福建省厦门市2016届高三第二次质量检查数学试题(理)含答案

厦门 2016 届高三质量检查 数学 （理） 分 150 分，考试时间 90 分钟 一、 选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题所给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 若集合 A= 且4 ,B= 022 则 =_. A.2 B. 3 C. 3,2 D. 43， 2.“互联网 +”时代，全民阅读的内涵已经多元化，倡导读书成为一种生活方式，某校为了解高中学生的 阅读情况，拟采取分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为 60 的样本进行调查，已知该校有高一学生 600人，高二学生 400 人，高三学生 200 人， 则应从高一学生抽取的人数为 _. A. 10 B. 20 D. 40 p : 2,0 x ， x,则 . 真命题， :p 2,0 x ， x B. p 是真命题， :p 2,00 x ， 0x C. p 是 假命题， :p 2,0 x ， x D. p 是假命题， :p 2,00 x ， 0x 输出的结果是 . 中， 1 ,记 , _. A. B. C. D. 名女生中选 4人参加 4 100米接力赛，要求甲、乙两人至少有 一人参赛，如果甲、乙两人同时参赛，他们的接力顺序就不能相邻 ，不同的排法种数为 . D. 264 02co s 单位长度，所得的图像经过点 0,43 ，则 的最小值是 _. 1 2 8.九章算术中，将底面是直角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，已知某“堑堵”的三 视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该 “堑堵”的侧面积为 . A. 2 B. 224 C. 244 D. 246 9. 已知 满足1255334若不等式1 成立，则实数 a 的取值范围是 . A. ，527 B. ，511 C. ，53 D. ，2 ： 与曲线 4 23 ： 顺次相交于 ， 三点，若 ，则k . A. 5 B. 59C. 21D. ， )01( 是椭圆 14 22 的动点，且 0 则 的取值范围是 . A. 132，B. 91， C. 932，D. 336， 满足 ， 322 ， 的面积分别为 1， ，则 221 的取值范围是 . A. 141238 ， B. 381238 ， C. 1412， D. 2812， 二、填空题： 本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在答题卡相应位置。 z 满足 ，)1( 则 z 在复平面内对应的点在第 象限 . 2()(12)( 2 ， 是奇函数，则 . ，： 00(12222 C 的一个顶点为圆心， a 为半径的圆被 C 截得劣弧长为 则双曲线 C 的离心率为 . 边长为 34 ， 分别为 的中点，沿 折成直二面角，则四棱锥 的外接球的表面积为 . 三、解答题： 本大题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。 17. （本小题满分 12 分）已知等比数列 n 项和为3513 8,14, n ，数列 n 项和为1 lo g, . （ 1）求数列 （ 2）求18.（本小题满分 12 分）如图，等腰梯形 底角 A 等于 60 ，其外接圆圆心 O 在边 ，直角梯形 所在平面， 42,90 D 且 （ 1）证明：平面 面 ； （ 2）若二面角 的体积。，求多面体的平面角等于 P Q A B C 45 19.（本小题满分 12 分） 2015年 7月 31 日，国际奥委会在吉隆坡正式宣布 2022年奥林匹克冬季运动会（简称冬奥会）在北京和张家口两个城市举办，某中学为了普及冬奥会知识，举行了一次奥运会知识竞赛，随机抽取 20 名学生的成绩（满分为 100 分）如下： 男生： 93 91 90 86 83 80 76 69 67 65 女生： 96 87 85 83 79 78 77 74 73 68 （ 1）根据两组数据完成男、女生成绩的茎叶图，并比较男、女生成绩的平均值及分散程度； （ 2）从成绩 80分以上（含 80分）的学生中抽取 4人，要求 4人中必须既有男生又有女生，用 人中男生与女生人数的差，求 20.（本小题满 分 12 分） 已 知 直 线 点，轴交于与： 21 022022 轴与 于 的外接圆是点，圆交于与 A B 21 。 （ 1）判断 面积的最小值；的形状并求圆 D （ 2） 若 是使得线上是否存在点的公共点，问：在抛物与圆是抛物线 是等腰三角形？若存在，求点 不存在，请说明理由 . 21.（本小题满分 12 分）设函数 处的切线方程为在曲线 )(,1()(, x 11 211 （ . （ 1）求 ； （ 2）求证： 221)( 22.（本小题满分 10 分）选修 4何证明选讲 如图， 的切线外接圆是的中线和高线，分别是 , ，的交点。与圆是点 （ 1）求证： ； （ 2）求证： 平分 。 23.（本小题满分 10 分）选修 4标系与参数方程 在平面直角坐标系 ,02 22 o y 的方程为中，曲线 以原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 ）（的极坐标方程为 4。 （ 1） 写出 C 的极坐标方程，并求 的极坐标；的交点与 （ 2） 设 面积的最大值。上的动点，求是椭圆 13 22 24.（本小题满分 10 分）选修 4等式选讲 已知函数 |3|)( （ 1） 求不等式 的解集；|1|2)( （ 2） 已知 6)()(,211, 证且. 厦门市 2016 届高中毕业班质量检查 理科 )参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 1 6 11 在 ， 222 2 c o s 1 6 8 3 c o A B A D A B A D A A ， 在 ， 2 2 2 2 c o s 8 8 c o B C C D B C C D C C ， 所以 3 c o s c o s 1， 2 2 2 2 2 2 2 2 21211s i n 1 2 1 2 c o s , s i n 4 4 c o s ,44S A B A D A A S B C C D C C 22 2 2 2 2 212 1 2 1 2 c o s 4 4 c o s 1 6 4 c o s 1 4 c o s 8 c o s 8 c o s 1 2S S A C C C C C 因为 2 3 2 4 ，所以 28 8 c o s 1 6 8 3 , 1 6C B D ， 解得 1 c o s 3 1C ，所以 2 2 212 8 c o s 8 c o s 1 2 8 3 1 2 , 1 4S S C C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 二 14. 1 15. 2 10516. 52 3，取 中点 E ，则 E 是等腰梯形 接圆圆心。 心，作 平面 平面 则 O 是四棱锥 A 的外接球的 球心，且 32O F D E A F ， 棱锥 A 的外接球半径 R ，则2 2 2 13R A F O F ，所以 表面积 是 52 . 三、解答题：本大题共 6小题，共 70 分 . 17. 本小题考查等比数列的通项公式、前 n 项和公式、基本性质及求数列前 n 项和， 考查运 算求解能力 ， 考查化归与转化思想满分 12 分 解法一： （） 21 5 3 38 , 0na a a a a Q， 1 分 3 8a， 2 分 又 3 1 2 8 1 4S a a ，12 288 6aa ， 3 分 解得 2q 或 23q（舍去） , 5 分 所以 33 2a q . 6 分 （）1 2 2l o g l o g 2 nn n nb b a n Q, 8 分 2 1 2 3 4 2 1 2( ) ( ) ( )n n nT b b b b b b L 10 分 1 3 ( 2 1 )n L 11 分 2n . 12 分 解法二： （）由已知得 21218(1 ) 1 4q q ， 2 分 解得 1 22或 1 1823 （舍去）， 4 分 1 2a q . 6 分 （ ）同解法一 . 18. 本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面 、平面与平面 的位置关系及 二面角 平面角等基础知识，考 查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等满分 12 分 解法一： （）证明：由题可知 D ， 1 分 梯形 直于圆 O 所在的平面 , 90o ， 平面 , D ， 2 分 又 ,B D P D D A BI 平面 3 分 A B A B Q 平 面 ， A B Q P B D平 面 平 面 4 分 （）如图，过点 B 作射线 ,D P B A B D B Z， ，两两垂直 . 