第一学期线性代数复习知识点及练习题

1 2008 2009 学年第一学期 线性代数 复习知识点和练习题 一 行列式 1 行列式 性质 计算 展开式 例 1 设 则 8 0 2 k k k 例 2 若 则 2 2047 132 xyz 101 131 xyz 例 3 已知四阶行列式中第三列元素依次为 它们的余子式依次分别为 则 D1 2 0 1 5 3 7 4 D 例 4 计算四阶行列式 1222 2222 2232 2224 D 二 矩阵 1 矩阵的运算 加法 数乘 乘法 转置 2 矩阵的逆 定义 求逆 3 矩阵的初等变换 行阶梯形矩阵 行最简形矩阵 4 矩阵的秩 定义 用初等行变换求秩 例 1 设 则 21 10 A 02 10 B TT A B TAB 例 2 已知 则 25 13 A 1 A A A A 2 A 例 3 已知为三阶方阵 且 则 A 2A 1 A A 3 A 例 4 若方阵满足 则 A 2 33AAEO 1 A 1 AE 例 5 设 则 1021 2031 3043 A R A 例 6 设为矩阵且 则 A4 3 2R A 102 020 103 B R AB 例 7 设 求 213 122 132 A 1 A 例 8 求矩阵使 X 23121 12010 12231 X 2 三 向量 1 向量的线性运算 2 向量的线性表示及判断 3 向量组的线性相关性 定义 判断 4 向量组的秩 极大无关组 例 1 已知向量 且 则 3 5 1 2 1 2 3 0 23 例 2 已知向量与正交 则 1 2 3 2 1 a a 例 3 已知向量 线性相关 则 1 1 2 3 2 2 1 0 3 5 5 a a 例 4 设向量组 求向量组的秩 求向量组的一个极大无关组 并把 1234 1114 1 1 3 2 2135 其余向量用该极大无关组线性表示 四 线性方程组 1 齐次线性方程组的解的判断和性质0Ax 2 非齐次线性方程组的解的判断和性质Axb 3 齐次线性方程组的基础解系和通解0Ax 4 非齐次线性方程组的通解Axb 例 1 若齐次线性方程组有非零解 则 123 23 3 0 0 0 xxx xx x 例 2 求线性方程组的基础解系和通解 1234 1234 1234 220 240 220 xxxx xxxx xxxx 例 3 求非齐次线性方程组的通解 123 123 123 2 23 34 xxx xxx xxx 五 相似矩阵 1 矩阵的特征值和特征向量 定义 求解 性质 2 相似矩阵 定义 性质 3 矩阵的对角化 条件 方法 4 对称矩阵的对角化 例 1 三阶方阵的特征值为 则 A1 2 1 A 1 A 2 32 AAE 3 例 2 设方阵与相似 且 则 AB 3R A R B 例 3 设 求的特征值与特征向量 212 533 102 A A 例 4 求正交矩阵使与对角阵相似 Q 120 222 023 A 例 5 三阶方阵的特征值对应的特征向量 求 A 1 0 2 1 3 3 1 0 2 1 p 2 1 0 1 p 3 0 1 1 p A 例 6 已知是矩阵的一个特征向量 则 1 1 1 p 212 53 102 Aa a 六 二次型 1