解析几何-存在性问题(含答案)

1 9 解析几何解析几何 存在性问题存在性问题 1 已知椭圆 1 C 22 22 1 0 xy ab ab 的离心率为 6 3 e 过 1 C 的左焦点 1 F 的直线 20l xy 被 圆 222 2 3 3 0 Cxyrr 截得的弦长为2 2 求椭圆 1 C 的方程 设 1 C 的右焦点为 2 F 在圆 2 C 上是否存在点P 满足 2 12 2 a PFPF b 若存在 指出有几个这样的点 不必求出点的坐标 若不存在 说明理由 解解 1 因为直线l的方程为 20l xy 令 0y 得 2x 即 1 2 0 F 1 分 2c 又 6 3 c e a 2 6a 222 2bac 椭圆 1 C 的方程为 22 1 1 62 xy C 分 2 存在点 P 满足 2 12 2 a PFPF b 圆心 2 3 3 C 到直线 20l xy 的距离为 332 2 2 d 又直线 20l xy 被圆 22 2 66310Cxyxym 截得的弦长为2 2 由垂径定理得 22 222 2 l rd 故圆 2 C 的方程为 22 2 3 3 4Cxy 分 设圆 2 C 上存在点 P x y 满足 2 12 2 a PFPF b 即 12 3PFPF 且 12 F F 的坐标为 12 2 0 2 0 FF 则 2222 2 3 2 xyxy 整理得 22 59 24 xy 它表示圆心在 5 0 2 C 半径是 3 2的圆 22 2 537 3 30 22 CC 分 故有 2 33 22 22 CC 即圆C与圆 2 C 相交 有两个公共点 圆 2 C 上存在两个不同点P 满足 2 12 2 a PFPF b 分 2 9 2 平面直角坐标系xOy中 椭圆 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 的离心率为 3 6 焦点为 1 F 2 F 直线 l 02 yx经过焦点 2 F 并与 相交于A B两点 求 的方程 在 上是否存在C D两点 满足ABCD DFCF 11 若存在 求直线CD的方程 若不存在 说明理由 解 依题意 0 2 2 F 2 c 2 分 由 3 6 a c e得6 a 3 分 2 22 cab 椭圆 的方程为1 26 22 yx 4 分 方法一 方法一 若存在满足条件的直线CD ABCD 1 ABCD kk 设直线CD的方程为 mxy 5 分 由 mxy yx 1 26 22 6 分 得06 3 22 mxx 7 分 0 63 64 22 mmxx 01296 63 44 6 222 mmm 设 11 yxC 22 yxD 则 2 3 21 m xx 4 63 2 21 m xx 9 分 由已知DFCF 11 若线段CD的中点为E 则CDEF 1 1 1 1 CD EF k k 10 分 0 2 1 F 2 2 2121 yyxx E 即 4 4 3 mm E 由1 2 4 3 4 1 m m k EF 解得4 m 13 分 4 m时 0961296 2 m 与 矛盾 不存在满足条件的直线CD 14 分 方法二 方法二 假设存在 11 yxC 22 yxD 线段CD的中点为 00 yxE 则 2 y y 2 21 0 21 0 yxx x 1 21 21 xx yy 5 分 由 1 26 1 26 2 2 2 2 2 1 2 1 yx yx 两式相减得 0 2 1 6 1 21212121 yyyyxxxx 7 分 代入 化简得 0 3 1 00 yx 由已知DFCF 11 则CDEF 1 1 1 1 CD EF k k 9 分 由1 2 0 0 1 x y k EF 得 2 00 xy 由 解得1 3 00 yx 即 1 3 E 11 分 直线 CD 的方程为 4 xy 联立 4 1 26 22 xy yx 得 042244 2 xx 13 分 0964244242 方程 组 无解 不存在满足条件的直线CD 14 分 3 9 3 在平面直角坐标系中 O 为坐标原点 已知两点 若点 C 满足 1 5 3 1 NM 点 C 的轨迹与抛物线 交于 A B 两点 1 RtONtOMtOC xy4 2 1 求证 OBOA 2 在 x 轴上是否存在一点使得过点 P 直线交抛物线于 D E 两点 并以该弦 DE 为直径的圆都 0 mP 过原点 若存在 请求出 m 的值及圆心的轨迹方程 若不存在 请说明理由 解 1 由知点 C 的轨迹是 M N 两点所在的直线 1 RtONtOMtOC 故点 C 的轨迹方程是 即 1 4 3 1 3 xy4 xy 由 xy xy 4 4 2 016124 4 22 xxxx16 21 xx12 21 xx 故 6 分1616 4 4 4 212121 xxxxxxyy0 2121 yyxx OBOA 2 法一 存在点 满足条件 0 4 P 