空间 g t t 是 g 子群 中表示的谱进行 了系统研究 959 pp 171 194 vi 得到了盖尔范德 皮亚捷茨基 沙皮罗互反 律 g t 上正则表示中不可约表示 u 的重数等于 u 的所有自守形式构成的线性空间的维数 和迹公式 盖尔范德对表示论的研究历时 40 余年 几乎对这个领域的所有方面都有建树 例如 4 他在研究李代数的包络代数时提出的现称为盖尔范德 基里洛夫维数的概念 文献 vo1 2 pp 613 630 导致 v 卡茨 kac 对这种维数为有限的代数进行分类 进而提 出在理论物理中很有用的卡茨 穆迪代数 盖尔范德关于经典群的无穷维表示可以与有限维表示一样具有清晰优美的描述的基本 观点 已被证明是十分深邃的 尽管像 e 嘉当 外尔 a 赛尔伯格 selberg 韦伊这 样的大师都对表示论进行过研究 但按 a a 基里洛夫的范围广阔 方法深刻 结果完善 而言 盖尔范德是无与伦比的 文献 vo1 2 pp v 积分几何 f 积分几何的系统研究始自 w j e 布拉施克 blaschke 但盖尔范德认为 20 世纪 50 年代以前它的研究领域相当狭窄 主要是对某些齐性空间计算不变测度 他提出积分几 何的基本课题应当是 在空间 x 内给定依赖于参数 1 k 的解析流形 m m m 1 k 对于 x 上满足一定条件的函数 f x 作沿所给流形 的 如是 求出 通过 i 表达 f x 的公式 并研究 的何种函数可表示为上述形式的积分 对于 cn 中 的平面复形 他解决了积分几何的基本问题 盖尔范德 由戈拉叶夫合作 在积分几何研究中创造了强有力的 极限球面 方法 设 x 是作用在变换群 g 上的齐性空间 则对每个 g g 群 g 在 x 上的函数 f x 的空间 e 中有 由 tgf x f xg 定义的表示 这种表示须分解为不可约表示 于是积分几何就与表示论自 然地联系在一起 在对半单李群解决分解问题时 他提出在 x 中挑出称为 极限球面 的 子流形 它是 rn 中超平面概念的推广 当 x 是罗巴切夫斯基空间 g 是 x 中的运动群时 就是经典的极限球面 把 g 看成作用于极限球面构成的空间 x 上 一般地说 g 在 x 上的函数的空间 e 他发现对于复半单李群解调和分析中许多问题都可归结为用极限球面方法解积分几何 问题 他还给出通过积分几何方法构造缠结算子的一般原理 广义函数 盖尔范德是充分看出 c 索伯列夫和随后 l 施瓦尔茨 schwartz 关于广义函数的理论 的重要性和远大前景的第一位苏联数学家 在 50 年代后广义函数论的发展中 盖尔范德及 其合作者起了带头作用 早在 1953 年 他就提出能够而且必须在各种基本函数空间上构造 广义函数并对不同问题选取最适合的函数空间的思想 8 1953 pp 3 54 这个思想使广义函数成为具有广泛适应性的工具 得以应用于微分方程 表示论 积 分几何 随机过程论等领域 1958 年至 1966 年 盖尔范德与 f e 希洛夫 h 维列金 戈拉叶夫 皮亚捷茨基 沙皮罗合 版了以 广义函数 为总标题的 6 卷巨著 第一卷讨论广义函数的定义及基本性 质 广义函数的傅里叶变换和各种特殊类型的广义函数 第二卷考察各种类型基本函数空 间和其上的广义函数以及相应的傅里叶变换 第三卷应用广义函数研究偏微分方程组柯西 问题解的唯一性类和适定性类以及自伴微分算子按特征函数的展开 第四卷主要研究核空 间及其应用并引进装备希尔伯特空间 后者使许多结果更加完备优美 此卷还讨论正定广 义函数 广义随机过程与线性拓扑空间上的测度论 第五卷以积分几何为基础 研究洛伦 茨群以及与之有关的齐性空间上的调和分析 第六卷中研究表示论与自守函数 这套书享 有国际盛誉 有中 英 法 德文译本 已成为训练分析学家的基本教材和经典著作 无穷维李代数的上同调 c 谢瓦莱 