贵州省贵阳市花溪第二中学九年级数学竞赛讲座 28第二十八讲 避免漏解的奥秘 人教新课标版

用心 爱心 专心1 贵州省贵阳市花溪第二中学九年级数学竞赛讲座贵州省贵阳市花溪第二中学九年级数学竞赛讲座 2828 第二十八讲第二十八讲 避避 免漏解的奥秘免漏解的奥秘 人教新课标版人教新课标版 会而不对 对而不全 这是许多同学在解题时无法避免而又屡犯不止的错误 提高 解题周密性 避免漏解的奥秘在于 掌握分类讨论法 学会分类讨论 分类讨论就是按照一定的标准 把研究对象分成几个部分或几种情况 然后逐个加以 解决 最后予以总结作出结论的思想方法 其实质是化整为零 各个击破的转化策略 解题时何时需要进行分类 一般来说 当问题包含的因素发生变化 问题结果也相应 发生变化 我们就需要对这一关键因素分类讨论 怎样进行正确分类 分类的基本要求是不 重复 不遗漏 每次分类必须保持同一的分类标准 多级讨论 逐级进行 例题求解例题求解 例 1 四条线段的长分别为 9 5 1 其中为正实数 用它们拼成两个直角三角xx 形 且 AB 与 CD 是其中的两条线段 如图 则可取值的个数为 x 信利杯 竞赛题 注 初中数学常见的分类方法有 1 按定义 性质 法则 公式分类 2 对参数分类 3 按图形位置分类 4 按图形特征分类 5 按余数分类 注 参数是较为常见的分类对象 因为参数的不同取值 可能导致不同的运算结果 或者 必须使用不同的方法去解决 这一分类方法在方程 不等式 函数中有广泛的应用 例 2 方程的所有整数解的个数是 1 1 32 x xx A 2 B 3 C 4 D 5 山东省选拔赛试题 思路点拨思路点拨 这是一个特殊的幂指数方程问题 根据幂指数的意义 可将原问题分成三个并 列的简单问题求解 1 非零实数的零次幂等于 1 2 1 的任何次幂等于 1 3 的偶次1 幂等于 1 用心 爱心 专心2 例 3 试确定一切有理数 使得关于的方程有根且只有整数rx023 2 2 rxrrx 根 全国初中数学联赛试题 思路点拨思路点拨 根据方程定义 是否为零影响方程的次数 这是质的不同 解法也不同 所以 r 应对 r 0 及 0 两种情况分类求解 r 例 4 已知一三角形纸片 ABC 面积为 25 BC 边的长为 10 B 和 C 都为锐角 M 为 AB 边上的一动点 M 与点 A B 不重合 过点 M 作 MN BC 交 AC 于点 N 设 MN x 1 用表示 AMN 的面积 S AMN x 2 用 AMN 沿 MN 折叠 使 AMN 紧贴四边形 BCNM 边 AM AN 落在四边形 BCNM 所在的平 面内 设点 A 落在平面 BCNM 内的点为 A A MN 与四边形 BCNM 重叠部分的面积 为 试求出关于的函数关系式 并写出自变量的取值范围 当为何值时重叠yyxxx 部分的面积最大 最大为多少 y 苏州市中考题 思路点拨思路点拨 折叠 AMN A 点位置不确定 可能在 ABC 内或在 BC 边上或在 ABC 外 故需 按以上三种情况分别求出关于的函数关系式 进而求出的最大值 yxy 注 有关平面几何问题 经常按图形相互之间的位置进行分类 因为图形存在不同的位置关系 其解答结果可能不同 也可能需要使用不同的方法解决 初中平面几何按位置关系分类 最终一般都归结为点 直线和圆之间的位置关系 例 5 已知 Ol与 O2外切 Ol的半径 R 2 设 O2的半径是 r 1 如果 Ol与 O2的圆心距 d 4 求 r 的值 2 如果 Ol O2的公切线中有两条互相垂直 并且 r R 求 r 的值 南京市中考题 思路点拨思路点拨 题中没有给出图形 题设中外切两圆的公切线中有两条互相垂直 情况不惟一 故应分类讨论 注 中考压轴题分类讨论有以下常见情形 1 由点的不确定定引起的分类讨论 用心 爱心 专心3 2 由图形全等或相似的对应关系的不确定性引起的分类讨论 3 由图形运动导致图形之间位置发生变化引起的分类讨论 学力训练学力训练 1 已知 m 为实数 如果函数的图象与轴只有一个交点 那么 m62 4 2 mmxxmyx 的取值为 2 若实数 满足 则的值为 ab058 2 aa058 2 bb 1 1 1 1 b a a b 3 若半径为 5 和 4 的两个圆相交 且公共弦长为 6 则它们的圆心距等于 4 已知 O 