5-5-1质数合数分解质因数_题库学生版

解质因数 学生 版 本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及，并且多以判断题考察。质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式，但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。 分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。 1 质数与合数 一个数除了 1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数 (也叫做素数 )和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数 . 要特别记住： 0和 1不是质数，也不是合数 . 常用的 100以内的质数： 2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19、 23、 29、 31、 37、 41、 43、 47、 53、 59、 61、67、 71、 73、 79、 83、 89、 97，共计 25个；除了 2其余的质数都是奇数；除了 2和 5，其余的质数个位数字只能是 1， 3， 7或 9. 考点： 值得注意的是很多题都会以质数 2的特殊性为考点 . 除了 2和 5，其余质数个位数字只能是 1， 3， 7或 要大家注意 . 2 质因数与分解质因数 质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数 . 互质数：公约数只有 1的两个自然数，叫做互质数 . 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数 . 例如： 30 2 3 5 、 3、 5 叫做 30 的质因数 1 2 2 2 3 2 3 ， 2、 3都叫做 12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式 为这样可以帮助我们分析数字的特征 . 3 唯一分解定理 任何一个大于 1的自然数 ： 3121 2 3 kn p p p p 2 ka a a 且这种表示是唯一的 例如：三个连续自然数的乘积是 210，求这三个数 . 分析： 210=2357， 可知这三个数是 5、 6和 7. 教学目标 知识点拨 5数合数分解质因数 解质因数 学生 版 4. 部分特殊数的分解 111 3 37 ； 1001 7 11 13 ； 11111 41 271 ； 10001 73 137 ； 1 9 9 5 3 5 7 1 9 ； 1 9 9 8 2 3 3 3 3 7 ；2 0 0 7 3 3 2 2 3 ； 2 0 0 8 2 2 2 2 5 1 ； 1 0 1 0 1 3 7 1 3 3 7 . 5. 判断一个数是否为质数的方法 根据定义如果能够找到一个小于 q(均为整数 )，使得 p，那么 以我们只要拿所有小于 是这样的计算量很大，对于不太大的 p，我们可以先找一个大于且接近 p 的平方数 2K ，再列出所有不大于 K 的质数，用这些质数去除 p，如没有能够除尽的那么 例如： 149很接近 144 12 12 ，根据整除的性质 149不能被 2、 3、 5、 7、 11 整除，所以 149是质数 . 模块一、 质数合数 的基本概念 的应用 【例 1】 下面是主试委员会为第六届 “ 华杯赛 ” 写的一首诗： 美少年华朋会友，幼长相亲同切磋； 杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多； 九天九霄志凌云，九七共庆手相握； 聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌 请你将诗中 56 个字第 1 行左边第一字起逐行逐字编为 156 号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话 【巩固】 (2008 年南京市青少年 “ 科学小博士 ” 思维训练 )炎黄骄子 菲尔兹奖被誉为 “ 数学界的诺贝尔奖 ” ，只奖励 40 岁以下的数学家华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于 1982 年、 2006 年荣获此奖我们知道正整数中有无穷多个质数 (素数 )，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数 k，存在无穷多组含有 k 个等间隔质数 (素数 )的数组例如， 3k 时， 3， 5， 7 是间隔为 2 的 3 个质数； 5， 11， 17 是间隔为 6 的 3 个质数：而 ， ， 是间隔为 12 的 3 个质数 (由小到大排列，只写一组 3 个质数即可 ) 【巩固】 (2003 年 “ 祖冲之杯 ” 邀请赛 )大约 1500 年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出 的值在 间，成为世界上第一个把 的值精确到 7 位小数的人现代人利用计算机已经将 的值计算到了小数点后 515 亿位以上这些数排列既无序又无规律但是细心的同学发现：由左起的第一位 3 是质数， 31 也是质数，但 314 不是质数，在 3141， 31415， 314159， 3141592， 31415926，31415927 中 恰有一个 是质数 ，是哪个？ 