以 B 为原点 , B A B D B Z， ， 所在直线分别为 ,建立坐标系 , 设 PD h ，则 ( 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , 2 3 , 0 ) , ( 0 , 2 3 , ) , C ( 1 , 3 , 0 )B D P h , 从而( 1 3 0) , ( 0 , 2 3 , )C B P h ， 5 分 设面 一个法向量为(x )n y zr ， ， 0,0,n B P r 3 0 ,2 3 0 ,h z 取 1y ，则23( 3 1 )n hr ， ， 7 分 由（ 1）已证 平面 则平面 一个法向量为 (2 0 0)BA ， ， 8 分 22 3 2c o s ,21224n B r u u u u u u 得 6h ， 9 分 多面体 由三棱锥 P 和四棱锥 B 构成的组合体， 1 2 6 4 34 3 2 23 2 3B A D P ， 11 分 1 3 6 23P B C ， 多面体 体积 43323V . 12 分 解法二 : （）同解法一 . （）如图，在平面 A B C D O A D O 点 作 的 垂 线 ， 过 O 作射线 , ,D 两两垂直 . 以 O 为原点 , ,D 在直线分别为 x y z， ， 轴建立坐标系 , 设 PD h ,则 ( 3 , 1 , 0 ) , ( 0 , 2 , 0 ) , ( 0 , 2 , ) , C ( 3 , 1 , 0 )B D P h , 从而( 0 2 0) , ( 3 , 3 , )C B P h， 5 分 设面 法向量为()n y zr ， ， 0, P r 2 0 ,3 3 0 ,y x y h z 取 1x 则3(1 0 )n hr ， ， 7 分 平面 法向量为 ( 3 1 0 ) ， , 8 分 o s ,2321n B r u u u u u u 得 6h , 9 分 下同解法一 . 解法三 : （）同解法一 . （）取 点 E ,过 E 作 直于 线段 点 F , 连接 ,F , 5 分 可证 C E P B D 平 面 , E , 又 ,B E EI , P B C E F 平 面 , F , 6 分 为二面角 D 的平面角 , 7 分 即 45， 1E, 由 ，可求得 6. 9 分 以下同解法一 . 19. 本小题主要考查 茎叶图的画法和理解， 古典概型 ， 随机变量的数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想 满分 12 分 解：（ ）茎叶图如图所示 . 2 分 男生的平均成绩为 1 ( 3 9 0 3 8 0 7 0 3 6 0 1 3 3 6 6 5 7 9 ) 8 010x ， 女生的平均成绩为 1 ( 9 0 3 8 0 5 7 0 6 0 6 7 5 3 9 8 7 4 3 8 ) 8 010y ， 所以男、女生的平均成绩一样 . 5 分 由茎叶图可以看出，男生的成绩比较分散，女生的成绩比较集中 . 6 分 （ ）成绩在 80 分以上（包括 80 分）的学生共有 10 人，其中男生 6 人，女生 4 人， X 的所有可能取值为 2， 0， 2， 7 分 13641 3 2 2 3 16 4 6 4 6 412( 2 )97 C C C C ， 8 分 22641 3 2 2 3 16 4 6 4 6 445( 0 )97 C C C C ， 9 分 31641 3 2 2 3 16 4 6 4 6 440( 2 )97 C C C C ， 10 分 所以 1 2 4 5 4 0 5 6( ) 2 0 29 7 9 7 9 7 9 7 . 12 分 含参直线方程的理解， 抛物线的基础知识，探究存在性问题，考查学生的数学思维能力及逻辑运算能力，考查数形结合、函数方程、分类与整合的数学思想 . 满分 12 分 . 解：（）由于12所以 是直角 三角形， 1 分 A(0， 2m+2),B(20）， D(2,2)， 2 分 则 外接圆圆心直径是 2 28 ( 1)A B m， 3 分 要使 外接圆 C 面积最小，则 2，当且仅当 m=0 时成立， 4 分 所以外接圆 C 面积的最 小值为 2 . 5 分 （ ）由 D（ 2,2）点在抛 物线 2 2x 上，则 2 2， 6 分 圆 C 过原点，则抛物线与圆的公共点是 D(2， 2),E(0， 0)， 7 分 假设存在点 , ) 2002 （ 1） 当 底时， 点 Q（ 1,1）， 垂线方程： y=,代入抛物线 2 2 得： 2 2 4 0 ， 20 0 ，所以存在两个满足条件的 P 点 . 