和不在 O 上的一点 P 过 P 直线交 O 于 A B 点 若 PA PB 4 OP 5 则 O 的半径为 5 和抛物线只有一个公共点 1 1 的直线解析式为 1108 2 xxy A B C 或 D 76 xy1 x76 xy1 x1 y 6 若线段 AB 两端点到直线 的距离分别为 4 和 8 则 AB 的中点到直线 的距离是 ll A 2 B 4 C 6 D 2 或 6 7 点 A 4 0 B 2 0 是坐标平面上两定点 C 是的图象上的动点 则xoy2 2 1 xy 满足上述条件的直角 ABC 可以画出 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 8 如图 在直角梯形 ABCD 中 AB 7 AD 2 BC 3 如果边 AB 上的点 P 使得以 P A D 为 顶点的三角形和以 P B C 为顶点的三角形相似 那么这样的 P 点有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 9 已知关于的方程 x022 13 22 kkxkx 1 求证 无论是取何实数值 方程总有实数根 k 2 若等腰三角形 ABC 的一边长 另两边长为 恰好是这个方程的两个根 求此6 abc 三角形的周长 湖北赛区选拔赛试题 10 已知 如图 抛物线 C1经过 A B C 三点 顶点为 D 且与 x 轴的另一个交点为 E 1 求抛物线 C1的解析式 2 求四边形 ABCD 的面积 3 AOB 与 BDE 是否相似 如果相似 请予以证明 如果不相似 请说明理由 4 设抛物线 C1的对称轴与 x 轴交于点 F 另一条抛物线 C2经过点 E 抛物线 C2与抛物 线 C1不重合 且顶点为 M a b 对称轴与 x 轴相交于点 G 且以 M G E 为顶点的三 角形与以 D E F 为顶点的三角形全等 求 a b 的值 只需写出结果 不必写出解答过程 黄冈市中考题 用心 爱心 专心4 11 以 O 为圆心的两个同心圆的半径分别为 9cm 和 5cm O 与这两个圆都相切 则 O 的半径是 12 在 ABC 中 AB AC AB 的中垂线与 AC 所在直线相交所得的锐角为 50 则底角 B 的 大小为 13 如图 在 Rt ABC中 C 90 AC 3 BC 4 若以 C 为圆心 R 为半径所作的圆与 斜边 AB 只有一个公共点 则 R 的取值范围是 北京市宣武区中考题 14 已知点 A 0 6 B 3 0 C 2 0 M 0 m 其中 m 6 以 M 为圆心 MC 为半径作 圆 那么当 m 时 M 与直线 AB 相切 15 关于的方程有有理根 求整数是的值 x01 1 2 xkkx 山东赛区选拔赛试题 16 华鑫超市对顾客实行优惠购物 规定如下 1 若一次购物少于 200 元 则不予优惠 2 若一次购物满 200 元 但不超过 500 元 按标价给予九折优惠 3 若一次购物超过 500 元 其中 500 元的部分给予九折优惠 超过 500 元部分给予 八折优惠 小明两次去该超市购物 分别付款 198 元与 554 元 现在小亮决定一次去购买小明分 两次购买的同样多的物品 他需付款多少 江苏省竞赛题 17 如图 已知 ABC 中 AB 5 BC 3 AC 4 PQ AB P 点在 AC 上 与点 A C 不重合 Q 点在 BC 上 1 当 PQC 的面积与四边形 PABQ 的面积相等时 求 CP 的长 2 当 PQC 的周长与四边形 PABQ 的周长相等时 求 CP 的长 3 试问 在 AB 上是否存在点 M 使得 PQM 为等腰直角三角形 若不存在 请简要说明理 由 若存在 请求出 PQ 的长 18 已知关于的方程 q 0 的两个实数根为 且 x0 1 2 pxqpx 1 试用含有 的代数式表示和 pq 用心 爱心 专心5 2 求证 1 3 若以 为坐标的点 M 在 ABC 的三条边上运动 且 ABC 顶点的坐标分别 为 A 1 2 B 1 C 1 1 问是否存在点 M 使 若存在 求出点 M 的坐 2 1 pq 4 5 标 若不存在 请说明理由 天津市中考题 19 某蔬菜基地种植西红柿 由历年市场行情得知 从 2 月 1 日起的 300 天内 西红柿市 场售价与上市时间的关