高三数学等差数列；数列求通项（文）人教实验版

高三数学等差数列 数列求通项 文 人教实验版高三数学等差数列 数列求通项 文 人教实验版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 等差数列 数列求通项 二 重点 难点 1 定义 1 Nndaa nn 2 关键量 da 1 3 通项公式 dnaan 1 1 dmnaa mn 4 前 n 项和 naadnnnaS nn 2 1 1 2 1 11 5 若qpnm qpnm aaaa qpan 成等差数列 1 nkkn SS 1 kNk成等差数列 0 n a a成等比数列 任意两数ba 有等差中项 2 ba 6 由递推关系 求 n a 7 由 n S 求 n a 典型例题典型例题 例 1 等差数列 n a中 2 11 35 daS nn 求 1 a 解 解 2 1 2 1 35 2 1 11 1 1 nnnaS naa n n 3 5 1 a n 或 1 7 1 a n 例 2 等差数列 n a中 qSpS kk 2 则 k S3 解 解 kkkkk SSSSS 232 成等差数列 kkkkk SSSSS 232 2 3 3 pqS k 例 3 等差数列 n a共12 k项 所有项之和 323 其中奇数项和为 171 求 1k a k 解 解 171323 171 2 1 1 2 1 22 121 kaa kaa S S k k 偶 奇 8 152 1711 k k k 19 172 17171 9 Saa a 19 8 9 a k 例 4 等差数列 n a n b前 n 项和为 n S n T 且 23 25 n n T S n n 求 n b a 解 解 121 121 n n n n bb aa b a 12 2 1 12 2 1 121 121 nbb naa n n 16 310 12 12 n n T S n n 例 5 数列24 21 63 SSan 1 nn aaaS 21 求 n S的最大值 2 21nn aaaT 求 n T的公式 解 解 2 9 15624 3321 1 1 1 d a da da nan211 5 n 0 n a 6 n 0 n a n S最大值为25 5 S 5 10 2 nnnTn 6 5010 2 55 nnnSSST nn 6 5010 5 10 2 2 nnn nnn Tn 例 6 n a成等差数列 0 0 12 13123 SSa 1 求d取值范围 2 求 1221 SSS 中最大的一个 3 求 12 12 2 2 1 1 a S a S a S 中哪一个最大 哪一个最小 解 解 1 daa212 13 07813 06612 113 112 daS daS 3 7 24 d 2 0 612 2 1 7612112 aaaaS 01313 2 1 713113 aaaS 0 0 76 aa 76321 0aaaaa 6 S最大 3 0 654321 aaaaaa 0 111 156 aaa 0 156 SSS 0 1 1 5 5 6 6 a S a S a S 1287 0aaa 0 111 1287 aaa 0 12987 SSSS 0 12 12 8 8 7 7 a S a S a S 7 7 11 11 12 12 a S a S a S a 6 6 a S 最大 7 7 a S 最小 例 7 求 n a 1 11 2 1Nnaaa nn 2 11 1Nnnaaa nn 3 11 3 2 1Nnaaa nn 4 11 2 1Nna n n aa nn 5 11 43 1Nnaaa nn 解 解 1 等差数列1 2 1 ad 12 nan 2 naa nn 1 1 21 naa nn 2 12 aa 叠加 1 2 1 22 1 nnnaan 3 等比数列 3 2 q 1 1 a 1 3 2 n n a 4 1 2 nn a n n a 21 1 1 nn a n n a 12 4 2 aa 相乘 1 4 1 2 2 1 a nnn nn an 2 1 6 nn an 5 2 3 2 1 nn aa nn n aa3 2 3 2 1 1 23 n n a 例 8 求 n a 1 cbnanSn 2 2 23 n n S 3 nS n n 1 1 解 解 1 2 12 1 nanb ncba an 2 2 32 1 1 1 n n a n n 3 12 1 1 na n n 例 9 求 n a 1 12 nn aS 2 nn anS 2 3 nn anS 2 4 1 2 12 2 1 2 an S S a n n n 解 解 1 12 nn aS 12 11 nn aS 1 2 nn aa 12 11 aa 1 1 a 1 2 n n a 2 12 111 aaa nn anS 2 11 1 2 nn anS 1 2 nnn aaa 1 2 1 1 nn aa 2 2 1 2 1 nn aa 2 2 1 2 1 1 aa n n 1 2 1 2 n n a 3 1 22 1 1 nnnnn ananSSa nn anan 1 1 2 1 2 1 1 1 n n a a n n n n a a n n 2 2 1 3 1 1 2 a a 3 1 1 2 1 121 21 n nn aaa aaa n nn nna an 1 2 1 1 2 nn an 4 12 2 2 1 n n nnn S S SSa nnnn SSSS 11 2 2 11 1 nn SS 1 n S 或 AP 首位2 1 1 S 2 d 122 1 1 1 nn Sn 2 12 1 n n Sn 32 12 2 1 nn SSa nnn 2 32 12 2 1 1 n nn n an 例 10 已知数列 2 1 n n a 的前 n 项和nSn69 1 求数列 n a的通项公式 