高等代数(北大版)第10章习题参考答案

第十章第十章 双双线线性函数与辛空性函数与辛空间间 1 设 V 是数域 P 上的一个三维线性空间 是它的一组基 f 是 V 上 1 2 3 的一个线性函数 已知 f 1 f 2 1 f 3 1 3 2 3 1 2 求 f X X X 1 12 23 3 解 因为 f 是 V 上线性函数 所以有 f f 1 1 3 f 2 f 1 2 3 f f 3 1 2 解此方程组可得 f 4 f 7 f 3 1 2 3 于是 f X X X X f X f X f 1 12 23 31 12 23 3 4 X 7 X 3 X 123 2 设 V 及 同上题 试找出一个线性函数 f 使 1 2 3 f f 2 0 f 1 1 3 2 3 1 2 解 设 f 为所求 V 上的线性函数 则由题设有 f f 0 1 3 f 2 f 0 2 3 f f 1 1 2 解此方程组可得 f 1 f 2 f 1 1 2 3 于是aV 当 a 在 V 的给定基 下的坐标表示为 1 2 3 a X X X时 就有 1 12 23 3 f a f X X X 1 12 23 3 X f X f X f 1 12 23 3 X 2 X X 123 3 设 是线性空间 V 的一组基 f1 f2 f3 是它的对偶基 令 1 2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 2 3 试证 1 2 3 是 V 的一组基 并求它的对偶基 证 设 1 2 3 A 1 2 3 由已知 得 A 110 011 1 11 因为 0 所以1 2 3 是 V 的一组基 A 设 g1 g2 g3 是1 2 3 得对偶基 则 g1 g2 g3 f1 f2 f3 A 1 f1 f2 f3 011 112 111 因此 g1 f2 f3 g2 f1 f2 f3 g3 f1 2f2 f3 4 设 V 是一个线性空间 f1 f2 fs 是 V 中非零向量 试证 V 使 fi 0 i 1 2 s 证 对 s 采用数学归纳法 当 s 1 时 f1 0 所以 V 使 fi 0 即当 s 1 时命题成立 假设当 s k 时命题成立 即 V 使 fi i 0 i 1 2 k 下面证明 s k 1 时命题成立 若 f 0 则命题成立 若 f 0 则由 f 0 知 一定 V 1k 1k 1k 使 f b 设 fi di i 1 2 k 于是总可取数 c 0 使 1k ai cdi 0 i 1 2 k 令 则 V 且c fi ai cdi 0 i 1 2 k f cb 0 1k 即证 5 设1 2 s 是线性空间 V 中得非零向量 试证 fi 0 i 1 2 s i 证 因为 V 是数域 P 上得一个线性空间 V 是其对偶空间 若取定 V 中得一个非零向量 则可定义 V 的一个线性函数如下 f f f V 且是 V 的对偶空间 V 中的一个元素 于是 V 到其对偶空间的对偶空间 V 的映射 是一个同构映射 又因为1 2 s 是 V 中的非零向量 所以1 2 s 对偶空间 V 的对偶空间 V 中的非零向量 从而由上题知 f V 使 f i f 0 i 1 2 s i 即证 6 设 V P x 对 P x C0 C1x C2x V 定义 3 2 f p x 1 1 0 p x dx f p x 2 2 0 p x dx f p x 3 1 0 p x dx 试证 f f f 都是 V 上线性函数 并找出 V 的一组基 p1 x p2 x p3 x 使 123 f f f 是它的对偶基 123 证 先证是 V 上线性函数 即 f V 对g x h x V k P 由定义有 1 f g x h x 1 1 0 g xh x dx 1 0 g x dx 1 0 h x dx f g x f h x 11 f kg x k k f g x 1 1 0 kg x dx 1 0 g x dx 1 即证 f 同理可证 f f V 123 再设 p1 x p2 x p3 x 为 V 的一组基 且 f f f 是它的对偶基 若记 123 P1 x C0 C1x C2x 2 则由定义可得 f p x C0 C1 C2 1 1 1 0 p x dx 1 2 1 3 f p x 2C0 2C1 C2 0 2 2 0 p x dx 8 3 f p x C0 C1 C2 0 3 1 0 p x dx 1 2 1 3 解此方程组得 C0 C1 1 C2 3 2 故 P1 x 1 x x 3 2 2 同理可得 p2 x x 1 6 1 2 2 p3 x x x 1 3 1 2 2 7 设 V 是个 n 维线性空间 它得内积为 对 V 中确定得向量 定义 V 上的 一个函数 1 证明是 V 上的线性函数 2 证明 V 到 V 的映射是 V 到 V 的一个同构映射 在这个同构下 欧氏空间可看成 自身的对偶空间 3 证 1 先证明是 V 上的线性函数 即 V 对1 2 V k P 由定义有 1 2 1 2 1 2 1 2 k1 k1 k 1 