必修二3.2.-直线的方程(教案).doc

3.2 直线的方程教案 A第1课时教学内容：3.2.1 直线的点斜式方程 3.2.2 直线的两点式方程教学目标一、知识与技能1. 理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；2. 能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；3. 掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；4.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.二、过程与方法 经历点斜式方程的推导过程，通过对比理解“截距”与“距离”的区别在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点.三、情感、态度与价值观通过体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，能用联系的观点看问题.教学重点、难点 教学重点：直线的点斜式方程、斜截式方程与两点式方程.教学难点：直线的点斜式方程、斜截式方程与两点式方程的应用.教学关键：抓住各种方程的形式及各种形式方程的量，熟悉求出这些量的方法，并能应用直线方程的各种形式写出直线的方程.教学突破方法：首先创设情景，通过引导学生探究能够确定一条直线的条件，并利用这些条件写出直线的四种形式的方程，通过例题及适量的练习进行巩固和提高.教法与学法导航教学方法：问题教学法、讨论法.通过问题的引入，激起学生对直线方程写法探究的兴趣，总结其规律.学习方法：自主学习，自主探究讨论，合作交流，练习巩固.教学准备教师准备：多媒体课件（用于展示问题，引导讨论，出示答案）.学生准备：直线与一次函数的关系、练习本.教学过程 详见下页表格教学环节教学内容师生互动设计意图创设情境导入新课1在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？学生回顾，并回答. 然后教师指出，直线的方程，就是直线上任意一点的坐标（x， y）满足的关系式.使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知.概念形成2直线l经过点P0 （x0， y0），且斜率为k. 设点P （x， y）是直线l上的任意一点，请建立x，y与k，x0， y0之间的关系.学生根据斜率公式，可以得到，当xx0时，即y y0 = k （x x0） （1）老师对基础薄弱的学生给予关注、引导，使每个学生都能推导出这个方程.培养学生自主探索的能力，并体会直线的方程，就是直线上任意一点的坐标（x， y）满足的关系式，从而掌握根据条件求直线方程的方法.3（1）过点P0 （x0， y0），斜率是k的直线l上的点，其坐标都满足方程（1）吗？学生验证，教师引导.使学生了解方程为直线方程必须满足两个条件.（2）坐标满足方程（1）的点都在经过P0 （x0， y0），斜率为k的直线l上吗？学生验证，教师引导. 然后教师指出方程（1）由直线上一定点及其斜率确定，所以叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.使学生了解方程为直线方程必须满足两个条件.概念深化4直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？学生分组互相讨论，然后说明理由.使学生理解直线的点斜式方程适用范围.续上表5（1）x轴所在直线的方程是什么？y轴所在直线的方程是什么？（2）经过点P0 （x0， y0）且平行于x轴（即垂直于y轴）的直线方程是什么？（3）经过点P0 （x0， y0）且平行于y轴（即垂直于x轴）的直线方程是什么？教师引导学生通过画图分析，求得问题的解决.进一步使学生理解直线的点斜式方程的适用范围，掌握特殊直线方程的表示形式.应用举例6例1 直线l经过点P0 （ 2，3），且倾斜角= 45 . 求直线l的点斜式方程，并画出直线l.教师引导学生分析要用点斜式求直线方程应已知哪些条件？题目哪些条件已经直接给予，哪些条件还有待去求. 在坐标平面内，要画一条直线可以怎样去画.xy6421120P0P1 例1 【解析】直线l经过点P0 （2，3），斜率k = tan45=1代入点斜式方程得y 3 = x + 2画图时，只需再找出直线l上的另一点P1 （x1，y1），例如，取x1= 1，y1 = 4，得P1 的坐标为（ 1，4），过P0 ，P1的直线即为所求，如上图.学生会运用点斜式方程解决问题，清楚用点斜式公式求直线方程必须具备的两个条件：（1）一个定点；（2）有斜率. 同时掌握已知直线方程画直线的方法.续上表概念深化7已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为（0， b），求直线l的方程.