【巩固】 (2004 年全国小学奥林匹克 )自然数 N 是一个两位数，它是一个质数，而且 N 的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？ 【例 2】 两个质数之和为 39 ，求这两个质数的乘积是多少 . 【解析】 因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是 2 ，另一个是 37 ，乘积为 74 例题精讲 解质因数 学生 版 【巩固】 如果 a， b 均为质数，且 3 7 41，则 _. 【巩固】 A， B， C 为 3 个小于 20 的质数， 30A B C ，求这三个质数 . 【巩固】 已知 3 个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这 3 个质数的乘积是多少？ 【巩固】 小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数同时，她感到这个号码很容易记住，因为它的形式为 其中 ，而且 是质数 (a 和 b 是两个数字 )具有这种形式的数共有多少个？ 【例 3】 (“ 祖冲之杯 ” 小学数学邀请赛 )九九重阳节，一批老人决定分乘若干辆至多可乘 32 人的大巴前去参观兵马俑如果打算每辆车坐 22 个人，就会有 1 个人没有座位；如果少开一辆车，那么，这批老人刚好平均分乘余下的大巴那么有多少个老人？原有多少辆大巴？ 【巩固】 (俄罗斯数学奥林匹克 )万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？ 【巩固】 (第五届 “ 华杯赛 ” 口试第 15 题 )图中圆圈内依次写出了前 25 个质数；甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计算相邻二质数之积填在下行方格中 问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同 ?为什么 ? 【巩固】 (全国小学数学奥林匹克 )从 1 9 中选出 8 个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是多少？ 【巩固】 (保良局亚洲区城市小学数学邀请赛 )用 L 表示所有被 3 除余 1 的全体正整数如果 L 中的数 (1不算 )除 1 及它本身以外，不能被 L 的任何数整除，称此数为 “L质数 ”问：第 8 个 “L质数 ”是什么？ 质数列乙填 “ 积数 ”甲填 “ 和数 ”978913117532351561285. . . . . . . . . . . . . 解质因数 学生 版 【例 4】 9 个连续的自然数，每个数都大于 80，那么其中最多有多少个质数？请列举 和最小的 一组 【巩固】 (我爱数学少年数学夏令营 )用 0， 1， 2， ， 9 这 10 个数字组成 6 个质数，每个数字至多用 1 次，每个质数都不大于 500，那么共有多少种不同的组成 6 个质数的方法请将所有方法都列出来 【巩固】 从小到大写出 5 个质数，使后面数都比前面的数大 12。 这样的数有几组？ 【例 5】 用 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 这 9 个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这 9 个数字最多能组成多少个质数 . 【巩固】 有三张卡片，它们上面各写着数字 1， 2， 3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来 . 【巩固】 某质数加 6 或减 6 得到的数仍是质数，在 50 以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来 . 【例 6】 7 个连续质数从大到小排列是 a、 b、 c、 d、 e、 f、 g。 已知它们的和是偶数，那么 d 是多少？ 【巩固】 从 20 以内的质数中选出 6 个，然后把这 6 个数分别写在正方体木块的 6 个面上，并且使得相对两个面的数的和都相等 上的三个面的三个数之和可能有多少种不同的值？ 【巩固】 将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质，那么 A 最小是几？ A=（ ） +（ ） =（ ） +（ ） =（ ） +（ ） =（ ） +（ ） 【巩固】 4 只同样的瓶子内分别装有一定数量的油每瓶和其他各瓶分别合称一次，记录千克数如下： 8，9， 10， 11， 12， 13已知 4 只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内有多少油？ 【例 7】 将 60 拆成 10 个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少 【巩固】 将 50 分拆成 10 个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大的质数是多少？ 解质因数 学生 版 【巩固】 将 37 拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小 ？ 