高考数学难点突破_难点09__指数、对数函数

难点 9 指数函数、对数函数问题 指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题 . 难点磁场 ( )设 f(x)=11,F(x)=x21+f(x). (1)试判断函数 f(x)的单调性，并用函数单调性定义，给出证明； (2)若 f(x)的反函数为 f 1(x),证明：对任意的自然数 n(n 3),都有 f 1(n)1(3)若 F(x)的反函数 F 1(x),证明：方程 F 1(x)=0 有惟一解 . 案例探究 例 1已知过原点 O 的一条直线与函数 y=图象交于 A、 B 两点，分别过点 A、B 作 y 轴的平行线与函数 y=图象交于 C、 D 两点 . (1)证明：点 C、 D 和原点 O 在同一条直线上； (2)当 x 轴时，求点 命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力 级题目 . 知识依托： (1)证明三点共线的方法： (2)第 (2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程 (1)，即可求得 A 点坐标 . 错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题 . 技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A 的坐标 . (1)证明：设点 A、 B 的横坐标分别为 题意知： ,则 A、 B 纵坐标分别为、 B 在过点 O 的直线上，所以228118 x xx x ,点 C、 D 坐标分别为(x1,(x2,由于 18 x= 2lo g,lo 以 斜率： 18212 x xx x , 斜率： 28222 x xx x ，由此可知： k1= O、 C、 D 在同一条直线上 . (2)解：由 行于 x 轴知： 即： 1入 于 知 0, , 3 ,则点 A 的坐标为( 3 ， ). 例 2在 面上有一点列 P1(a1,P2(a2, ,Pn(an, ,对每个自然数 n 点 y=2000(10a)x(0bn,为边长能构成一个三角形的充要条件是 + (10a)2+(10a) 10,解得 5 1). 5( 5 1)1 时，函数 y= y=(1 a) ) 二、填空题 3.( ) 已知函数f(x)=)02( )(lo g)0( 22 则 1(x 1)=_. 4.( )如图，开始时，桶 1 中有 a L 水， t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线 y= 么桶 2 中水就是 y2=a 设过 5 分钟时，桶1 和桶 2 的水相等，则再过 _分钟桶 1 中的水只有8a. 三、解答题 5.( )设函数 f(x)=x 3a)(a0且 a 1),当点 P(x,y)是函数 y=f(x)图象上的点时，点 Q(x 2a, y)是函数 y=g(x)图象上的点 . (1)写出函数 y=g(x)的解析式； (2)若当 x a+2,a+3时，恒有 |f(x) g(x)| 1,试确定 a 的取值范围 . 6.( )已知函数 f(x)=a0 且 a 1),(x (0,+ ),若 x1,(0,+ ),判断21 f(f(与 f(2 21 )的大小 ，并加以证明 . 7.( )已知函数 x,y 满足 x 1,y a0 且 a1),求 取值范围 . 8.( )设不等式 2(+9(9 0 的解集为 M，求当 x M 时函数f(x)=(最大、最小值 . 参考答案 难点磁场 解： (1)由110,且 2 x 0 得 F(x)的定义域为 ( 1， 1)，设 1 1,则 F( F(12 212 1 )+(112222 11lo g ) )1)(1( )1)(1(l o g)2)(2( 21 21221 12 xx , ,2 ,2 ,上式第 2 项中对数的真数大于 1. 因此 F( F(0,F(F( F(x)在 ( 1， 1）上是增函数 . (2)证明：由 y=f(x)=112y=12 12,11 f 1(x)=12 12 f(x)的值域为 R， 1(x)的定义域为 R. 当 n 3 时， n) 12211112 21112 121 nn n 用数学归纳法易证 2n2n+1(n 3),证略 . (3)证明： F(0)=21, F 1(21)=0, x=21是 F 1(x)=0 的一个根 1(x)=0 还有一个解x0(1),则 0,于是 F(0)=x0(1) x)=0 有惟一解 . 歼灭难点训练 一、 题意： g(x)+h(x)=0x+1) 又 g( x)+h( x)=0 x+1)g(x)+h(x)=0 x+1) 由得： g(x)=2x,h(x)=0x+1)2x. 答案： C a1 时，函数 y=图象只能在 中选，又 a1 时， y=(1 a)x 为减函数 . 答案： B 二、 易求得 1(x)=)1( 2)1( 而： f 1(x 1)= ) ,2)2(),1(lo )2( ,2)2(),1(lo 题意， 5 分钟后， y1=nt,y2=a nt,y1= n=t 分钟桶 1 中的水只有8a,则 y1=n(5+t)=8a,解得 t=10. 答案： 10 三、 (1)设点 Q 的坐标为 (x ,y ),则 x =x 2a,y = y.即 x=x +2a,y= y . 点 P(x,y)在函数 y=x 3a)的图象上， y =x +2a 3a),即 y =21, g(x)=. (2)由题意得 x 3a=(a+2) 3a= 2a+20;= )3( 10,又 a0且 a 1, 0 a1, |f(x) g(x)|=|x 3a) |=|4 |f(x) g(x)| 1, 1 4 1, 0 a 1, a+22a.f(x)=4 a+2,a+3上为减函数， (x)=4 a+2,a+3上为减函数，从而 (x) (a+2)= 4a), (x) (a+3)= 6a),于是所求问题转化为求不等式组1)44(9( 由 6a) 1 解得 0 a12579,由 4a) 1 解得 0 a54, 所求 a 的取值范围是 0 a12579. f(f( x1,(0,+ ),(2 21 )2(当且仅当 x1=”号 )， 当 a1 时，有 21 )2, 21 21 )，21( 1 , 即21 f(f( f(2 21 )(当且仅当 x1=”号 ) 当 0 a 1 时，有 21 )2, 21( 1 ,即21 f(f( f(2 21 )(当且仅当 x1=”号） . 已知等式得： 1+2(1+2即 (1)2+(1)2=4,令 u=v=k= (u 1)2+(v 1)2=4(0),k=u+，圆弧 (u 1)2+(v 1)2=4(0)与平行直线系 v= u+k 有公共点，分两类讨论 . (1)当 u 0,v 0 时，即 a1时，结合判别式法与代点法得 1+ 3 k 2(1+ 2 ); (2)当 u 0,v 0,即 0 a 1时，同理得到 2(1 2 ) k 1 3 a1时， +2 2 ，最小值为 1+ 3 ；当 0 a 1 时， 最大值为 1 3 ，最小值为 2 2 2 . 2