天津市红桥区2016年高三二模数学试卷(文)含答案

高三数学（ 文 ） 第 1 页 共 12 页 天津市红桥区 2016年 高三 二模 数学（文） 试卷 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120分钟。第 卷 1 至 3 页，第 卷 4 至 6 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 参考公式： 如果事件 A ， B 互斥，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P BU 柱体体积公式： V ，其中 s 表示柱体底面积， h 表示柱体的高 锥体体积公式： 13V 其中 s 表示柱体底面积， h 表示柱体的高 球体表面积公式： 24, 其中 R 表示球体的半径 球体体积公式：343其中 R 表示球体的半径 第 卷 注意事项： 1每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2本卷共 8 题，共 40 分。 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （ 1）已知集合 2| 1 0 ,A x x x R ， | 0 3 , B x x x R ，则 （ A） | 1 3 x x x R， （ B） | 1 3 x x x R ， （ C） | 1 3 x x xR ， （ D） | 0 3 x x x R， （ 2） 已知 抛物线 2 2 ( 0)y px p上一点 M 的横坐标为 3 ，且满足 | | 2MF p ，则抛物线方程为 （ A） 2 2 （ B） 2 4 高三数学（ 文 ） 第 2 页 共 12 页 （ C）2 12 D） 2 6 （ 3） 某程序框图如下 图所示，若输出的 26S ， 则判断框内为 （ A） 3?k （ B） 4?k （ C） 5?k （ D） 6?k （ 4） 函数 ( ) | 2 | xf x x e 的零点所在的区间是 （ A） ( 1,0) （ B） (0,1) （ C） (1,2) （ D） (2,3) （ 5） “ 2x ” 是 “ 2 20”成立的 （ A）既不充分也不必要条件 （ B）充要条件 （ C）必要而不充分条件 （ D）充分而不必要条件 （ 6） 函数 13( ) s i n 2 c o s 2 ,22f x x x x R,将函数 ()3个单位长度，得到函数 () () , 63上的最小值为 （ A） 0 （ B） 32（ C） 1 （ D） 12（ 7） 已知双曲线 22: 1 ( 0 , 0 )a ， 以 C 的右焦点 ( ,0)圆心，以 a 为半径的圆与 C 的一条 渐近线交于 ,，若 23AB c，则双曲线 C 的离心率为 （ A） 355 （ B） 3 2613（ C） 62（ D） 32（ 8）已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数，且 f(x 1) 1f（ x） ，若 f(x)在 1， 0上是减函数，记0.5()2() )则 （ A） （ B） a c b （ C） b c a （ D） 第 卷 高三数学（ 文 ） 第 3 页 共 12 页 注意事 项： 1用黑色墨水的钢笔或签字笔 将答案写在答题卡上 。 2本卷共 12 题，共 110 分。 二、填空题：本大题共 6个小题，每小题 5分，共 30分 （ 9 ）已知 i 是虚数单位 ， 则 (2 i)(1 3i) （ 10） 若直线 l 过点 ( 1,2) 且与直线 3 5 0 垂直，则直线 l 的方 程是 （ 11） 当 10， 若 函数 (1 )y x 的最大值为 112，则 a （ 12）如图，是一个几何体的三视图，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为边长为 1 的正方形 ，则该几何体外接球的表面积为 （ 13） 如图，已知圆内接四边形 边 长线交 长线于点 P ，连结 若 6C， 9则 （ 14） 已知等腰 ，点 D 为腰 一点，满足 2C 且 | | 3BD则 积的最大值为 . 