组合图形典型解法的整理和复习..doc

组合图形典型解法的整理和复习浙江省台州市椒江区人民路小学 潘小满 浙江省台州市椒江区 教 研 室 李加汉（318000）组合图形，是指由两个或两个以上的平面图形合并在一起的图形。而在小学毕业测试中，关于组合图形的计算往往不是能直接观察到两个或两个以上的图形面积相加或相减得到的，小学生由于年龄小，空间观念比较薄弱，这时候往往无从下手，因此，如何通过求组合图形面积的总复习，让孩子们掌握一些求积方法，感悟转化思想，从而达到培养初步的空间观念、发展空间想像力之目的，笔者根据长期的教学实践和体会，总结出以下一些典型方法，以飨读者。一、思路整理。二、具体说明。（一）、图形变换1、平移 （1）、点的移动（等积变形） 根据“平行线之间的距离处处相等”和“同底等高的两个三角形面积相等”，将图中的一个三角形的一个顶点看作一个“动点”沿直线移动，将原来复杂的图形变为简单明了的图形。【例1】计算（图1）中的阴影部分面积。（单位：厘米）分析与解在（图1）中，将三角形ECD的顶点沿梯形的上底从E点移到A点，使三角形ECD变为面积相等的三角形ACD（如图2）所示，阴影部分面积就是三角形ABD的面积。 20102=100（平方厘米）【例2】如（图3）所示，已知大正方形的边长为10厘米，小正方形的边长为7厘米，求阴影部分面积。分析与解如（图4）所示，直线AB平行于CD，三角形ACD与三角形BCD同底等高面积相等，原来阴影部分面积就等于扇形BCD的面积。 3.141024=78.5(平方厘米 )（2）、面的移动（平移法） 将所给图形中的某个图形沿直线上下左右移动，把复杂的图形简单化。【例3】求（图5）中阴影部分的面积（单位：厘米）分析与解将（图5）中的扇形向右平移使它成为（图6）。阴影部分面积就等于正方形的面积。 22=4（平方厘米）【例4】求（图7）阴影部分的面积（单位：厘米）分析与解 将（图7）分割两个正方形，再将左边部分平移到右边成为（图8）。阴影部分面积就是长方形面积与半圆面积的差。 423.14222=1.72（平方厘米）2、旋转 （1）、以点为旋转中心（旋转法） 将所给图形中的某一部分绕一个固定点旋转一定（或适当）的角度，变为比较简单又直观的图形。【例5】求(图9)阴影部分的面积（单位：厘米）分析与解以（图9）中大圆的圆心为旋转中心，将左侧小半圆逆时针方向旋转1800，就得到（图10）所示的形状，所求的阴影部分的面积就是大半圆的面积。 3.141022=157（平方厘米）【例6】如图（11），三角形ABC为等腰直角三角形，D为AB的中点，AB=20厘米，求阴影部分的面积。（单位：厘米）。分析与解（如图11）所示，以D点为旋转中心，将右侧扇形顺时针旋转1800，使B与A重合如（图12）所示，阴影的面积就是以AD为半径的半圆面积减去一个等腰直角三角形的面积。 3.14(202)22(202)22=107（平方厘米）（2）、以直线为对称轴（翻折法）将所给图形的某一部分以某一直线为对称轴翻折，使原来复杂的图形变为直观图形。【例7】求(图13)阴影部分的面积（单位：厘米）分析与解将（图13）中的垂直半径作为对称轴，将右边阴影部分对折到左边如(图14)所示。阴影部分的面积就是大扇形的面积与空白部分（三角形）面积的差。 3.14202 820（202）2=57（平方厘米）【例8】求(图15)阴影部分的面积（单位：厘米）分析与解将（图15）中水平的直径作为对称轴，将上半部分往下翻折，使阴影部分拼合成两个三角形（如图16）。阴影部分面积等于两个三角形面积之和。 （202）（2022）22=50（平方厘米）3、对称 （1）、对称添加（扩大法）将所求图形以某条直线为对称轴，把所求的图形面积扩大若干倍，先求出总面积，然后求原来的面积。