内蒙古赤峰市宁城县2016届高三第一次统一考试数学试卷（理）含答案解析

1 内蒙古赤峰市宁城县 2016届高三第一次统一考试数学（理） 一、选择题：共 12题 1 设集合 ,集合 为函数 的定义域，则 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】本题考查集合的基本运算 . ， . 【备注 】集合的基本运算为高考常考内容 ,要求熟练掌握 . 2 若复数 在复平面内 A.(4， 2) B.(4， C.(2， 4) D.(2， 【答案】 B 【解析】本题考查复数的四则运算，意在考查考生的运算求解能力 ，则在复平面内 4， 故本题正确答案是 B. 3 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其体积等于 2 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】本题考查三视图、空间几何体的体积 三棱柱的底面边长为 2,高为 1，所以三棱柱的体积为 故选 A. 4 已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，它的一个焦点坐标为 (2,0)，则双曲线的方程为 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】本题考查双曲线的几何性质 ， ，因为 ,故选 C. 5 某程序框图如图所示 ,执行该程序 ,若输入的 4,则输出的 n, 3 ,S=30 ,S=30 ,S=45 ,S=45 【答案】 B 【解析】程序框图依次执行的结果是 :S=3,n=2;S=9,n=3;S=18,n=4;S=30,n=5,结束 n=5,S=30 6 已知某批零件的长度误差 (单位 :毫米 )服从正态分布 N(0,32),从中随机取一件 ,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为 (附 :若随机变量 服从正态分布 N(,2),则 P(x1,与图象不符 . 12 若函数 满足 ，且 时， ，则函数 在区间 内的零点的个数为 答案】 C 7 【解析】本题考查函数的图像与性质，函数与方程 得 是周期为 2的周期函数；画出函数 与 的图像 (如图所示 )；它们在区间 内有 8个交点，所以函数在区间 内的零点的个数为 . 【备注】体会数形结合思想 . 二、填空题：共 4题 每题 5分 共 20分 13 甲乙两人从 门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有 门 不相同 的选法共有 _. 【答案】 30 【解析】本题考查排列组合与分类计数原理 . 甲乙所选的课程中至少有 门不同的选法包含两类情况 ,一：甲乙选的两门课程均不同 ,有 种；二：甲乙选的课程只有一门相同 ,分两步：先从 4门中选 1门作为相同的课程，甲再从剩余 3门中选 2门，乙从剩余 2门中选 1门 ,所以由分步计数原理 ,共有 种 甲乙所选的课程中至少有 门不同的选法种类有6+24=30种 . 14 已知 的展开式中常数项为 ，则常数 = _. 【答案】 1 8 【解析】本题考查二项式定理 ，解得 . 15 已知 为由不等式组 ，所确定的平面区域上的动点，若点 ，则的最大值为 _. 【答案】 4 【解析】本题考查平面向量的数量积，线性规划问题 . = ；画出可行域 (如图四边形 )；当过点 时， 取得最大值 . 【备注】体会数形结合思想 . 16 设数列 的前 且, ，则 =_. 【答案】 9 【解析】本题考查数列的通项与求和 . ； ； ； ； ；所以 = + + + = + + + + = = . 三、解答题：共 8题 每题 12分 共 96分 17 在锐角 a、 b、 、 B、 a 2. (1)确定角 (2)若 c ，且 ，求 a 【答案】 (1)由 a 22. ， ; C . (2) C ， ，即 6. c ， 由余弦定理得 2 7，即 7. 由 变形得 (a b)2 37. ; 将 代入 得 (a b)2 25， 故 a b 5. 10 【解析】本题考查正余弦定理，三角形的面积公式 . (1)由正弦定理得 ， C . (2)利用三角形面积公式、余弦定理可求解 . 【备注】正弦定理： ；余弦定理： ；三角形的面积公式： . 18 如图 1在 ， ， 的点，且 / ，将 沿 折起到 的位置，使 ，如图 2. (1)求证： 平面 ； (2)若 ，求 与平面 所成角的正弦值； 【答案】 (1)证明： 在 中， , / , , . 