chevally 和 s 艾伦伯格 eilenberg 于 1948 年给出了李代数上同调的形 式定义 在其后 20 年中 有限维李代数的上同调论得到了广泛发展 1968 年起 盖尔范 德 主要由 b 富克斯 ykc 合作 写了一系列论文 研究无穷维李代数的上同调 这 5 一理论现称为盖尔范德 富克斯上同调 他们证明 如果 m 是 n 维闭可走向微分流形 u m 是 m 上光滑切向量构成的李代数 以泊松括号为换位运算 则对任何 q 同调空间 hq u m r 是有限维的 当 0 q n r 由一个 2 维生成子和一个 3 维生成子生成 这两个生成子都有简单的显式表示 对于 rn 中形式向量场的李代数 wn 盖尔范德等通过格拉斯曼流形的骨架引进空间 xn 证明对所有 q n hq wn r 同构于 hq xn r 环 h wn r 中的乘法是平凡的 即 两个正维数元素之积为零 空间 xn 的上同调可以用标准的拓扑方法计算 例如 当 0 q 2n 和 q n n 2 时它是平凡的 他在研究 wn 的上同调中所建立的许多引理 后来表 明与叶状结构示性类的构造有密切联系 具有重要的意义 由于盖尔范德 富克斯上同调与代数几何 代数数论 分析 量子场论以及几何中许多 问题有关 因而这项研究在国际上引起了很大反响 激发了大量的后继研究 例如 c 戈 德比隆 godbillon 和 j 维伊 vey 的工作 微分方程 微分算子的谱与该算子中系数之间的关系 对于应用是一个重要问题 考虑在 0 上 给定的二阶微分方程 y q x y 0 及边界条件 y 0 1 y 0 h 其中 q x 在任一 有限区间上连续 熟知这时存在谱函数 盖尔范德 由 m 列维坦合作 于 1951 年研 究其反问题 给定函数 定是否存在上述形式的微分方程 以所给 为其谱函 数 如果存在 确定计算 q x 的方法 虽然此前已有人在这方面从事过研究 但盖尔范德 用了独创的方法即转化为积分方程的方法 他通过积分方程表述了 是所给问题的谱 函数的必要充分条件 对于有限区间上的同类方程及边界条件 他证明对于满足渐近等式 的任一数列 都能构造 q x 使所给数列是相应的特征值序列对于 0 上的微分方程 y q x y 0 hy 0 0 y hy 0 的特征值序列 他们得到十分简单的等式 其中 n 是方程 y y 0 连同上述边界条件的特征值序列 对于最简单的边界条 件 y 0 y 0 就有 vo1 1 pp 457 461 盖尔范德建立的通过转化为线性积分方程解逆谱问题的方 法 后来为 l s 伽德纳 gardner 等在研究 kdv 方程孤立子解时所采用 以后由 p d 拉克斯 lax 等发展为求解非线性微分方程初值问题的一种系统方法 散射反演方 法 1960 年 盖尔范德提出了椭圆型偏微分方程的同伦分类问题 文献 vo1 1 pp 65 75 其实他于 1945 至 1946 年已在讨论班上提出过这一问题 他给出两 个方程或问题为同伦的定义 指出寻找同伦不变量并用方程的系数加以描述具有重要意义 并特别指明 可以预期的一个同伦不变量是问题的指标 即给定齐次问题线性无关解的个 数与相应的伴随齐次问题线性无关解个数之差 这篇短文影响深远 启发了关于指标理论 的持久研究 m f 阿蒂亚 atiyah 和 i m 辛格 singer 在牛津考虑他们著名的指标定 理时 该文是他们最早接触到的论文 70 年代后半期 盖尔范德 由 a 狄基合作 再次研究逆谱问题 发现第 k 个拉克斯 算子正是 6 其中 d2 q 是希尔方程 d2 q 是其 s 复幂 d2 q 是其按 d 作伪微分展开时的正 部 这个结果在以后 r b 艾德勒 adler 等的研究中起了重要作用 盖尔范德还发展了 一种形式变分法理论 揭示了孤立子方程的哈密顿特征 