8 分 （ 2）当 底时， 点 M 00( , )22 即 3000 0 0 0( 2 ) ( 2 ) 0 , 4 1 6 022y x x ， 9 分 设 32( ) 4 1 6 , ( ) 3 4f x x x f x x ， 则 ()3( , )3 ， 23( , )3 递增，在 2 3 2 3( , )33递减， 因为 23( ) 0 , ( 0 ) 1 6 03 ， ( 3 ) 1 0 , ( 4 ) 3 2 0 ， 所以 ()3,4)有唯一零点，存在一个满足条件的 10 分 （ 3）当 底时， 点 N 00( 1, 1)22，则 00( 1 , 1 )22 00( 2 , 2 )D P x y 0P 即 0000( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) 022 ， 所以 2 2 20 0 04 4 4( ) ( ) ( ) 02 4 2x x x ，则 20 40x 或 20 80x ， 只有 1解0 2x . 11 分 综上所述：以上零点不重复，共有 4个满足条件的 12 分 若只画出以上三图，说明 为底或腰的 等腰三角形有 4 个，最多给 2 分，若不完整给 1 分；若只有结果 4 个等腰三角形，给 1 分 21. 本 小 题主要考查学生利用导数研究函数的单调性、解决与不等式有关的参数范围和证明问题；考查运算求解能力、推理论证能力，创新意识；考查函数与方程、转化与化归思想，分类与整合思想 满分 12 分 解法一： （） 依题意 0, ， 1 l n xf x a x b e ， 1 分 111 , 1 1f e f e ， 解得 1a ， 1b . 3 分 （） 由（ ）知 ln xf x x x e ， l n 1xf x e x ， 设 xg x e x ，则 1 x e x x e ， 4 分 设 xh x e x， 则 1 0xh x e ， 所以 0, 上 单调递增， 所以 0， 0， 所以 0, 上 单调递增， 5 分 又 因为 11 0eg e e ， 22 10eg e e ， 即 120g e g e， 所以 个零点 210 ,x e e； 6 分 即 000l n 1 0xg x e x ， 即 00 ， 7 分 当 00,， 0， 当 0 ,时， 0， 所以 00 0 0 0 0 0l n l n l n 1xf x f x x x e x x x ， 8 分 设 l n l n 1x x x x ， 因为 21,x e e ， 所以 1 1 l n 1 2 0x x ， 10 分 所以 x 在 21,上单调递 增 ，所以 220 12x e e ， 所以 200 12f x f x x e ， 综上可知， 212f x e 12 分 解法 二： （） 同解法一； （） 由（ ）知 ln xf x x x e ， l n 1xf x e x ， 设 xg x e x ，则 1 x e x x e ， 4 分 设 xh x e x， 则 1 0xh x e ， 所以 0, 上 单调递增， 所以 0，所 以 0， 所以 0, 上 单调递增， 5 分 又 因 为 11 0eg e e ， 22 10eg e e ， 即 120g e g e， 所以 个零点 210 ,x e e； 6 分 即 000l n 1 0xg x e x ， 即 00 ， 7 分 且当 00,， 0， 当 0 ,时， 0， 所以 00 0 0 0 0 0l n l n l n 1xf x f x x x e x x x ， 8 分 设 l n l n 1x x x x ， 因为 21,x e e ， 所以 1 1 l n , 设 11 l n ,u x 则 221 1 1,x x x 所以 当 0,1x 时， 0， 当 1,x 时， 0， 所以 1 2 0u x u ， 即 0x 10 分 所以 x 在 21,上单调递 增 ， 则 220 12x e e ， 所以 200 12f x f x x e ，即 212f x e 12 分 22. 本小题考查相似三角形、圆心与半径、切割线、角平分线等基础知识，考查 推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想 . 满分 10 分 解： ( ) 由 圆 O 切线，知 C A F D C P , 1 分 圆 O 的切线， D 为 点， O ,D , P 三点共线，且 C , 2 分 90A F C C D P ， A F C C D P , 3 分 P,即 A C C D A F C P . 4 分 ( ) B ， D 为 点， 12F D B C D C D B ， D F B D B F ， 5 分 P，于是 P， 6 分 又 1