证明如下 由题意知 弦所在的直线的斜率不为零 设弦所在的直线方程为 代入得4 kyxxy 2 0164 2 kyy kyy4 21 16 21 yy OBOA kk1 16 1616 44 21 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 yyy y y y x y x y 故以 AB 为直径的圆都过原点 10 分OBOA 法二 若存在这样的点 P 满足条件 设 2211 yxEyxD 则有得又 0 2121 yyxx 16 21 yy 11 ymxPD 22 ymxPE 由 D P E 三点共线可得0 4 21122211 yymyymxyymx 当时 此时 可验证当且时也符合条件 21 y y 4 m 0 4 P 0 4 P 21 yy 所以存在点满足条件 设弦 AB 的中点为 0 4 P yxM 则 2 1 21 xxx 2 1 21 yyy 848 4 8 44 2 212121 kkkyykkykyxx 弦 AB 的中点 M 的轨迹方程为 消去 k 得 ky kx 2 42 2 8 2 2 xy 4 9 4 设点 分别是椭圆 0 1 cF 0 2 cF 1 1 2 2 2 ay a x C 的左 右焦点 为椭圆上任意一点 且最小值为 PC 12 PF PF uuu r uuu r 0 1 求椭圆的方程 C 2 若动直线均与椭圆相切 且 试探究在轴上是否存在定点 点到的距离之 12 l lC 12 llxBB 12 l l 积恒为 1 若存在 请求出点坐标 B 若不存在 请说明理由 解 1 设 则有 1 分 yxP 1 ycxPF 2 ycxPF 2 分 aaxcx a a cyxPFPF 1 1 22 2 2 222 21 由最小值为得 3 分 12 PF PF uuu r uuu r 02101 22 acc 椭圆的方程为 4 分C1 2 2 2 y x 2 当直线斜率存在时 设其方程为 5 分 12 l l ykxm ykxn 把的方程代入椭圆方程得 1 l 222 12 4220kxmkxm 直线与椭圆相切 化简得 1 lC 2222 164 12 22 0k mkm 同理 8 分 22 12mk 22 12nk 若 则重合 不合题意 9 分 22 mn mn 12 l lmn 设在轴上存在点 点到直线的距离之积为 1 则x 0 B tB 12 l l 即 10 分 22 1 11 ktmktm kk 2 222 1k tmk 把代入并去绝对值整理 22 12km 或者 22 3 2kt 22 1 0kt 前式显然不恒成立 而要使得后式对任意的恒成立kR 则 解得 12 分 2 10t 1t 当直线斜率不存在时 其方程为和 13 分 12 l l2x 2x 定点到直线的距离之积为 1 0 12 l l 21 21 1 定点到直线的距离之积为 1 0 12 l l 21 21 1 综上所述 满足题意的定点为或 14 分B 1 0 1 0 5 9 5 已知椭圆C 22 22 1 xy ab 0ab 的左 右焦点分别为 1 F1 0 2 F 1 0 且经过定点 3 1 2 00 xy 为椭圆C上的动点 以点 为圆心 2 F 为半径作圆 1求椭圆C的方程 2若圆 与y轴有两个不同交点 求点 横坐标 0 x的取值范围 3是否存在定圆 使得圆 与圆 恒相切 若存在 求出定圆 的方程 若不存在 请说明理由 解 1由椭圆定义得 12 2 PFPFa 1 分 即 22 223353 21 11 14 2222 a 2 分 2a 又1 c 222 3bac 3 分 故椭圆C的方程为 22 1 43 xy 4 分 2圆心 00 M xy到y轴距离 0 dx 圆M的半径 2 2 00 1 rxy 若圆M与y轴有两个不同交点 则有 rd 即 2 2 000 1 xyx 化简得 2 00 210 yx 6 分 点M在椭圆C上 22 00 3 3 4 yx 代入以上不等式得 2 00 38160 xx 解得 0 4 4 3 x 8 分 又 0 22 x 0 4 2 3 x 即点M横坐标的取值范围是 4 2 3 9 分 3存在定圆 2 2 116 Nxy与圆M恒相切 其中定圆N的圆心为椭圆的左焦点 1 F 半径为椭圆 C的长轴长 4 12 分 由椭圆定义知 12 24 MFMFa 即 12 4MFMF 圆N与圆M恒内切 14 分 6 9 6 已知椭圆 1 C的中心在坐标原点 两个焦点分别为 1 2 0 F 2 F 2 0 点 2 3 A在椭圆 1 C 上 过 点A的直线L与抛物线 2 2 4Cxy 交于B C 两点 抛物线 2 C在点B C 处的切线分别为 12 l l 且 1 l与 2 l交于点P 1 求椭圆 1 C的方程 2 是否存在满足 1212 PFPFAFAF 的点P 若存在 指出这样的点P有几个 