【例9】（图17）中扇形的半径6厘米，圆心角为450，AC垂直于OB，垂足为C，求阴影部分的面积是多少平方厘米?分析与解将（图17）中的阴影部分面积以OB为对称轴扩大2倍成为（图18）。 （3.14624622）2=5.13（平方厘米） （2）、等分（缩小法） 根据所求图形的对称性， 将所求图形面积平均分成若干份，先求出其中的一份面积，然后求总面积。【例10】求(图19)阴影部分的面积（单位：厘米）分析与解先求出(图19)阴影部分的面积的八分之一，即(图20)阴影部分的面积。 3.14224222=1.14(平方厘米 )阴影部分总面积为： 1.148=9.12(平方厘米 )（二）、等量替换 将题中的条件或问题替换成等价的另外的条件或问题，使条件或问题变得更加简单直观。1、条件替换【例11】如（图21）所示，两个半径为2厘米的等圆，已知阴影的两个部分面积相等，求圆心距AB的长。分析与解为了说明方便，把长方形分为、四个部分。已知： = ，所以：长方形面积=（）（）=两个扇形面积=半圆面积因此，圆心距AB为： 3.142222=3.14（厘米）2、问题替换【例12】如（图22）所示，一个直径为4厘米的半圆，以A点为圆心，把整个半圆按顺时针方向旋转450，此时点B移到B1，求阴影部分的面积。分析与解 3.14428=6.28（平方厘米）（三）、从整体看问题从整体上来考察研究问题，不纠缠于问题的各项具体的细节，从而拓宽思路抓住主要矛盾，有时可以将问题进行特殊化处理，一举解决问题。【例13】如（图23）所示，直角三角形ABC的三条边长分别为6厘米、8厘米、10厘米，三个顶点A、B、C分别是三个等圆的圆心，求阴影部分的面积和是多少平方厘米？分析与解 在（图23）中，从表面看把三块阴影部分面积先求出后再求阴影部分面积之和，但却无法知道两个小扇形的圆心角度数，如果从整体来考虑，三个扇形圆心角之和就是三角形的内角和1800，阴影部分面积就是半径为3厘米的圆面积的二分之一。 3.14(62)22=14.13（平方厘米【例14】如（图24）所示，一个长方形长40厘米，宽30厘米，A为长方形内的任意一点，求阴影部分的面积。分析与解 因为A点为长方形内任意一点，所以不管A点在长方形内怎样移动，阴影部分形状变了，但面积总和是不变的。因此，可把A点移动到长方形内一些特殊的位置上，便于问题的解决。例如把A点移动到长方形内的中心点如（图25），也可把A点移动到长方形的边上如（图26），也可把A点移动到长方形的角上如（图27），这样很明显看出阴影部分面积是长方形面积的一半。 40302=600（平方厘米）（四）、灵活运用公式 当题中所给的条件不能直接套用公式时，这时就应考虑灵活运用公式计算。【例15】在（图28）中，BC =20厘米，求直角梯形ABCD的面积分析与解 在图28中，已知直角梯形高BC的长度，不能求出上底AB与下底CD的长度，但是如果能求出梯形的上、下底之和，也可求出梯形的面积。三角形ABE和三角形DCE都是直角等腰三角形，所以，AB=BE，CD=CE，AB+CD=BE+CE=20厘米，因此 梯形面积 =（AB+CD）BC2=20202=200（平方厘米）当求有关圆面积时，如果题中没有给出可求半径的条件，直接给出有关图形的面积时，可以考虑利用r2 解题 。【例16】如（图29），正方形的面积是30平方厘米，求圆的面积。分析与解 在（图29）中，很难求出半径 r 的长度，但如果能求出r2，也可求出圆的面积。正方形的边长就是半径 r ，正方形的面积等于r2，所示圆面积为 S =r2=3.1430=94.2(平方厘米)【例17