k 1 故是 V 上的线性函数 2 设 是 V 的一组标准正交基 且对 V 由定义 1 2 n i 1 2 n i i 知 i j i j 1 0 ij ij 于是 是 的对偶基 从而 V 到 V 的映射是 V 与 V 1 2 n 1 2 n 中两基间的一个双射因此它也是 V 到 V 的一个同构映射 8 设是数域 P 上 N 维线性空间 V 得一个线性变换 A 1 证明 对 V 上现行函数 f f仍是 V 上的线性函数 A 2 定义 V 到自身的映射为 f f证明是 V 上的线性变换 AA 3 设 是 V 的一组基 f f f 是它的对偶基 并设在 1 2 n12n A 1 的矩阵为 A 证明 在 f f f 下的矩阵为 A 2 n A 12n 证 1 对 V 由定义知 f f 是数域 P 中唯一确定的元 A A 所以 f是 V 到 P 的一个映射 A 又因为 V k P 有 f f A A f A A f f A A f k f k f k A A A k f k f A A 所以 f是 V 上线性函数 A 2 对f V 有 f f V 故是 V 上的线性变换 A A A 3 由题设知 AA 1 2 n 1 2 n 设 f f f f f f BA 12n12n 其中 A a B b 且 f f f 是 的对偶基 于 ijn n ijn n 12n 1 2 n 是 f f 所以 a b i j 1 2 n 即证在 f f f j AA jjiij A 12 n 下的矩阵为 B A 9 设 V 是数域 P 上的一个线性空间 f f f 是 V 上的 n 个线性函数 12n 1 证明 下列集合 W V f 0 1 i n i 是 V 的一个子空间 W 成为线性函数 f f f 的零化子空间 12n 2 证明 V 的任一子空间皆为某些线性函数的零化子空间 证 1 因为 f f f 是 V 上的 n 个线性函数 所以 f V 1 i n 12n 且 f 0 0 i 1 2 n 因而 0 W 即证 W 非空 i 又因为 V P 有 f f f 0 i 1 2 n i i i f f 0 i i 所以 W W 即证 W 是 V 的一个子空间 2 设 W 是 V 的任一子空间 且 dim W m 则当 m n 时 只要取 f 为 V 的零函数 11 就有 W V V f 0 1 所以 W 是 f 的零化子空间 1 当 m 2 f 是 V 上的一个对称双线性函数 1 证明 V 中有非零向量使 f 0 2 如果 f 是非退化的 则必有线性无关的向量 满足 f 1 f f 0 证 1 设 为复数域上 N 维线性空间 V 的一组基 f 是 V 上的对称双 1 2 n 线性函数 则 f 关于基 的度量矩阵 A 为对称矩阵 于是 存在非退 1 2 n 化的矩阵 T 使 T AT B 0 00 r E 若令 T 1 2 3 n 1 2 n 则 也是 V 的一组基 且 f 关于基 1 2 3 n 1 2 3 的度量矩阵为 B 因此 n X X X Y Y Y V 有 1 12 2n n 1 12 2n n f X Y X Y X Y 1122rr f X X X 0 r n 2 1 2 2 2 r 故而 当 r 0 时 对 V 中任一非零向量 恒有 f 0 当 r 1 时 只要取 0 就有 f 0 2 当 r 2 时 只要取 i 0 就有 f 0 1 2 2 如果 f 是非退化的 则 f X Y X Y X Y 1122nn 因而只要取 1 2 1 2 i 2 1 2 1 2 i 2 就有 f 1 1 2 2 2 i 2 i f 0 1 2 2 2 i 2 f 0 1 2 2 2 i 2 即证 13 试证 线性空间 V 上双线性函数 f 是反对称的充要条件是 对任意的 V 都 有 f 0 证 必要性 因为 f 是反对称的 所以 V 恒有 f f 故 f 0 充分性 因为 f 是双线性函数 所以 V 有 f f f 0 故 f f 即 f 是反对称的 14 设 f 是 V 上对称或反对称的双线性函数 是 V 中的两个向量 若 f 0 则称正交 再设 K 是 V 的一个真自空间 证明 对K 必有 0 K L 使 f 0 对所有 K 都成立 证明 1 先证 f 是对称的双线性函数的情形 因为 K 是 V 的子空间 所以 f 是 K 上的对称双线性函数 设 dim K r 则 f 关于 K 的任意一组基的度量矩阵皆为对称矩阵 于是 必存在 K 的一组基 1 使 f 在这组基下的度量矩阵为对角矩阵 2 r D diag d d d 12 只要令 1 1 f d 1 2 2 f d 2 r r f d r 且当 d 0 1 i r 时 就删除 d 相应的项 则 0 K L 于是对任意 K 恒 ii 有 f 0 2 再证 f 是反对称双线性函数的情形 首先 若对给定K 若存在 K 使 f 0 则可令 使得 1 1 f 1 又因为 K L 是 V 的子空间 所以 f 也是 K L 上的反对称双 i i 线性函数 于是可将 扩充为 K L 的一组基 i i 1 