《一 数学归纳法（2）》同步练习2

数学归纳法应用举例数学归纳法应用举例 习题课习题课 同步练习同步练习 一 选择题一 选择题 1 用数学归纳法证明1 r r2 rn n N r 1 在验证n 0时 左 1 rn 1 1 r 端计算所得项为 A 1 B r C 1 r D 1 r r2 答案 A 2 n条共面直线任何两条不平行 任何三条不共点 设其交点个数为f n 则f n 1 f n 等于 A n B n 1 C n n 1 D n n 1 1 2 1 2 答案 A 3 设f n n N 那么f n 1 f n 等于 1 n 1 n 1 1 n 2 1 n 3 1 2n A B 1 2n 1 1 2n 2 C D 1 2n 1 1 2n 2 1 2n 1 1 2n 2 1 n 答案 D 4 在数学归纳法证明多边形内角和定理时 第一步应验证 A n 1成立 B n 2成立 C n 3成立 D n 4成立 答案 C 5 用数学归纳法证明 n 1 n N 第二步证n k 1时 n 1已验证 n2 n n k已假设成立 这样证明 时 f 2k 1 1 2 1 3 1 n n 2 比f 2k 多的项数是 答案 2k 三 解答题三 解答题 8 已知Sn 1 n 1 n N 1 2 1 3 1 4 1 n 求证 S2n 1 n 2 n N n 2 证明 1 当n 2时 S2n 1 1 不等式成立 1 2 1 3 1 4 25 12 2 2 2 假设n k k 2 时不等式成立 即 S2k 1 1 1 2 1 3 1 4 1 2k k 2 当n k 1时 S2k 1 1 1 2 1 3 1 4 1 2k 1 2k 1 1 2k 1 1 1 k 2 1 2k 1 1 2k 1 k 2 2k 2k 2k 1 1 k 2 1 2 k 1 2 故当n k 1时不等式也成立 综合 1 2 知 对任意n N n 2 不等式S2n 1 都成立 n 2 9 平面内有n条直线 其中任何两条不平行 任何三条不共点 求证 这n条直线把平 面分成f n 个部分 n2 n 2 2 证明 1 当n 1时 一条直线把平面分成两部分 而f 1 2 命题成立 12 1 2 2 2 假设当n k k 1 时命题成立 即k条直线把平面分成f k 个部分 k2 k 2 2 则当n k 1时 即增加一条直线l 因为任何两条直线不平行 所以l与k条直线都相交 有k个交点 又因为任何三条直线不共点 所以这k个交点不同于k条直线的交点 且k个交 点也互不相同 如此k个交点把直线l分成k 1段 每一段把它所在的平面区域分成两部分 故新增加了k 1个平面部分 f k 1 f k k 1 k 1 k2 k 2 2 k2 k 2 2k 2 2 k 1 2 k 1 2 2 当n k 1时命题成立 由 1 2 可知 当n N 时 命题成立 10 已知函数f x x3 x2 且存在x0 使f x0 x0 x 2 1 4 0 1 2 1 证明 f x 是R上的单调增函数 2 设x1 0 xn 1 f xn y1 yn 1 f yn 其中n 1 2 证明 1 2 xn xn 1 x0 yn 1 yn 3 证明 0 x 1 3 1 6 f x 是R上的单调增函数 2 0 x0 即x1 x0 y1 1 2 又f x 是增函数 f x1 f x0 f y1 即x2 x00 x1 1 4 y2 f y1 f y1 1 2 3 8 1 2 综上 x1 x2 x0 y2 y1 用数学归纳法证明如下 当n 1时 上面已证明成立 假设当n k k 1 时 有xk xk 1 x0 yk 1 yk 当n k 1时 由f x 是单调增函数 有f xk f xk 1 f x0 f yk 1 f yk xk 1 xk 2 x0 yk 2 yk 1 由 和 对一切n 1 2 都有 xn xn 1 x0 yn 1 yn 3 yn 1 xn 1 yn xn f yn f xn yn xn y xnyn x yn xn 2n2n 1 2 yn xn 2