又 , , 面 . 由 面 , 11 , , . (2)如图 ,以 为原点，建立空间直角坐标系 . . 设 为平面 的一个法向量， 因为 ，所以 ，令 x=2，得 . 所以 为平面 的一个法向量 . 设 与平面 所成角为 ，则 . 所 以 与平面 所成角的正弦值为 . 【解析】本题考查线面垂直，空间角，空间向量的应用 . (1) ，又 , 面； ；而 , ； (2)如图建立恰当的空间直角坐标系；平面 的一个法向量 . . 12 【备注】立 体几何的相关知识：线面平行与垂直、空间角、空间向量的应用等 . 考查空间想象能力与运算求解能力 . 19 汽车租赁公司为了调查 A,现随机抽取了这两种车型各 100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表 : (1)从出租天数为 3天的汽车 (仅限 A,中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是 (2)根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆 辆 天的概率； (3)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从 A， 你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由 . 【答案】 (1)这辆汽车是 = 这辆汽车是 2)设 “事件 表示一辆 ”， “事件 表示一辆 ”，其中 则该公司一辆 辆 恰好为 4天的概率为 . 13 该公司一辆 辆 天的概率为 . (3)设 为 的分布列为 设 为 的分布列为 = = = = 一辆 择 . 【解析】本题考查古典概型，互斥事件的概率，随机变量的分布列与数学期望 . (1)由古典概型可得p= ； (2)所求概率为=； (3)列出分布列并求出均值，选择 14 【备注】统计与概率的相关知识 : 独立性检验 ,古典概型，频率分布直方图，二项分布，随机变量的分布列与数学期望 . 20 已知 是抛物线 上一点，经过点 的直线 与抛物线 交于 两点 (不同于点 )，直线 分别交直线 于点 . ( )求抛物线方程及其焦点坐标； ( )已知 为原点，求证： 为定值并求出这个定值 【答案】 ( )将 代入 ，得 ， 所以抛物线方程为 ， 焦点坐标为 ， ( )因为直线 不经过点 ，所以直线 一定有斜率设直线 方程为 ，与抛物线方程联立， 消去 ，得： ， 15 则由韦达定理得： ， 直线 的方程为： ，即 ， 令 ，得 ， 同理可得 : ， 又 ， 所以 ，即 为定值 . 【解析】本题主要考查的是抛物线与直线 .( )把已知点 代入抛物线，便可求出抛物线方程和焦点坐标； ( )利用向量运算求出 即得 为定值 . 21 设函数 . 16 (1)求 的单调区间； (2)若存在实数 ，使得 ，求 的取值范围，并证明： . 【答案】 (1) ，则 . 令 ，则 . 故函数 的增区间为 ；减区间为 . (2) 当 时， 当 时， 若函数 有两个零点，只需 ，即 ， 而此时， ，由此可得 ， 故 ，即 ， 又 , = = = . 17 【解析】本题考查导数在研究函数、不等式中的应用 . 【备注】体会分类讨论思想、化归与转化思想、函数与方程思想 . 22 如图， 的半径为 6，线段 与 相交于点 、 ， ， ， 与 相交于点 . (1) 求 长； (2)当 时，求证： . 【答案】 (1) D， A， ， D=6， ， ， . (2)证明： E， A. 80 A 80 O. 【解析】本题考查圆周角定理，三角形相似 . 【备注】常考查三角形相似，圆周角定理，弦切角定理，切割线定理等 . 18 23 在直角坐标系 中，以原点 为极点，以 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系 取相同的长度单位，建立极坐标系 . 设曲线 参数方程为 为参数 )，直线 的极坐标方程为 . (1)写出曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程； (2)求曲线 上的点到直线 的最大距离 . 【答案】 (1)由 得 ， . 由 得 . (2)在 上任取一点 ，则点 到直线 的距离为 . 其中 ， 当 1， . 【解析】本题考查直线的极坐标方程、圆锥曲线的参数方程 . 【备注】常考查：极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，相交弦长等内容 . 体会化