学生独立求出直线l的方程：y = kx + b （2）在此基础上，教师给出截距的概念，引导学生分析方程（2）由哪两个条件确定，让学生理解斜截式方程概念的内涵.引入斜截式方程，让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程，是其中一种特殊的情形.8观察方程y = kx + b，它的形式具有什么特点？学生讨论，教师及时给予评价.深入理解和掌握斜截式方程的特点.9直线y = kx + b在x轴上的截距是什么？学生思考回答，教师评价.使学生理解“截距”与“距离”的区别.方法探究10你如何从直线方程的角度认识一次函数y = kx + b？一次函数中k和b的几何意义是什么？你能说出一次函数y = 2x 1，y = 3x，y = x + 3图象的特点吗？学生思考、讨论，教师评价. 归纳概括.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.应用举例11例2 已知直线l1：y = k1 + b1，l2：y2 = k2 x + b2 . 试讨论：（1）l1l2的条件是什么？（2）l1l2的条件是什么？教师引导学生分析：用斜率判断两条直线平行、垂直结论. 思考（1）l1l2时，k1，k2；b1，b2有何关系？（2）l1l2时，k1，k2；b1，b2有何关系？在此由学生得出结论；l1l2k1 = k2，且b1b2；l1l2k1k2 = 1.例2 【解析】（1）若l1l2，则k1 = k2，此时l1、l2与y轴的交点不同，即b1 = b2；反之，k1 = k2，且b1 = b2时，l1l2 .于是我们得到，对于直线l1：y = k1x + b1，l2：y = kx + b2 l1l2k1 = k2，且b1b2；l1l2k1k2 = 1.掌握从直线方程的角度判断两条直线相互平行或相互垂直；进一步理解斜截式方程中k，b的几何意义.续上表概念的形成概念的深化12.根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：（1），（2）13.当时，方程可以写成由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少种方法来求直线的方程？哪种方法更为简捷？然后求出直线方程：14.的几何意义是什么？什么是截距式方程？教师给出中点坐标公式，学生根据自己的理解，选择恰当方法求出边BC所在的直线方程和该边上中线所在的直线方程.在此基础上，学生交流各自的作法，并进行比较.1. 利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线经过两点，求直线的方程.（2）已知两点其中，求通过这两点的直线方程.2. 若点中有或，此时这两点的直线方程是什么？3. 例3 教学已知直线与轴的交点为A，与轴的交点为B，其中，求直线的方程.4. 例4教学 已知三角形的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在的直线方程.遵循由浅及深，由特殊到一般的认知规律.使学生在已有的知识基础上获得新结论，以温故知新.使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式.使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形.使学生会根据条件选择恰当的直线方程解决问题.续上表小结教师引导学生概括：直线方程四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）互相之间的联系的理解.学生归纳后老师补充使学生对本节课所学的知识有一个整体性的认识，了解知识的来龙去脉.课堂作业1. 求倾斜角是直线的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程是：（1）经过点； （2）在y轴上的截距是5.【解析】直线的斜率， 其倾斜角=120，由题意，得所求直线的倾斜角，故所求直线的斜率.（1）所求直线经过点，斜率为，所求直线方程是，即.（2）所求直线的斜率是，在y轴上的截距为5，所求直线的方程为，即.2. 直线l过点P（2，3）且与x轴，y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段AB的中点，求直线l的方程.【解析】设直线l的斜率为k，直线l过点（2，3）， 直线l的方程为y 3 = kx （2），令x = 0，得y = 2k + 3；令y = 0，得.A、B两点的坐标分别为A，B（0，2k + 3）. AB的中点为（2，3）， 直线l的方程为，即直线l的方程为3x 2y +12 = 0.3. 已知DABC三个顶点坐标A（-1，8）、B（6，4）、C（0，0），求与BC边平行的DABC的一条中位线所在直线的方程【解析】 设AB、AC边的中点分别为E、F，则EF即为所求直线.由中点坐标公式可得E（，6）、F（，4），由直线方程的两点式可得直线EF的方程为，即为2x-3y+13=0.