高考数学难点突破_难点21__直线方程及其应用

难点 21 直线方程及其应用 直线是最简单的几何图形，是解析几何最基础的部分，本章的基本概念；基本公式；直线方程的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的判定都是解析几何重要的基础内容 活运用的程度，线性规划是直线方程一个方面的应用，属教材新增内容，高考中单纯的直线方程问题不难，但将直线方程与其他知识综合的问题是学生比较棘手的 . 难点磁场 ( )已知 |a| 1,|b| 1,|c| 1,求证： a+b+c. 案例探究 例 1某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘 画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为 (90 180 )镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距 a m,b m,(a b) 命题意图：本题是一个非常实际的数学问题，它不仅考查了直线的有关概念以及对三角知识的综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力，属级题目 . 知识依托：三角函数的定义，两点连线的斜率公式，不等式法求最值 . 错解分析：解决本题有几处至关重要，一是建立 恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求 最大值 选择求最大值 技巧与方法：欲使看画的效果最佳，应使 最大值，欲求角的最值，又需求角的一个三角函数值 . 解：建立如图所示的直角坐标系， 镜框边， 画的宽度，O 为下边缘上的一点，在 x 轴的正半轴上找一点 C(x,0)(x 0),欲使看画的效果最佳，应使 得最大值 . 由三角函数的定义知： A、 B 两点坐标分别为 (、 (,于是直线 斜率分别为： xa a .c o ss a n xb C 于是 kk 1c o s)(s i n)(c o s)(s i n)(2 由于 锐角，且 x 0,则 2 ,当且仅当x，即x= ，等号成立，此时 最大值，对应的点为 C( 0),因此，学生距离镜框下缘 时，视角最大，即看画效果最佳 . 例 2预算用 2000 元购买单件为 50 元的桌子和 20 元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的 ，问桌、椅各买多少才行？ 命题意图：利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用，本题主要考查找出约束条件与目标函数、准确地描画可行域，再利用图形直观求得满足题设的最优 解，属级题目 . 知识依托：约束条件，目标函数，可行域，最优解 . 错解分析：解题中应当注意到问题中的桌、椅张数应是自然数这个隐含条件，若从图形直观上得出的最优解不满足题设时，应作出相应地调整，直至满足题设 . 技巧与方法：先设出桌、椅的变数后，目标函数即为这两个变数之和，再由此在可行域内求出最优解 . 解：设桌椅分别买 x,y 张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件 为0,72 0 072 0 0,2 0 0 02050得 A 点的坐标为 (7200，7200) 由27525, 0 0 02050 得 B 点的坐标为 (25，275) 所以满足约束条件的可行域是以 A(7200，7200)， B(25，275)，O(0， 0)为顶点的三角形区域 (如右图 ) 由图形直观可知，目标函数 z=x+y 在可行域内的最优解为 (25，275)，但注意到 x N,y N*,故取 y=37. 故有买桌子 25 张，椅子 37 张是最好选择 . 例 3抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线 px(p 0)(441,4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点 P，折射后又射向抛物线上的点 Q，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线 l： 2x 4y 17=0 上的点 N，再折射后又射回点 M(如下图所 示 ) (1)设 P、 Q 两点坐标分别为 (x1, (x2,证明： (2)求抛物线的方程； (3)试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点 M 关于 在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由 . 命题意图：对称问题是直线方程的又一个重要应用 查了学生理解问题、分析问题、解决问题的能力，属级题目 . 知识依托：韦达定理，点关于直线对称，直线关于直线对称，直线 的点斜式方程，两点式方程 . 错解分析：在证明第 (1)问题，注意讨论直线 斜率不存在时 . 