矩阵的初等变换在线性代数中的应用（四）

矩阵的初等变换在线性代数中的应用 四 矩阵的初等变换在线性代数中的应用 四 李志慧 陕西师范大学数学与信息科学学院 副教授 博士 西安 710062 5 求标准正交基 求标准正交基 通常的 Schmidt 方法 使我们可以从欧氏空间的任意一个基出发 求出一个正交基 n R 来 再单位化 求出一个标准正交基 下面给出一种运用矩阵的初等变换 从欧氏空间 的任意一个基求标准正交基的方法 3 n R 设是的任意一个基 以为列向量构成矩阵 21niiii aaaa n Rni 2 1 i a 则是一个阶正定矩阵 必与单位矩阵合同 即存在阶可逆矩阵 ji aA AA nEnQ 使得 5 EQAAQ 即 6 EAQAQ 5 式说明 对矩阵施行一系列的初等变换 相应的初等矩阵的乘积 及一系列AA Q 的行初等变换 相应的初等矩阵的乘积为 可变成单位矩阵 6 式表明 的列向 QAQ 量组是的一个标准正交基 可以通过对矩阵施行与对矩阵所施行的相同系 n RAQAAA 列的列初等变换求出 而不必通过先求再与相乘得到 QA 于是 得到求标准正交基的矩阵初等变换法 AQ E A AA A AA 施行列初等变换对 初等变换 列 行 施行对 的列向量组即为所求 AQ 例例 7 把 变成单位 0 0 1 1 1 a 0 1 0 1 2 a 1 0 0 1 3 a 1 1 1 1 4 a 正交的向量组 解 令 则 1100 1010 1001 1111 A 1111 1001 0101 0011 A 4000 0211 0121 0112 AA 1100 1010 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 4000 0 2 3 2 1 0 0 2 1 2 3 0 0001 12 12 1100 1010 1001 1111 4000 0211 0121 0112 行除第 列除第 A AA 1100 1010 0100 2 1 111 2 1 4000 021 2 1 012 2 1 0 2 1 2 1 1 2 1 13 2 1 12 2 1 13 2 1 12 行第行第 列第行第 列第列第 列第列第 1100 1 3 1 6 2 0 1 3 1 6 1 2 1 1 3 1 6 1 2 1 4000 0 3 4 00 0010 0001 1 12 3 00 1 12 1 6 2 0 1 12 1 6 1 2 1 1 12 1 6 1 2 1 4000 0100 0010 0001 2 1 12 3 00 2 1 12 1 6 2 0 2 1 12 1 6 1 2 1 2 1 12 1 6 1 2 1 1000 0100 0010 0001 所以所求单位正交的向量组为 0 0 2 1 2 1 1 0 6 2 6 1 6 1 2 12 3 12 1 12 1 12 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 4 需指出的是 的行向量组 正是的列向量组 所以有求标准正交基的矩 AQAQ AQ 阵初等变换法的另一形式 AQE A AA AAA 施行行初等变换对 初等变换 列 行 施行对 的行向量即为所求 AQ 如果需要求出 则由可知 对单位短阵施行同样的列初等变换得到 QEQQ EQ 即 Q E E AA E AA 施行列初等变换对 初等变换 列 行 施行对 由此可以看出 利用矩阵的初等变换求欧氏空间的一组标准正交基 比较简单而且 n R 操作方便 四 小结四 小结 本文介绍了矩阵的初等变换在解决线性代数的有关问题中所具有的特殊作用 特别地 我们论述了矩阵的初等变换在求矩阵的秩 向量组的极大线性无关组 解线性方程组以及 求标准正交基等问题中的应用 并给出了部分例子 可以看出 利用矩阵初等变换在处理 相应问题问题时具有简单 快速 易于操作等特点 值得注意的是 矩阵的初等变换共有 六种 当我们处理不同的问题时 可能使用初等变换的种类会不一样 如在本文中我们发 现 在求向量组的极大线性无关组时只用了三种类型 而求矩阵的初等变换时却可以用六 种初等变换 因此 我们在具体使用时要灵活应用 实质上 利用矩阵的初等变换还可以 得到解决求矩阵的逆 特征值与特征向量 二次型的标准型等问题的有效方法 当然 我 们在学习中可能还会发现利用矩阵的初等变换来解决有关问题的典型例子 这也是值得我 们进一步探讨的一个问题 参考文献参考文献 1 1 北京大学数学系几何与代数小组 高等代数 高教出版社 1988 年 3 月 2 2 张小红 蔡秉徒 高等代数专题研究选