不必求出点P的 坐标 若不存在 说明理由 1 椭圆 1 C的方程为 22 1 1612 xy 3 分 2 解法解法 1 设点 4 1 2 11 xxB 4 1 2 22 xxC 则 4 1 2 1 2 212 xxxxBC 4 1 3 2 2 11 xxBA CBA 三点共线 BCBA 4 分 222 211211 11 32 44 xxxxxx 化简得 1212 212xxx x 5 分 由 2 4xy 即 2 1 4 yx 得y 1 2 x 6 分 抛物线 2 C在点B处的切线 1 l的方程为 24 1 1 12 1 xx x xy 即 2 1 1 4 1 2 xx x y 同理 抛物线 2 C在点C处的切线 2 l的方程为 2 2 2 4 1 2 xx x y 8 分 设点 yxP 由 得 2 1 1 4 1 2 xx x 2 2 2 4 1 2 xx x 而 21 xx 则 2 1 21 xxx 9 分 代入 得 21 4 1 xxy 则 21 2xxx 21 4xxy 代入 得 1244 yx 即点P的轨迹方程为3 xy 11 分 若 1212 PFPFAFAF 则点P在椭圆 1 C上 而点P又在直线3 xy上 12 分 直线3 xy经过椭圆 1 C内一点 3 0 直线3 xy与椭圆 1 C交于两点 13 分 满足条件 1212 PFPFAFAF 的点P有两个 14 分 解法解法 2 设点 11 yxB 22 yxC 00 yxP 由 2 4xy 即 2 1 4 yx 得y 1 2 x 4 分 7 9 抛物线 2 C在点B处的切线 1 l的方程为 2 1 1 1 xx x yy 即 2 11 1 2 1 2 xyx x y 5 分 2 11 4 1 xy 1 1 2 yx x y 点 00 yxP在切线 1 l上 10 1 0 2 yx x y 6 分 同理 20 2 0 2 yx x y 综合 得 点 2211 yxCyxB的坐标都满足方程 yx x y 00 2 经过 2211 yxCyxB的直线是唯一的 直线L的方程为yx x y 00 2 9 分 点 3 2 A在直线L上 3 00 xy 点P的轨迹方程为3 xy 11 分 若 1212 PFPFAFAF 则点P在椭圆 1 C上 又在直线3 xy上 12 分 直线3 xy经过椭圆 1 C内一点 3 0 直线3 xy与椭圆 1 C交于两点 13 分 满足条件 1212 PFPFAFAF 的点P有两个 14分 解法解法3 显然直线L的斜率存在 设直线L的方程为 23ykx 由 2 23 4 yk x xy 消去y 得 2 48120 xkxk 4分 设 1122 B xyC xy 则 1212 4812xxk x xk 5分 由 2 4xy 即 2 1 4 yx 得y 1 2 x 6 分 抛物线 2 C在点B处的切线 1 l的方程为 2 1 1 1 xx x yy 即 2 11 1 2 1 2 xyx x y 7 分 2 11 4 1 xy 2 1 1 1 24 x yxx 同理 得抛物线 2 C在点C处的切线 2 l的方程为 2 2 2 1 24 x yxx 由 2 1 1 2 2 2 1 24 1 24 x yxx x yxx 解得 12 12 2 2 23 4 xx xk x x yk 223Pkk 10 分 1212 PFPFAFAF 点P在椭圆 22 1 1 1612 xy C 上 11 分 22 223 1 1612 kk 化简得 2 71230kk 由 2 124732280 可得方程 有两个不等的实数根 满足条件的点P有两个 14 分 8 9 7 已知双曲线C的焦点分别为 12 2 2 0 2 2 0 FF 且双曲线C经过点 4 2 2 7 P 1 求双曲线C的方程 2 设 O 为坐标原点 若点 A 在双曲线 C 上 点 B 在直线2x 上 且0 OA OB 是否存在以点 O 为圆心的定圆恒与直线 AB 相切 若存在 求出该圆的方程 若不存在 请说明理由 解 1 解法一 依题意知双曲线 C 的焦点在 x 轴 设其方程为 22 22 1 0 0 xy ab ab 点 4 2 2 7 P在双曲线 C 上 12 2 aPFPF 2222 6 2 2 7 2 2 2 7 4 2a 3 分 又2 2c 222 4bca 所求双曲线 C 的方程为 22 1 44 xy 4 分 解法二 依题意知双曲线 C 的焦点在 x 轴 设其方程为 22 22 1 0 0 xy ab ab 1 分 点 4 2 2 7 P在双曲线 C 上 22 3228 1 ab 又 22 8ba 代入 去分母整理得 42 6832 80aa 又ac 解得 2 4 a 2 4b 3 分 所求双曲线 C 的方程为 22 1 44 xy 4 分 2 设点 A B 的坐标分别为 00 xy 2 t 其中 0 2x 或 0 2x 5 分