第2课时教学内容：3.2.3 直线的一般式方程教学目标一、知识与技能 1. 明确直线方程一般式的形式特征；2. 会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；3. 会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.二、过程与方法 学会用分类讨论的思想方法解决问题.三、情感、态度与价值观 1. 认识事物之间的普遍联系与相互转化；2. 用联系的观点看问题教学重点、难点 教学重点：直线方程的一般式.教学难点：对直线方程一般式的理解与应用.教学关键：通过直线一般式方程与其他形式方程的互化，理解在直线的一般式方程条件下，直线平行与垂直的条件.教学突破方法：首先创设问题情境，提出问题，引起学生思考，对学生进行分组讨论，在探究的基础上，得出结论，及时进行练习巩固.教法与学法导航教学方法：问题教学法，练习法.教师围绕直线方程的一般式提出一系列有针对性的问题，要求学生思考并回答.通过一定的练习对本节知识达到巩固和提高的目的.学习方法：自主探究，合作交流.学生通过思考并回答教师所提出的问题，达到对直线方程一般式的理解应用.教学准备教师准备：多媒体幻灯片.学生准备：回顾初中所学的二元一次方程及其解的概念.教学过程问 题设计意图师生活动1.（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示吗？（2）每一个关于的二元一次方程（A，B不同时为0）都表示一条直线吗？使学生理解直线和二元一次方程的关系. 教师引导学生用分类讨论的方法思考探究问题（1），即直线存在斜率和直线不存在斜率时求出的直线方程是否都为二元一次方程.对于问题（2），教师引导学生理解要判断某一个方程是否表示一条直线，只需看这个方程是否可以转化为直线方程的某种形式.为此要对B分类讨论，即当时和当B=0时两种情形进行变形.然后由学生去变形判断，得出结论： 关于的二元一次方程，它都表示一条直线. 教师概括指出：由于任何一条直线都可以用一个的二元一次方程表示；同时，任何一个关于的二元一次方程都表示一条直线. 我们把关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form）.2. 直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？使学生理解直线方程一般式与其他形式的不同点. 学生通过对比、讨论，发现直线方程的一般式与其他形式的直线方程的一个不同点是：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与y轴垂直的直线. 续上表3. 在方程中，A，B，C为何值时，方程表示的直线（1）平行于轴；（2）平行于轴；（3）与轴重合；（4）与重合.使学生理解二元一次方程的系数和常数项对直线位置的影响. 教师引导学生回顾前面所学过的与x轴平行和重合、与y轴平行和重合的直线方程的形式.然后由学生自主探索得到问题的答案.4. 例5 教学 已知直线经过点A（6，-4），斜率为，求直线的点斜式和一般式方程. 使学生体会把直线方程的点斜式转化为一般式，把握直线方程一般式的特点.学生独立完成，然后教师检查、评价、反馈.指出：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：一般按含项、含项、常数项顺序排列；项的系数为正；，的系数和常数项一般不出现分数；无特别加以要求时，直线方程的结果写成一般式.5. 例6 教学 把直线的一般式方程化成斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形.使学生体会直线方程的一般式化为斜截式，和已知直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法. 先由学生思考解答，并让一个学生上黑板板书.然后教师引导学生归纳出由直线方程的一般式，求直线的斜率和截距的方法：把一般式转化为斜截式可求出直线的斜率和直线在轴上的截距.求直线与轴的截距，即求直线与轴交点的横坐标，为此可在方程中令=0，解出值，即直线在轴的截距. 在直角坐标系中画直线时，通常找出直线与两个坐标轴的交点.6. 二元一次方程的每一个解与坐标平面中的点有什么关系？直线与二元一次方程的解之间有什么关系？使学生进一步理解二元一次方程与直线的关系 学生阅读教材第105页，从中获得对问题的理解. 续上表7. 课堂练习 第105练习第2题和第3（2）.巩固所学知识和方法. 学生独立完成，教师检查、评价.8. 小结使学生对直线方程的理解有一个整体的认识. （1）请学生写出直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系. （2）比较各种直线方程的形式特点和适用范围. （3）求直线方程应具有多少个条件？（4）学习本节用到了哪些数学思想方法？课堂作业1. 