解析几何学年论文

求点到空间直线距离的八种方法 张玉婷 20091105757 数学科学学院 信息与计算科学专业 2009 级信息一班 指导教师 郭芳 摘 要 本文主要研究解析几何中点到空间直线的距离求法 此文主要介绍了其中八 种解题方法 关键词 点 直线 距离 向量 解法 八种方法的论述及例题求解 解法一 公式法 如图 1 在空间直角坐标系下给定空间一点 M1 x1 y1 z1 与直线 l 这里 M0 x0 y0 z0 为直线 l 上的一点 X Y Z 为 Z zz Y yy X xx000 v 直线 l 的方向矢量 我们考虑以和失量为两边构成的平行四边形 这v 10MM 个平行四边形的面积等于 显然点 M1到 l 的距离 d 就是这平 01MMV 行四边形的对应于以为底的高因此我们有v d V V MM01 222 2 0101 2 0101 2 0101 XZ z ZYX YYX yyxxxxz ZY zzyy 2 1 例题 求点 M1 3 1 2 到直线 042 01 zyx zyx 解法 一 例解 如图 1 已知直线一般方程化为直线的对称式方程 0 1 x 3 2 y 3 z 所以点 M1 3 1 2 M0 1 2 0 0 3 3 v 2 1 2 利用公式 01MM d V V MM01 222 2 0101 2 0101 2 011 ZYX YX yyxx XZ xxzz ZY zzyyo 222 222 3 3 0 30 12 03 22 33 21 2 2 3 解法二 勾股定理法 如图 2 已知点 M1 x1 y1 z1 M0 x0 y0 z0 可求出 10MM 已知 X Y Z 利用三角函数中的余弦 cos 2 10 10 2 10 2 zzyyxx v 求出最后利用勾股定理 01 01 MM MM V V BM0 BM1 3 d 2 0 2 10 BMMM 2 解法 二 例解 如图 2 已知直线方程 M0 1 1 1 在已知直线上且 0 1 x 3 2 y 3 z 2 0 1 01MM 10MM 5 直线的方向向量为 3 3 0 v v 112 111 kj i j k 3 3 由于 cos 01 01 MM MM V V 18 5 3 3 0 1 0 2 10 1 cos 10 0 MM BM 10 1 cos BM0 10MM 10 1 5 2 1 从而点 3 1 2 到已知直线的距离为 BM1 即 d 2 0 2 10 BMMM 22 2 1 5 2 2 3 2 2 3 解法三 构造平面法 4 构造平面 已知的法向量 0 21nn 1n 2n 求 p 点到两平面的距离 d1 d2 最后 d 22 21dd 3 解法 三 例解 如图 3 已知直线的两个相交平面法向量分别为 1 1 1 1n 2 1 1 0 2n 21nn 1n 2n 即两平面相互垂直而点 M1到两平面的距离分别为 d1 d2 222 1 11 12 1 131 3 1 222 1 1 2 421 1 1 32 6 5 从而 M1到已知直线的距离为 d 22 21dd 22 6 5 3 1 2 2 3 解法四 三角函数法 见图 2 已知 M1 x1 y1 z1 M0 x0 y0 z0 X Y Z v 10MM cos 2 10 10 2 10 2 zzyyxx 01 01 MM MM V V Sin 则 d Sin 2 cos1 10MM 解法 四 例解 5 见图 2 已知直线方程 M1 3 1 2 M0 1 2 0 0 1 x 3 2 y 3 z 2 1 2 0 3 3 cos 01MM v 01 01 MM MM V V 220222 3 3 0212 3 3 0 2 1 2 2 1 Sin d Sin 3 2 cos1 2 2 1 1 2 1 10MM 2 1 2 2 3 解法五 中点法 如图 4 设 M2坐标 x0 Xt y0 Yt z0 Zt 已知点 M1 x1 y1 z1 M0 x0 y0 z0 则 因为 10MM 2 10 10 2 10 2 zzyyxx 21MM 01MM 求出 M2坐标利用中点公式求 B 点 则 d BM1 4 解法 五 例解 如图 4 已知直线方程 M1 3 1 2 M0 1 0 1 x 3 2 y 3 z 2 0 2 1 2 设 M2 1 2 3t 3t 01MM 21MM 2 1 3t 2 3t 21MM 01MM 22 23 31 4 tt 6 222 2 1 2 18 18 9 9 2 tt t1 0 舍 t2 10 2 tt 代入式子得 M2 1 1 3 利用中点公式 B 1 2 03 2 12 2 11 2 3 2 1 即 d BM1 222 2 3 2 2 1 1 13 2 2 3 2 2 3 解法六 垂直法 见图 2 已知 M1 x1 y1 z1 M0 x0 y0 z0 X Y Z v 设 B 点坐标 x0 Xt y0 Yt z0 Zt O 可求出 B 点坐标 最后 BM1 v 利用两点间距离公式则 d BM1 解法 六 例解 见图 2 已知直线方程 M1 3 1 2 M0 1 2 0 0 1 x 3 2 y 3 z 0 3 3 设 B 点坐标 1 2 3t 3t 2 1 v BM1 3t 2 3t O 1 1 3t 3t 2 0 3 3 0 BM1 v 解得 t B 1 利用两点间距离公式得 d 2 1 2 3 2 1 BM1 即 d 222 2 3 2 2 1 1 13 2 2 3 2 2 3 解法七 求点法 见图 2 过 M1点作直线 l 的垂线 则垂足 B 为 x0 y0 z0 代入已知直线 得等式方程 a 又已知直线的方向向量 X Y Z M1 x1 y1 z1 v 而 x1 x0 y1 y0 z1 z0 得式子与 a 1BM v 1BM 联立求出 即 d 1BM BM1 解法 七 例解 见图 2 过 M1点作直线 l 的垂线 设其垂足 B 为 x0 y0 z0 已知直线 7 有 1 042 01 zyx zyx 042 01 000 000 zyx zyx 又已知直线 l 的方向向量 0 3 3 M1 3 1 2 v 而 3 x0 1 y0 2 z0 1BM v 1BM 即 3 1 y0 3 2 z0 0 将与 1 联立解得 x0 y0 z0 1 2 3 2 1 2 即 d 1BM 2 1 2 1 BM1 222 2 1 2 1 2 2 2 3 解法八 最短距离法 见图 2 设 B 点坐标 x0 Xt y0 Yt z0 Zt 已知 M1 x1 y1 z1 则 化简后 t 取得等式的最 BM1 22 10 2 10 10 zZtzyYtyxXtx 小值即为 d 解法 八 例解 见图 2 已知直线方程 M1 3 1 2 0 1 x 3 2 y 3 z 设 B 点坐标 1 2 3t 3t BM1 2