技巧与方法：点关于直线对称是解决第 (2)、第 (3)问的关键 . (1)证明：由抛物线的光学性质及题意知 光线 过抛物线的焦点 F(2p， 0)， 设直线 方程为 y=k(x2p) 由式得 x=p,将其代入抛物线方程 ，整理，得 y2,由韦达定理， 当直线 斜率角为 90时，将 x=2 y= p,同样得到 (2)解：因为光线 直线 l 反射后又射向 M 点，所以直线 直线 于直线 点 M(441， 4)关于 l 的对称点为 M (x ,y )，则 0172442441212144141451直线 方程为 y= 1,Q 点的纵坐标 1， 由题设 P 点的纵坐标 ，且由 (1)知： 4 ( 1)= 得 p=2,故所求抛物线方程为 x. (3)解：将 y=4 代入 x,得 x=4，故 P 点坐标为 (4， 4) 将 y= 1 代入直线 l 的方程为 2x 4y 17=0,得 x=213, 故 N 点坐标为 (213， 1) 由 P、 N 两点坐标得 直线 方程为 2x+y 12=0, 设 M 点关于直线 对称点 M1(x1,14101224244121)2(4414111111又 1, 1)的坐标是抛物线方程 x 的解，故抛物线上存在一点 (41， 1)与点 N 对称 . 锦囊妙计 重点掌握好直线方程的特征值 (主要指斜率、截距 )等问题；直线平行和垂直的条件；与距离有关的问题等 . 学里 面所涉及到的对称一般都可转化为点关于点或点关于直线的对称 线性规划中的可行域，实际上是二元一次不等式 (组 )表示的平面区域 z=ax+ t=ax+此直线往右 (或左 )平移时， t 值随之增大 (或减小 )，要会在可行域中确定最优解 . 此有关函数、数列、不等式、复数等代数问题往往借助直线方程进行，考查学生的综合能力及创新能力 . 歼灭难点训练 一、 选择题 1.( )设 M=120 110,110 110 2002200120012000 N，则 M 与 N 的大小关系为 ( ) N B. M=N N 2.( )三边均为整数且最大边的长为 11 的三角形的个数为 ( ) 二、填空题 3.( )直线 2x y 4=0 上有一点 P，它与两定点 A(4， 1)， B(3， 4)的距离之差最大，则 P 点坐标是 _. 4.( )自点 A( 3， 3)发出的光线 l 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射光线所在直线与圆 x2+4x 4y+7=0 相切，则光线 l 所在直线方程为 _. 5.( )函数 f( )=2的最大值为 _，最小值为 _. 6.( )设不等式 2x 1 m(1)对一切满足 |m| 2 的值均成立，则 x 的范围为_. 三、解答题 7.( )已知过原点 O 的一条直线与函数 y=图象交于 A、 B 两点，分别过点 A、 B 作 y 轴的平行线与函数 y=图象交于 C、 D 两点 . (1)证明：点 C、 D 和原点 O 在同一直线上 . (2)当 行于 x 轴时，求点 A 的坐标 . 8.( )设数列 前 n 项和 Sn=na+n(n 1)b， (n=1,2, ),a、 b 是常数且 b 0. (1)证明： 等差数列 . (2)证明：以 (an,1)为坐标的点 Pn(n=1,2, )都落在同一条直线上，并写出此直线的方 程 . (3)设 a=1,b=21,C 是以 (r,r)为圆心， r 为半径的圆 (r 0)，求使得点 时， r 的取值范围 . 参考答案 难点磁场 证明：设线段的方程为 y=f(x)=(1)x+2 b c,其中 |b| 1,|c| 1,|x| 1,且 1 b 1. f( 1)=1 b c=(1 (1 b)+(1 c) 0 f(1)=1+2 b c=(1 b)(1 c) 0 线段 y=(1)x+2 b c( 1 x 1)在 x 轴上方，这就是说，当 |a| 1,|b| 1,|c| 1 时，恒 有 a+b+c. 歼灭难点训练 一、 问题转化为比较 A( 1， 1）与 B(102001， 102000）及 C(102002， 102001）连线的斜率大小，因为 B、 C 两点的直线方程为 y=101x，点 A 在直线的下方， M N. 答案： A 三角形的另外两边长为 x,y,则 11110110点 (x,y）应在如右图所示区域内 当 x=1 时， y=11；当 x=2 时， y=10,11； 当 x=3 时， y=9,10,11；当 x=4 时， y=8,9,10,11; 当 x=5 时， y=7,8,9,10,11. 以上共有 15 个， x,y 对调又有 15 个，再加上 (6， 6）， (7， 7），(8， 8）， (9， 9）， (10， 10）、 (11， 11）六组，所以共有 36 个 . 答案： C 二、 A 关于 l 的对称点 A， A B 与直线 l 的交点即为所求的 P 点 . 答案： P(5， 6） 线 l 所在的直线与圆 x2+4x 4y+7=0 关于 x 轴对称的圆相切 . 答案： 3x+4y 3=0 或 4x+3y+3=0 f( )=2表示两点 (与 (2,1)连线的斜率 . 答案：340 不等式变为 (1)m+(1 2x) 0,构造线段 f(m)=(1)m+1 2x, 2 m 2,则 f( 2) 0,且 f(2) 0. 答案：2 132 17 7.(1)证明：设 A、 B 的横坐标分别为 题设知 1,1, 点 A(x1,B(x2, 因为 A、 B 在过点 上，所以228118 x xx x ,又点 C、 x1,(x2, 由于 228222118112 l o o g,l o o g x xx xx 由此得 O、 C、 D 在同一直线上 . (2)解：由 行于 x 轴，有 x2=其代入228118 x xx x ,得 由于 1 知 0,故 3 ,于是 A( 3 ， ). 9.(1)证明：由条件，得 1=a,当 n 2 时， 有 n 1= na+n(n 1)b (n 1)a+(n 1)(n 2)b =a+2(n 1)b. 因此，当 n 2 时，有 1= a+2(n 1)b a+2(n 2)b =2b. 所以 以 a 为首项， 2b 为公差的等差 数列 . (2)证明： b 0,对于 n 2,有21)1(2)1()1(2)1()11()1(11所有的点 Pn(an,1)(n=1,2, )都落在通过 P1(a,a 1)且以21为斜率的直线上 y (a 1)= 21(x