直线 x+y+1=0与x轴的夹角为 ，与y轴的夹角为 .【解析】其斜率为-，倾斜角为120，所以直线与x的夹角为60，与y轴的夹角为30.2. 已知两点A（2，2）， B（-2，4），则线段AB的垂直平分线方程为【解析】AB中点为（0，3），AB斜率为，则AB的垂直平分线的斜率为2，其方程为y=2x+3.3. 已知直线2x-y+4=0， 则其斜率 ，与x轴的交点坐标为 .【解析】k=2， （-2，0）.4. 直线方程的系数A、B、C分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质?（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与x轴相交；（3）只与y轴相交；（4）是x轴所在直线；（5）是y轴所在直线.【解析】（1）当A0，B0时，直线与两条坐标轴都相交. （2）当A0，B=0时，直线只与x轴相交.（3）当A0，B0时，直线只与y轴相交. （4）当A0，B0，C0时，直线是x轴所在直线.（5）当A0，B0，C0时，直线是y轴所在直线.教案 B第1课时教学内容：3.2.1 直线的点斜式方程教学目标一、知识与技能1. 理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；2. 能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；3. 体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.二、过程与方法经历在已知直角坐标系内确定一条直线的点斜式方程的过程；通过对比理解“截距”与“距离”的区别.三、情感、态度与价值观通过体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，能用联系的观点看问题.教学重点、难点教学重点：直线的点斜式方程.教学难点：推导直线点斜式方程的过程.教学过程一、情境引入1.情境1：过定点P（x0，y0）的直线有多少条？倾斜角为定值的直线有多少条？2.问题1：确定一条直线需要几个独立的条件？二、新课教学（一）点斜式方程1. 学生思考、讨论问题1.学生可能的回答：（1）两个点P1（x1，y1），P2（x2，y2）；（2）一个点和直线的斜率（可能有学生回答倾斜角）；（3）斜率和直线在y轴上的截距（说明斜率存在）；（4）直线在x轴和y轴上的截距（学生没有学过直线在x轴上的截距，可类比，同时强调截距均不能为0）.2. 建构数学问题2：给出两个独立的条件，例如：一个点P1（2，4）和斜率k=2就能决定一条直线l.（1）你能在直线l上再找一点，并写出它的坐标吗？你是如何找的？（2）这条直线上的任意一点P（x，y）的坐标x，y满足什么特征呢？直线上的任意一点P（x，y）（除P1点外）和P1（x1，y1）的连线的斜率是一个不变量，即为k，即：， 即y -y1=k（x-x1） （1）学生在讨论的过程中：（1） 强调P（x，y）的任意性.（2） 不直接提出直线方程的概念，而用一种通俗的，学生易于理解的语言先求出方程，可能学生更容易接受，也更愿意参与.问题3：（1）P1（x1，y1）的坐标满足方程吗？（2）直线上任意一点的坐标与此方程有什么关系？教师指出，直线上任意一点的坐标都是这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点都在此直线上.让学生感受直线的方程和方程的直线的意义.如此，我们得到了关于x，y的一个二元一次方程.这个方程由直线上一点和直线的斜率确定，今后称其为直线的点斜式方程.3. 数学运用例1 一条直线经过点P1（-2，3），斜率为2，求这条直线的方程.【解析】由直线的点斜式方程得y-3=2（x+2），即2x-y+7=0.变1：在例1中，若将“斜率为2”改为“倾斜角为45o”，求这条直线的方程；变2：在例1中，若将直线的倾斜角改为90o，这条直线的方程是什么？例2 已知直线l的斜率为k，与y轴的交点是P（0，b），求直线l的方程.【解析】根据直线的点斜式方程，得直线l的方程为y-b=k（x-0），即y=kx+b.（二）斜截式方程如果直线l的斜率为k，且与y轴的交点为（0，b），代入直线的点斜式方程：ybk（x0），即ykxb （2）几何意义：k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距.我们把直线l与y轴的交点（0，b）的纵坐标b叫直线l在y轴上的截距.方程（2）由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，所以方程（2）叫直线的斜截式方程，简称斜截式.例3 已知直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，试讨论：（1）l1l2的条件是什么？（2）l1l2的条件是什么？【解析】（1）l1l2 k1k2，且b1b2.（2）l1l2 k1k2-1.