浙江省2012届高三数学调研测试卷 理

用心 爱心 专心1 浙江省浙江省 20122012 年高三调研理科数学测试卷年高三调研理科数学测试卷 选择题部分 共 50 分 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小 题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 设P y y x2 1 x R Q y y 2x x R 则 A PQ B QP C R PQ D Q R P 2 已知 i 是虚数单位 则 12i 1i A B C 3 i D 3 i 3i 2 3 i 2 参考公式 如果事件 A B 互斥 那么 P A B P A P B 如果事件 A B 相互独立 那么 P A B P A P B 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p 那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 Pn k pk 1 p n k k 0 1 2 n Ckn 台体的体积公式 V 3 1 2211 SSSSh 其中 S1 S2分别表示台体的上 下底面积 h 表示台体的高 柱体的体积公式 ShV 其中 S 表示柱体的底面积 h 表示柱体的高 锥体的体积公式 ShV 3 1 其中 S 表示锥体的底面积 h 表示锥体的高 球的表面积公式 S 4 R2 球的体积公式 3 3 4 RV 其中 R 表示球的半径 开始 p 1 n 1 n n 1 P 20 输出 p 结束 第 3 题 是 否 p p n2 用心 爱心 专心2 3 若某程序框图如图所示 则输出的p的值是 A 21 B 26 C 30 D 55 4 若a b都是实数 则 a b 0 是 a2 b2 0 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 5 已知直线l 平面 P 那么过点P且平行于直线l的直线 A 只有一条 不在平面 内 B 有无数条 不一定在平面 内 C 只有一条 且在平面 内 D 有无数条 一定在平面 内 6 若实数x y满足不等式组 则x y的最小值是 240 230 0 xy xy xy A B 3 C 4 D 6 4 3 7 若 1 2x 5 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5 则a0 a1 a3 a5 A 122 B 123 C 243 D 244 8 袋中共有 8 个球 其中 3 个红球 2 个白球 3 个黑球 若从袋中任取 3 个球 则所 取 3 个球中至多有 1 个红球的概率是 A B 9 14 37 56 C D 39 56 5 7 9 如图 在圆O中 若弦AB 3 弦AC 5 则 的值是AO BC A 8 B 1 C 1 D 8 10 如图 有 6 个半径都为 1 的圆 其圆心分别为O1 0 0 O2 2 0 O3 4 0 O4 0 2 O5 2 2 O6 4 2 记 集合M Oi i 1 2 3 4 5 6 若A B为M的 非空子集 且A中的任何一个圆与B中的任何一个圆均无 公共点 则称 A B 为一个 有序集合对 当A B时 A B 和 B A 为不同的有序集合对 那么M中 x O1 O2 O4 O5 O3 O6 y 第 10 题 A B O C 第 9 题 用心 爱心 专心3 有序集合对 A B 的个数是 A 50 B 54 C 58 D 60 非选择题部分 共 100 分 二 填空题 本大题共 7 小题 每小题 4 分 共 28 分 11 若函数f x 则f x 的定义域是 2 1x 12 若 sin cos 则 sin 2 1 2 13 若某几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则此几何体的体积是 cm3 14 设随机变量X的分布列如下 若数学期望E X 10 则方差D X 15 设Sn是数列 an 的前n项和 已知a1 1 an SnSn 1 n 2 则Sn 16 若点P在曲线 C1 上 点Q在曲线 C2 x 5 2 y2 1 上 点R在曲线 22 1 169 xy C3 x 5 2 y2 1 上 则 PQ PR 的最大值是 17 已知圆心角为 120 的扇形AOB半径为 C为 中1 A AB 点 正视图 俯视图 侧视图 242 3 4 第 13 题 A BOE D C 第 17 题 X051020 P0 1 0 2 用心 爱心 专心4 点D E分别在半径OA OB上 若CD 2 CE 2 DE 2 5 2 则OD OE的取值范围是 三 解答题 本大题共 5 小题 共 72 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 18 本题满分 14 分 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 已知 tan A B 2 求 sin C的值 当a 1 c 时 求b的值 5 19 本题满分 14 分 设等差数列 an 的首项a1为a 前n项和为Sn 若S1 S2 S4成等比数列 求数列 an 的通项公式 证明 n N Sn Sn 1 Sn 2不构成等比数列 20 本题满分 15 分 四棱锥P ABCD中 PA 平 面ABCD E为AD的中点 ABCE为菱形 BAD 120 PA AB G F分别是线段 CE PB上的动点 且满足 0 1 PF PB CG CE 求证 FG 平面PDC 求 的值 使得二面角F CD G的平 面角的正切值为 2 3 21 本题满分 15 分 如图 椭圆 C x 2 3 y 2 3b2 b 0 求椭圆 C 的离心率 若b 1 A B是椭圆 C 上两点 且 AB 3 求 AOB面积的最大值 A B C P E 第 20 题 D G F Ox y 第 21 题 A B 用心 爱心 专心5 22 本题满分 14 分 设函数f x ln x 在 0 内有极值 1 a x 1 e 求实数a的取值范围 若x1 0 1 x2 1 求证 f x2 f x1 e 2 1 e 注 e 是自然对数的底数 理科数学测试卷参考答案 说明 一 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力 并给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分 