并为代数地计算其积分提供了形 式工具 生物学和生理学 盖尔范德于 1958 年开始研究生物学和生理学 他先开设一个有关的讨论班 然后与其 他领域专家组织了一个使生理学家 物理学家和数学家在研究的各个阶段都能互相交流合 作的实验室 该室实施了关于运动控制和小脑生理学的许多研究项目 他同 m 瓦西列夫 合作 在莫斯科大学建立了生物学数学方法系际实验室 盖尔范德与 m 采特林等合作 用独创的 深谷法 研究运动的操作控制 文献 vo1 3 pp 686 702 他与 阿尔沙夫斯基等合作 提出了非个体控 制多层系统 的观念 通过对可控制运动的标本的实验 证实脊髓中存在信号传递途径 还研究了通过 不同路径进入小脑信号之间的差别 1969 pp 167 176 2 1970 pp 581 586 pp 375 383 在盖尔范德等研究肝肌腹水肿瘤细胞复合体的过程中 发现肝腹水有两类新的细胞间 接触作用 有丝分裂圈的同步化和增殖的接触加速 他们通过成纤维细胞培养 揭示了 两组形态发生过程 壳层细胞质的产生和细胞的极化 2 1971 pp 138 144 13 1971 pp 1362 1377 盖尔范德与另外几位学者合写了关于培养中的肿瘤细胞与正常细胞 关于正常细胞 肿瘤细胞与培养基的相互作用以及关于小脑与有节奏运动的控制等三部专著 应当强调 除最早几篇论文外 盖尔范德完全是以生物学专家的面貌 同有关专家合 作做大量实验并进行理论探讨 而不是把数学方法应用于生物学 也不是开发生物学的数 学模型 其他领域 盖尔范德对计算数学的发展做出了贡献 他与别的学者合作 提出研究一类差分问题 稳定性的有效方法和解隐式差分格式的复搜索法 文献 vo1 3 pp 617 647 提出梯 度法不能奏效时可用的 深谷法 文献 vo1 3 pp 648 670 并把此法用于质子散 射的相位分析与晶体结构辨认 他与物理学家合作进行了世界上关于稳定磁流体动力学的 最早几个数值计算之一 盖尔范德与伊藤清同为广义随机过程论的奠基者 他定义了广义随机过程 研究其特 征泛函 建立了独立值广义随机过程理论 文献 vo1 3 pp 529 533 文献 iv 第三 章 这项工作为白噪声分析提供了精确的数学基础 盖尔范德还研究医学诊断 他同有关专家合作于 1971 年研制成功出血后果预后机 可 在病人进院后 6 小时的信息基础上判断该用保守疗法抑或动手术 他发展了称为诊断博弈 的方法 并把它成功地应用于医学的许多问题 70 年代中期以来 盖尔范德的注意力部分转向几何学 他得到第一庞特里亚金有理类 的组合公式 对格拉斯曼流形的几何进行了研究并在任意正规庞特里亚金类的公式上取得 显著进展 文献 vo1 3 bull amer math soc 26 1992 pp 304 309 盖尔范德与地球物理学家 应用数学家合作 提出了识别强烈地震潜在震源的一种方 法 他同苏 美一些学者联名发表的关于模式识别应用于加利福尼亚地震震中的论文 phys earth planetinter 1976 pp 277 283 是强震模式识别的奠基性论 著 他与另外四位学者合写了关于中亚和东亚地区可能的强震震源识别的专著 1986 年 73 高龄的盖尔范德发表关于超几何函数一般理论的论文 文献 vo1 3 pp 877 881 以后他又同人合作展开了广泛的研究 他观察到高斯超几何函数 7 可以自然地用约翰变换来解释 由此推广到多维情形 并对超几何函数各种表面上互不关 联的特例提供统一的阐述 开创了一种富有前景的新理论 研究工作的特点 从上面关于盖尔范德科学成就的简略介绍中 可以看到他研究领域之广泛 令人惊 叹 b 科斯坦特 kostant 认为 在 20 世纪后半期 盖尔范德比任何别的数学家在更多的 领域发表了大量开拓性论著 在这方面 20 世纪前半期中也只有希尔伯特