思考：ykxb是我们学过的一次函数的表达式，它的图象是一条直线，你如何从直线方程的角度去认识一次函数？k和b的几何意义是什么？说一说函数y=2x1，y3x，y-x3的图象特点.三、小结（1）本节课我们学过哪些知识点；（2）直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么？（3）求一条直线的方程，要知道多少个条件？四 布置作业P95练习：1，2，3，4.P100习题3.2 A组：1，5，6，10.第2课时教学内容：3.2.2 直线的两点式方程教学目标一、知识与技能1. 掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；2. 了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.二、过程与方法在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点.三、情感、态度与价值观认识事物之间的普遍联系与相互转化；学会用联系的观点看问题.教学重点、难点：教学重点：直线方程两点式.教学难点：两点式推导过程的理解.教学过程一、复习回顾师:上一节课，我们一起学习了直线方程的点斜式，并要求大家熟练掌握，这一节，我们将利用点斜式来推导直线方程的两点式.二、讲授新课1. 直线方程的两点式:其中是直线两点的坐标.推导:因为直线l经过点，并且，所以它的斜率.代入点斜式，得 .当时，方程可以写成说明：这个方程由直线上两点确定；当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程.2. 直线方程的截距式:，其中a，b分别为直线在x轴和y轴上的截距.说明:这一直线方程由直线在x轴和y轴上的截距确定，所以叫做直线方程的截距式;截距式的推导由例1给出.三、例题讲解例1 已知直线l与x轴的交点为（a，0），与y轴的交点为（0，b），其中a0，b0，求直线l的方程.【解析】因为直线l经过A（a，0）和B（0，b）两点，将这两点的坐标代入两点式，得:说明:此题应用两点式推导出了直线方程的截距式. 例2 三角形的顶点是A（-5，0）、B（3，-3）、C（0，2），求这个三角形三边所在直线的方程.【解析】直线AB过A（-5，0）、B（3，-3）两点，由两点式得整理得：，即直线AB的方程.直线BC过C（0，2），斜率是，由点斜式得:整理得:，即直线BC的方程.直线AC过A（-5，0），C（0，2）两点，由两点式得:整理得：，即直线AC的方程.说明：例2中用到了直线方程的点斜式与两点式，说明求解直线方程的灵活性，应让学生引起注意.四、课堂小结1. 请学生归纳直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系. 2. 师生讨论比较各种直线方程的形式特点和适用范围. 3. 求直线方程应具有多少个条件？4. 学习本节用到了哪些数学思想方法？五、布置作业 P99、100练习：1，2.P101习题3.2B组：1，2，5. 第3课时教学内容：3.2.3 直线的一般式方程教学目标一、知识与技能1. 明确直线方程一般式的形式特征；2. 会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；3. 会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.二、过程与方法学会用分类讨论的思想方法解决问题.三、情感、态度与价值观认识事物之间的普遍联系与相互转化；用联系的观点看问题.教学重点、难点教学重点：直线方程的一般式.教学难点：对直线方程一般式的理解与应用.教学过程：一、创设问题情境，导入新课1求过点（2，1），斜率为1的直线的方程，并观察方程属于哪一类？2当直线的斜率不存在时，即直线的倾斜角90时，直线的方程怎样表示？二、探究新知，师生互动1一般式（1）直线的方程是都是关于的二元一次方程在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，在和两种情况下，直线方程可分别写成及这两种形式，它们又都可变形为的形式，且不同时为，即直线的方程都是关于的二元一次方程（2）关于的二元一次方程的图形是直线因为关于的二元一次方程的一般形式为，其中不同时为在和两种情况下，一次方程可分别化成和，它们分别是直线的斜截式方程和与轴平行或重合的直线方程，即每一个二元一次方程的图形都是直线这样我们就建立了直线与关于二元一次方程之间的对应关系我们把（其中不同时为）叫做直线方程的一般式一般地，需将所求的直线方程化为一般式三、拓展创新，应用提高例1 已知直线过点，斜率为，求该直线的点斜式和一般式方程及截距式方程【解析】经过点且斜率的直线方程的点斜式，化成一般式，得： ，化成截距式，得： 练习：根据下列条件，写出直线的方程，并把它化成一般式：经过点A（8，2），斜率是；经过点B（4，2），平行于x轴；经过点P（3，2），Q（5，4）；在x轴，y轴上