细则 二 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后续部分的解答未改变该题 的内容和难度 可视影响的程度决定后续部分的给分 但不得超过该部分正确解答应得分 数的一半 如果后续部分的解答有较严重的错误 就不再给分 三 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 五 未在规定区域内答题 每错一个区域扣卷面总分 1 分 一 选择题 本题考查基本知识和基本运算 每小题 5 分 满分 50 分 1 C 2 B 3 C 4 D 5 C 6 B 7 B 8 D 9 D 10 B 二 填空题 本题考查基本知识和基本运算 每小题 4 分 满分 28 分 11 1 1 12 13 40 14 35 3 4 15 16 10 17 1 n S n 15 214 45 三 解答题 本大题共 5 小题 共 72 分 18 本题主要考查三角变换 正弦定理 余弦定理等基础知识 同时考查运算求解能力 用心 爱心 专心6 满分 14 分 解 由题设得 tan C 2 从而 sin C 6 2 5 5 分 解 由正弦定理及 sin C 得 sin A 2 5 5 2 5 sin B sin A C sin A cos C sin C cos A 252 521 5555 2 5 211 25 再由正弦定理b 14 分 sin sin B c C 1055 5 19 本题主要考查等差数列 等比数列的概念 等差数列的通项公式及前n项和的公式 同时考查反证法与推理论证能力 满分 14 分 解 设等差数列 an 的公差为d 则Sn na 1 2 n n d S1 a S2 2a d S4 4a 6d 由于S1 S2 S4成等比数列 因此 S1S4 即得d 2a d 0 所以 d 0 或 2a 2 2 S 1 当d 0 时 an a 2 当d 2a时 an 2n 1 a 6 分 证明 采用反证法 不失一般性 不妨设对某个m N Sm Sm 1 Sm 2构成等 比数列 即 因此 2 12mmm SSS a2 mad m m 1 d2 0 1 2 1 当d 0 时 则a 0 此时Sm Sm 1 Sm 2 0 与等比数列的定义矛盾 2 当d 0 时 要使数列 an 的首项a存在 必有 中的 0 然而 md 2 2m m 1 d2 2m m2 d2 0 矛盾 综上所述 对任意正整数n Sn Sn 1 Sn 2都不构成等比数列 14 分 20 本题主要考查空间点 线 面位置关系 二面角等基础知识 空间向量的应用 同 用心 爱心 专心7 时考查空间想象能力和运算求解能力 满分 15 分 方法一 证明 如图以点A为原点建立空间直角坐标系A xyz 其中K为BC的中点 不妨设PA 2 则 0 0 0 A 0 0 2 P 3 1 0 B 3 1 0 C 0 2 0 E 0 4 0 D 由 得 PFCG PBCE 3 22 F 33 1 0 G 2 33 12 22 FG 设平面的法向量 x y z 则PCD 0 n 0 0nPC 0 0nPD 得 320 0420 xyz xyz 可取 1 2 于是 0 n 3 故 又因为FG平面PDC 即 平面 0 n 0FG 0 n FG FGPDC 6 分 解 33 1 22 FC 3 3 0 CD 设平面的法向量 则 FCD 1111 nxyz 1 0nFC 1 0n CD 可取 又为平面的法向量 1 3 1 1 2 n 2 0 0 1 n GCD 由 因为 tan cos 12 12 cos nn nn 2 3 3 13 所以 解得或 舍去 2 81450 1 2 5 4 A B C P E 第 20 题 D G F z y x K 用心 爱心 专心8 故 15 分 1 2 方法二 证明 延长交于 连 BGCDQPQBE 得平行四边形 则 BEDCBECQ 所以 CG GEQG GB 又 则 PF FBCG GE QG GBPF FB 所以 FGPQ 因为平面 平面 FG PCDPQ PCD 所以 平面 6 分FGPCD 解 作FM于 作于 连 ABMMNCD NFN 则 为二面角的平面角 FNCD FNM FCDG 不妨设 则 1 FMFB PAPB 2PA 2 1 FMBM 2MN 由 得 即 15 分tan FM FNM MN 22 1 32 1 2 21 本题主要考查椭圆的几何性质 直线与椭圆的位置关系等基础知识 同时考查解析 几何的基本思想方法和综合解题能力 满分 15 分 解 由x2 3y2 3b2 得 22 22 1 3 xy bb 所以e 5 分 c a 22 2 3 3 bb b 2 3 6 3 解 设A x1 y1 B x2 y2 ABO的面积为S 如果AB x轴 由对称性不妨记A的坐标为 此时S 3 2 3 2 13 3 22 3 4 如果AB不垂直于x轴 设直线AB的方程为y kx m 由 得x2 3 kx m 2 3 22 33 ykxm xy 即 1 3k2 x2 6kmx 3m2 3 0 又 36k2m2 4 1 3k2 3m2 3 0 A B C P E 第 20 题 D G F Q M N 用心 爱心 专心9 所以 x1 x2 x1 x2 2 6 13 km k 2 2 33 13 m k x1 x2 2 x1 x2 2 4 x1 x2 22 22 12 13 13 km k 由 AB 及 AB 得 22 12 1 kxx 3 x1 x2 2 2 3 1k 结合 得m2 1 3k2 又原点O到直线AB的距离为 22 2 13 4 1 k k 2 1 m k 所以S 1 2 2 3 1 m k 因此 S2 2 2 3 4 2 2 1 m k 3 4 2 2 13 1 k k 22 22 13 4 1 k k 3 4 1 4 2 2 13 1 k k 2 2 3 16 2 2 13 1 k k 3 4 3 4 故S 当且仅当 2 即k 1 时上式取等号 又 故S 3 2 2 2 13 1 k k 3 2 3 4 max 3 2 15 分 22 本题主要考查函数极值的概念 导数运算法则 导数应用等基础知识 同时考查推 理论证能力 抽象概括等综合解题能力和创新意识 满分 14 分 解 或时 01x 1x 22 222 1 1 2 1 1 1 1 axaxxax fx xxx xx x 由在内有解 令 0fx 1 0 e 2 2 1 g xxaxxx 不妨设 则 所以 1 0 e e 0 10g 2 112 1