【巩固】 如果一个数不能表示为三个不同合数的和，那么我们称这样的数为智康数，那么最大的智康数是几？ 模块二、 分解质因数 【例 8】 两个连续奇数的乘积是 111555，这两个奇数之和是多少 ? 【巩固】 三个连续自然数的乘积是 210 ，求这三个数是多少 ？ 【巩固】 把 26， 33， 34， 35， 63， 85， 91， 143 分成若干组，要求每组中任意两个数的最大公约数是 1，那么至少要分几组 . 【巩固】 把 40， 44， 45， 63， 65， 78， 99， 105 这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等。 【例 9】 4 个一位数的乘积是 360，并且其中只有一个是合数，那么在这 4 个数字所组成的四位数中，最大的一个是多少？ 【巩固】 将 1 9 九个自然数分成三组，每组三个数 8，第二组三个数的乘积是45，第三组三个数字之和最大是多少？ 【例 10】 在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是 209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少 ? 【巩固】 一个长方体的长、宽、高是连续的 3 个自然数，它的体积是 39270 立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米 ? 解质因数 学生 版 【巩固】 一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是 1998 立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米 ? 【例 11】 （老师可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？）大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年龄一个比一个大 2 岁，他们四个人年龄的乘积是 48384 。问他们四个人的年龄各是几岁 ？ 【巩固】 甲乙两人的年龄和为一个质数，这个数的个位与十位数字的和是 13，甲比乙大 13 岁，那么乙今年多大？ 【例 12】 甲数比乙数大 5 ，乙数比丙数大 5 ，三个数的乘积是 6384 ，求这三个数 ？ 【巩固】 如果两数的和是 64，两数的积可以整除 4875，那么这两个数的差等于多少？ 【巩固】 四个连续自然数的乘积是 3024，这四个自然数中最大的一个是多少？ 【巩固】 2004 7 20 的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和最小是多少？ 【巩固】 三个质数的乘积恰好等于它们和的 11 倍，求这三个质数 . 【巩固】 三个质数的乘积恰好等于它们的和的 7 倍，求这三个质数 【例 13】 3 个 质数 的倒数之和是 16611986，则这 3 个质数之和为多少 解质因数 学生 版 【巩固】 有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是 140如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？ 【巩固】 一个分数，分母是 901 ，分子是一个质数现在有下面两种方法： 分子和分母各加一个相同的一位数； 分子和分母各减一个相同的一位数用其中一种方法组成一个新分数，新分数约分后是 713那么原来分数的分子是多少 【例 14】 在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字 5 看成 8，由此得乘积为1872那么原来的乘积是多少 ? 【巩固】 某校师生为贫困地区捐款 1995 元这个学校共有 35 名教师， 14 个教学班各班学生人数相同且多于 30 人不超过 45 人如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元 ? 【例 15】 在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是 “ 0” (脱靶 )，或者是不超过 10 的自然数甲、乙两名运动员各射了 5 箭，每人 5 箭得到的环数的积都是 1764，但是甲的总环数比乙少 4 环求甲、乙的总环数各是多少 ？ 【巩固】 已知 5 个人都属牛，它们年龄的乘积是 589225，那么他们年龄的和为多少？ 模块三、 质数合数综合型题目 【例 16】 P 是质数， 10P ， 14P ， 210P 都是质数求 P 是多少？ 【巩固】 已知 P 是质数， 2 1P 也是质数，求 5 1997P 是多少？ 【例 17】 有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有 13 种。那么所有这样的自然数中最小的一个是多少 解质因数 学生 版 【巩固】 如果一些不同质数的平均数是 21，那么这些质数中最大的一个可能是多少？ 【巩固】 求 1不能表示成两个合数的乘积再加一个合数的最大数是多少？ 【例 18】 已知 P， Q 都是质数，并且 1 1 9 3 2 0 0 3 ，则 = 【巩固】 将 1 到 9 这 9 个数字在算式 1的每一个括号内各填入一个数字，使得算式成立，并且要求所填每一个括号内