2 设 3 log3 2 n n a nb 求数列 1 n b 的前 n 项和 解 解 1 当1 n时 32 11 0 Sa 3 1 a 当2 x时 62 1 1 nnn n SSa 2 2 3 n n a 显然1 n时不满足 2 2 3 n n a 故数列的通项公式为 2 2 3 1 3 2 n n a n n 2 当1 n时 31log3 21 b 当2 n时 log3 23 3 log3 2 2 2 2 n n n nnb 1 nn 故 2 1 11 1 1 1 3 1 1 n nnnn n bn 1 11 3 1 2 1 3 1111 21 nnbbb n 1 1 6 5 n 由此可知 数列 1 n b 的前 n 项和 2 1 1 6 5 1 3 1 n n n Tn 例 11 设函数 bax x xf ba 为常数 0 a 若 3 1 1 f 且xxf 只有一 个实数根 1 求 xf的解析式 2 若数列 n a满足关系式 2 1 nNnafa nn 且 又 2005 1 1 a 求 n a的通项公式 3 设 1 n n n a a b 求 n b的最大值与最小值 以及相应的 n 值 解 解 1 由 3 11 1 ba f 可得3 ba 又由0 xxf得0 1 baxx 方程只有一个实数根 0 1 a b 由方程 得1 2 ba 则 xf的解析式为 12 x x xf 2 1 nn afa 12 1 1 n n n a a a 即2 11 1 nn aa 又 2005 1 1 a 1 n a 是以2005 为首项 以 2 为公差的等差数列 20072 1 22005 1 nn an 即 20072 1 n an 3 此时 20072 2 1 20072 20092 nn n bn 当1003 n时 n b单调递增且大于 1 当1003 n时 n b单调递增且小于 1 当1003 n时 n b最大值为 3 当1004 n时 n b最小值为1 模拟试题模拟试题 1 已知baba 成等差数列 abba 成等比数列 且1 log0 ab m 则 m 的取值 范围是 2 等差数列 n a共有12 n项 其中奇数项之和为 319 偶数项之和为 290 则其中间 项为 3 已知cba 成等比数列 如果bxa 和cyb 都成等差数列 则 y c x a 4 在等差数列 n a中 已知13 2 321 aaa 则 654 aaa 等于 A 40B 42C 43D 45 5 在等差数列 n a中 若12 64 aa n S是数列 n a的前 n 项和 则 9 S的值为 A 48B 54C 60D 66 6 已知 n a是等差数列 10 10 a 其前 10 项和70 10 S 则其公差 d A 3 2 B 3 1 C 3 1 D 3 2 7 设等差数列 n a的公差d不为 0 da9 1 若 k a是 1 a与 k a2的等比中项 则 k A 2B 4C 6D 8 8 若等差数列 n a的前 3 项和9 3 S且1 1 a 则 2 a等于 A 3B 4C 5D 6 9 设等差数列 n a的前 n 项和为 n S 若36 9 63 SS 则 987 aaa A 63B 45C 36D 27 10 等差数列 n a的首项5 1 a 它的前 11 项的平均值为 5 若从中抽去一项 余下 的 10 项的平均值为 4 6 则抽去的是 A 6 aB 8 aC 9 aD 10 a 11 在数列 n a中 如果存在非零常数 T 使得 mTm aa 对于任意的非零自然数 m 均 成立 那么就称数列 n a为周期数列 其中 T 叫数列 n a的周期 已知数列 n x满足 2 11 Nnnxxx nnn 如果 0 1 21 aRaaxx 当数列 n x的周期 最小时 该数列前 2005 项的和是 A 668B 669C 1336D 1337 12 数列 n a的前 n 项和为12 2 nnSn 则这个数列一定是 A 等差数列B 非等差数列 C 常数数列D 等差数列或常数数列 13 已知公比为 q 的等比数列 n a 若 2 2Nnaab nnn 则数列 n b是 A 公比为q的等比数列B 公比为 2 q的等比数列 C 公差为q的等差数列D 公差为 2 q的等差数列 14 已知数列 n a中 n n n a a aa 31 2 11 则 4 a A 5 16 B 19 2 C 5 8 D 7 8 15 数列 n a中 1 2 73 aa 且数列 1 1 n a 是等差数列 则 11 a等于 A 5 2 B 2 1 C 3 2 D 5 16 已知 112 3 Nn n an 记数列 n a的前 n 项和为 n S 则使0 n S的 n 的最 小值为 A 10B 11C 12D 13 17 设数列 n a是公比为 1 aa首项为 b 的等比数列 n S是前 n 项和 对任意的 Nn 点 1 nn SS A 在直线baxy 上B 在直线abxy 上 C 在直线abxy 上D 在直线baxy 上 18 等差数列 n a中 24 321 aaa 78 201918 aaa 则此数列前 20 项和 等于 A 160B 180C 200D 220 19 在等差数列 n a中 0 1 a 4525 SS 若 n S最小 则 n 为 A 25B 35C 36D 45 20 如果 821 aaa 为各项都大于零的等差数列 公差0 d 则 A 5481 aaaa B 5481 aaaa C 5481 aaaa D 5181 aaaa 21 设 n S是等差数列 n a的前 n 项和 若 3 1 6 3 S S 则 12 6 S S A 10 3 B 3 1 C 8 1 D 9 1 22 设 n a是公差为正数的等差数列 若15 321 aaa 80 321 aaa 则 131211 aaa A 120B 105C 90D 75 23 已知某等差数列