三、解答题：本大题共 6小题，共 80分解答应写出文字说明 、证明过程或演算步骤 （ 15）（本小题满分 13 分） 在 钝角 中，内角 A B C， ， 所 对 的 边 分 别 为 ， ， 已 知 7a ，3b 11 （ ）求 c 和角 A 的大小； （ ）求 )6C 的值 （ 16）（本小题满分 13 分） 高三数学（ 文 ） 第 4 页 共 12 页 某工厂要安排生产 ， 两种产品，这些产品要在 , , ,A B C D 四种不同的设备上加工，按工艺规定，在一天内，每件产品在各设备上需要加工的时间，及各设备限制最长使用时间如下表： 设备 产品 每件需要加工时间 产品 每件需要加工时间 设备最长使用时间 A 2 小时 2 小时 12 小时 B 1 小时 2 小时 8 小时 C 4 小时 0 小时 16 小时 D 0 小时 4 小 时 12 小时 设计划每天生产产品 的数量为 x （件），产品 的数量为 y （件）， （ ）用 x ， y 列出满足设备限制使用要求的数学关系式，并画出相应的平面区域； （ ）已知产品 每件利润 2 （万元）产品 每件利润 3 （万 元），在满足设备限制使用要求的情况下，问该工厂在每天内产品 ，产品 各生产多少会使利润最大，并求出最大利润 . （ 17）（本小题满分 13 分） 如图，在四棱锥 P 中，底面 菱形，侧面 直角三角形，90o ,点 E 是 中点，且平面 平面 ( )证明： /面 ( )证明：平面 平面 （ ）若 2C， 60o ， 求异面直 线 成角的余弦值 高三数学（ 文 ） 第 5 页 共 12 页 （ 18）（本小题满分 13 分） 设椭圆 :C 22 1 ( 0 )xy ，过点 ( 2,1)Q ，右焦点 ( 2,0)F , （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）设直线 : ( 1)l y k x（ 0k ）分别交 x 轴， y 轴于 ,与椭圆 C 交于 , D求 k 值 ,并求出弦长 | （ 19）（本小题满分 14 分） 已知数列 差 0d ，1 2a，其前 n 项为n N ）且1 4 5, , 2a a S 成等比数列 （ ）求数列 n 项和 （ ）若 4数列 2前 n 项和为明：对 n N ， 4 33 （ 20）（本小题满分 14 分） 已知函数21( ) f x a x b x x ，（ , ） （ ）若函数 ()2处取得极值，求 ,说明分别取得的是极大值还是极小值； （ ）若函数 ()（ 1, (1)f ）处的切线的斜率为 1 ，存在 1, ，使得21( ) )2f x x a x x ( + 2 ) ( 实数 a 的取值范围 ； ( ) 若 2( ) ( ) (1 )2bh x x f x x ，求 () 1,e上的最小值及相应的 x 值 . 高三数学（ 文 ） 第 6 页 共 12 页 2016 红桥区 高三 二模 数 学（文）参考答案 一、选择题：每小题 5分，共 40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A B D C A B 二、填空题：每小题 5分，共 30分 题号 9 10 11 12 13 14 答案 5 5i 3 + +1=01123 3 6 三、解答题：共 6小题，共 80 分 （ 15）（本小题满分 13 分） 在 钝角 中，内角 A B C， ， 所 对 的 边 分 别 为 ， ， 已知 7a ，3b 11 （） 求 c 和角 A 的大小 ； （） 求 )6C 的值 （）因为 7a ， 3b 11所以2 53s i n 1 c o s 14 由余弦定理知：2 2 2 112 c o s 4 9 9 2 3 7 2 514c a b a b C ，故 5c . 由正弦定理知： 537s i n 314s i ， 因为 钝角 ， a c b ，所以 A 为钝角，故 120A. （） s i n ( 2 ) s i n 2 c o s c o s 2 s i 6C C C 225 3 1 1 3 1 1 1 7 12 ( 2 1 )1 4 1 4 2 1 4 2 9 8 高三数学（ 文 ） 第 7 页 共 12 页 （ 16）（本小题满分 13 分） 某工厂 要安排生产，两种产品，这些产品要在 , , ,A B C D 四种不同的设备上加工，按工艺规定，在一天内，每件产品在各设备上需要加工的时间，及各设备限制最长使用时间如下表： 设备 产品每件需要加工时间 产品每件需要加工时间 设备最长使用时间 A 2小时 2小时 12小时 B 1小时 2小时 8小时 C 4小时 0小时 16小时 D 0小时 4小时 12小时 设计划每天生产产品的数量为 x （件），产品的数量为 y （件）， （）用 x ， y 列出满足设备限制使用要求的数学关系式，并画出相应的平面区域； （）已知产品每件利润 2 （万元）产品每件利润 3 （万元），在满足设备限制使用要求的情况下，问该工厂在每天内产品，产品各生产多少会使利润最大，并求出最大利润 . 解： （）产品 的数量为 x ，产品的数量为 y ， x ， y 所满足的数学关系式为：2 2 12284 164 12 0 0 ，即62843 0 0 画出不等式组62843 0 0 所表示的平面区域，即可行域（图中阴影部分） 高三数学（ 文 ） 第 8 页 共 12 页 （）设最大利润为 z （万元），则目标函数 23z x y， 将 23z x y变形 233 ，这是斜率为 23，随 z 变化的一组平行直线，3轴上的截距，当3z 的值最大，又因为 x ， y 所满足的约束条件，所以由图可知，当直线 233 经过可行域上的点 M 时，截距3立方程组：284 16得 点 M 坐标为 (4,2) ，此时 2 4 3 2 1 4z . 