1 2 2 r r 1 2 s 使 1 1 2 0 0 0 1 2 ii ij k fir fij fkLkr 故而 当 s 0 时 只要取 则对 K 恒有 f 0 1 当 s 0 时 只要取 则由 K L 1 1 1 1 2 2 r r 对 K 也有 f 0 其次 若对给定的K 及任意 K 使 f 0 则只要取 即可 15 设 V 与 f 同上题 K 是 V 的一个子空间 令 0 VfK 1 试证 K是 V 的子空间 K称为 K 的正交补 2 试证 如果 K K 0 则 V K K 证 1 因为 K 恒有 f 0 0 所以 0 K 即 K非空 另一方面 K k P K 有 1 2 f f f 0 1 2 1 2 f k k f 0 1 1 故 k K 从而 K是 V 的子空间 1 2 1 2 由于 K 和 K都是 V 的子空间 知 K KV 不妨设 K 是 V 的一个真子空间 V 若 K 则证毕 若K 则存在 0 K L 使 f 0 K 于是 K 又因为 k K k P 显然 K 0 否则 K K 0 从而 0 这是不可能的 因此有 K K 1 1 故 V K K 即证 16 设 V K 同上题 并设 f 限制 试证 V K K 的充要条件是 f 在 V 上是非退化的 证 必要性 设 V K K 且 f 0 K 下证 0 设 K K 则 K 有 1 2 1 2 0 f f f f 1 2 1 2 f 1 由于 f 在 K 上是非退化的 故 0 从而 K 1 2 同理 K 由 f 0 可得 K 但 K K 0 因而得知 0 充分性 设 K K 若 0 则只要将扩充为一组基 1 1 1 2 m 由于 K 因而必有 1 0 1 2 ij fjm 于是 K 皆有 f 0 这与 f 限制在 K 上非退化矛盾 所 以 0 也就是 K K 0 1 由此即证 V K K 17 设 f 是 N 维线性空间 V 上的非退化对称双线性函数 对 V 中的一个元素 定义 V 中的一个元素 f V 试证 1 V 到 V 的映射 是一个同构映射 2 对 V 的每组基 有 V 的唯一的一组基 1 2 n 1 2 使 f n i jij 4 如果 V 是复数域上的 N 维线性空间 则有一组基 使 1 2 n i 1 2 n i i 证 1 因为 f 是 N 维线性空间 V 上的非退化对称双线性函数 所以存在 V 的一组基 使 1 2 n f i j 0 i d ij ij 再由 V 的定义作 V 设有线性关系 1 2 n k k k 0 1 1 2 2 n n 则 0 0 k k k i1 1 2 2 n n i k k k 1 1 i2 2 in n i k f k f k f 1 1 i2 2 in n i k d i 1 2 n ii 但 d 0 i 1 2 n 故 i k 0 i 1 2 n i 这意味着 线性无关 因而 为 V 的一组 1 2 n 1 2 n 基 故 V 到 V 的映射 是一个双映射 另一方面 V k P 有 f f f k f k k f k 故 V 到 V 的映射 是一个同构映射 2 设 V 中的线性函数 f f f 是 V 的基 的对偶基 于是存在 V 12n 1 2 n 的唯一一个向量组 使 1 2 n f f V i 1 2 n i i i 且 f f i j i ji j 1 0 ij ij ij 另一方面 设有线性关系 k k k 0 1 12 2n n 则 0 f k k k 1 12 2n n i k f k f k f 1 1 i2 2 in n i k i 1 2 n i 故 k 0 i 1 2 n 这意味着 线性无关 因而 为 V 的 i 1 2 n 1 2 n 一组基 只要令 即证 1 1 2 2 n n 3 因为 V 是复数域上 1 的 N 维线性空间 f 是 N 维线性空间 V 上的非退化 对称双线性函数 所以存在 V 的一组基 使 f 在这组基下的度量 1 2 n 矩阵为单位矩阵 再由 2 即可知 i 1 2 n i i 18 设 V 是对于非退化对称双线性函数 f N 维准欧氏空间 V 的一组基 1 如果满足 2 n f 1 i 1 2 p i i f 1 i p 1 p 2 n i i f 0 i j i j 则称为 V 的一组正交基 如果 V 上的线性变幻满足A f f V A A 则为 V 的一个准正交变换 试证 A 1 准正交变换是可逆的 且逆变换也是准正交变换 2 准正交变换的乘积也是准正交变换 3 准正交变换的特征值等于 1 或 1 4 准正交变换在正交积上的矩阵 A 满足 A A 1 1 1 1 1 1 1 1 证 1 因为 f 是非退化的对称双线性函数 所以存在 V 的一组基 1 使 f 在该基下的度量矩阵为对角矩阵 设其为 2 n A diag d d d 12n 其中 d 0 i 1 2 n i 若为 V 的一个准正交变换 则由定义有A V L AA 1 A 2 A n 于是对于线性关系 k k k 0 1A 12 A 2n A n 有 0 f 0 f k k A i