所以，每天安排生产 4 件产品， 2 件产品，会使利润最大为 14（万元） （ 17）（本小题满分 13 分） 如图 ， 在四棱锥 P 中，底面 菱形 ，侧面 直角 三角形，90o ,点 E 是 中点，且 平面 平面 ( )证明： /面 ( )证明：平面 平面 （）若 2C， 60o ，求异面直线 成角的余弦值 ( )设 D OI ， 平 行四边形 ，故 O 为 中点。 连结 因为 点 E 是 中点， 所以 /E 平面 平面 所以 /面 ( ) 因为平面 平面 90o 故 平面 又 平面 所以 D , 而 底面 菱形，故 D 又 C CI 所以 平面 高三数学（ 文 ） 第 9 页 共 12 页 平面 所以 平面 平面 （）由 ( )因为 /D ， 故 为异面直线 成的角， 由已知 2C， 60o ， 底面 菱形 故 2A B B C A C P C ， 所以在直角三角形 ， 2C，故 22， 取 点 H ，则 C ， 平面 在直角三角形 ， 5， 3，故 22, 所以， 22，在三角形 ， 1 22c o s 4 F 所以 异 面直线 成角的余弦值为 24 （ 18）（本小题满分 13 分） 设椭圆 :C 22 1 ( 0 )xy ，过点 ( 2,1)Q ，右焦点 ( 2,0)F , （）求椭圆 C 的 方程； （）设直线 : ( 1)l y k x（ 0k ）分别交 x 轴， y 轴于 ,与椭圆 C 交于 , D求 k 值 ,并计算弦长 | 解：（）因为过点 ( 2,1)Q ，故有22211，由已知 2c 联立22222112解得： 224, 2，所以 椭圆 C 的方程为 22142 （）直线 : ( 1)l y k x与 x 轴交点 (1,0)C ， y 轴交点 (0, ) 高三数学（ 文 ） 第 10 页 共 12 页 联立 2224( 1)k x 消元得： 2 2 2 2(1 2 ) 4 2 4 0k x k x k 设1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y，则 212 2412k22( 1, )C N x y1( , )M D x k y 由 D： 212 24 112k ，解得： 22k由 0k 得 22k代入 得： 22 2 3 0 121，12 32， 221 2 1 2 3 4 2| | 1 ( ) 4 1 622M N k x x x x （ 19）（本小题满分 14分） 已知数列 公差 0d ，1 2a， 其 前 n 项为n N ） 且1 4 5, , 2a a S 成等比数列 （） 求数列 n 项和 （）若 4 数列 2前 n 项和为明：对 n N ， 4 33 （） 由1 2a和1 4 5, , 2a a S 成等比数列 ， 得 (2 3d)2 2(12 10d)， 解得 d 2 或 109dd 所以 d 2， 所以 2 ( 1 ) 2 2na n n 即数列 nS n n （）由 4得 2nb n， 因为，2 4 1 12 ( )( 2 ) 2n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 ( 1 ) 2 ( 1 ) 33 2 4 3 5 1 1 2 2 1 2nT n n n n n n L 又1 4 0( 2 ) ， 所以，对 n N ， 1 43高三数学（ 文 ） 第 11 页 共 12 页 故，对 n N 有 4 33 （ 20）（本小题满分 14 分） 已知函数21( ) f x a x b x x ，（ , ） （）若函数 ()2处取 得极值，求 ,说明分别取得的是极大值还是极小值； （）若函数 ()（ 1, (1)f ）处的切线的斜率为 1 ，存在 1, ，使得21( ) )2f x x a x x ( + 2 ) ( 实数 a 的取值范围 ； ( ) 若 2( ) ( ) (1 )2bh x x f x x ，求 () 1,e上的最小值及相应的 x 值 . 解：（）因为 ( ) 1af x ， (1) 1 0f a b ， 1( 2 ) 2 1 02f a b 。 由解得： 23a， 13b. 此时221( ) x x x x ， ( 1)( 2 )()3x ， x （ 0， 1） 1 （ 1,2） 2 （ 2， +） () - 0 + 0 - () 极小 增 极大 减 所以，在 1x 取得极小值，在 2x 取得极大值 （）若函数 ()1, (1)f ）处的切线的斜率为 1 ，则 (1) 1 1