盈亏问题解题探讨

盈亏问题解题探讨 以一定的人数平均分一定数量的物品 每人少分 则物品有余 盈 每人多分 则物品不足 亏 凡是研究这一类算法的应用题叫做盈亏问题 盈亏问题的基 本解法是 人数 盈 亏 两次分配数的差 物品数可由其中一种分法和人数 求出 小朋友们都知道 人们进行物品分配时 一般总是先知道总人数和被分 配的物品数量 再来拟定分配方案 而盈亏问题则是已知把若干个东西平均分 给某些人的 两个分配方案和分配后的余数 而反过来推算出参加分配的 总 人数和分配的物品总数量 两个方案的结果会出现 盈 余 或 亏 不足 o 解答这类应用题一种常用方法是比较法 即通过分析比较已知条件 研究对应 的差的变化情况 从而找到解题方法 盈亏问题一般有这样几种情况 1 一次有余一次不足 盈 亏 两次分配差 人数 2 一次不足另一次仍不足 两次不足之差 大 小 两次分配差 人数 3 一次正好另一次有余 余数 两次分配差 人数 例 1 用库存化肥给麦田追肥 如果每公亩施 6 千克 就缺少 200 千克 如果每公亩施 5 千克 就剩余 300 千克 问有多少公亩麦田 库存化肥多少千克 例 2 某校安排学生宿舍 如果每间 5 人 则有 14 人没有床位 如果 每间 7 人 则多 4 个空床位 问宿舍有几间 学生有几人 行测数量关系盈亏问题解题技巧行测数量关系盈亏问题解题技巧 转自科信教育转自科信教育 来源 杨书函的日志 九章算术 是中国流传至今最古老的数学经典着作之一 九章算术 其实就是研究九 个问题的习题集 每道题有问有答有术 解决方法 有的是一题一术 有的是多题一术 有的则是一题多术 全书九章 涉及的都是现实生活中的实际应用问题 第七章是 盈 不足 主要论述盈亏问题的解法 盈 就是有余 亏 就是不足的意思 把若干物体平均分给一定数量的对象 并不是每次都能正好分完 如果物体还有剩余 就叫盈 如果物体不够分 少了 叫亏 不同的 方法分配物体时 经常会产生这种盈亏现象 凡是研究这一类算法的 应用题就叫盈亏问题 盈亏问题的关键是抓住两次分配时所需物体总量的变化 盈亏问题的解题方法是 先求出两次分配方案中所分物体的总数量 的差 再求出两次分配方案中每个对象所分物体的总数量的差 用第 一个差除以第二个差就得到分配对象数 然后再求出所分物体的总数 量 分配对象数 总差额 两次每个分配对象分配数的差 盈亏问题一般分为以下五种情况 对应的公式如下 1 一盈一亏型 一次有多 一次不够 盈 亏 两次每个分配对象分配数的差 分配对象数 2 两盈型 两次都有多 大盈 小盈 两次每个分配对象分配数的差 分配对象数 3 两亏型 两次都不够 大亏 小亏 两次每个分配对象分配数的差 分配对象数 4 一盈一不盈不亏型 一次有多 另一次刚好分完 盈 两次每个分配对象分配数的差 分配对象数 5 一亏一不盈不亏型 一次不够 另一次刚好分完 亏 两次每个分配对象分配数的差 分配对象数 科信教育为大家提供以下几个例题 例 1 秋天到了 培英学校组织秋游 五甲班的同学兴高采烈地做 好了各项准备工作 老师让同学们分小组活动 中餐时 大家把各自 带的食物拼了起来 明明带了一袋桔子 准备平均分给小组成员 若 每人分 3 个还多 11 个 若每人分 5 个又少 7 个 明明所在的小组有多 少人 明明带了多少个桔子 A 8 35 B 9 38 C 9 37 D 10 38 科信教育解析 B 我们先列出已知条件 每人分 3 个 多 11 个 每人分 5 个 少 7 个 由条件可以知道 两种分配方案中 明明所在 的小组的人数和桔子的个数是不变的 比较两种分配方案 第二种比 第一种要多用 18 个桔子 可以理解为第二种分配方案用去第一种分配 方案剩余的 11 个 还要再拿来 7 个才够分 这是由于每个人第二种 分配方案比第一种分配方案多分了 5 3 2 个 2010 01 20 22 56 奥数中盈亏问题的解题方法奥数中盈亏问题的解题方法 盈亏问题是一类生活中很常见的问题 按不同的方法分配物品时 经常发生不能均分的情 况 如果有物品剩余就叫盈 如果物品不够就叫亏 这就是盈亏问题的含义 解盈亏问题的窍门可以用下面的公式来概括 盈 亏 两次分得之差 人数或单位数 盈 盈 两次分得之差 人数或单位数 亏 亏 两次分得之差 人数或单位数 例如 实验小学少先队员去植树 如果每人种 5 棵 还有 3 棵没人种 如果其中 2 人各种 4 棵 其余的人各种 6 棵 这些树苗正好种完 问有多少少 先队员参加植树 一共种多少树苗 分析 这是一道较难的盈亏问题 主要难在对第二个已知条件的理解 上 如果其中 2 人各种 4 棵 其余的人各种 6 棵 就恰好种完 这组条件中包 含着两种种树的情况 2 人各种 4 棵 其余的人各种 6 棵 如果我们把它统 一成一种情况 让每人都种 6 棵 那么 就可以多种树 6 4 2 4 棵 因此 原问题就转化为 如果每人各种 5 棵树苗 还有 3 棵没人种 如果每 人种 6 棵树苗 还缺 4 棵 问有多少少先队员 一共种多少树苗 人数 3 6 4 2 6 5 7 人 棵数 5 7 3 38 棵 或 6 7 4 38 棵 已知两个分配方案 一次分配有余 一次分配不足 求参加分配的人数及被分 配的总量 这样的问题通常叫做盈亏问题 知识背景 盈亏的问题曾记载在我国古代数学名著 九章算术 中的第六章 盈不 足章 中 盈 就是有余 亏 就是不足的意思 典型的盈亏问题一般以下列的形式表述 把若干个苹果 未知数 分给若干个人 未知数 如果每人分 2 个还多 20 个 如 果每人分 3 个则少 5 个 问总共有多少人 有多少个苹果 题目中的不变量是人数和苹果数 比较两种不同的分配方法 可知苹果相差 20 5 25 个 相差 25 个苹果 亳无疑问是由于每人相差苹果 3 2 1 个 而做成的 事实上 只有唯一一种情况才会导至上述情形 那就是有 25 人分苹果 求得人数后 进而可以根据题意 用两种方法求得苹果的数目 2 25 20 70 个 或 3 25 5 70 个 解盈亏问题的公式 两次分配数之差 n a b 人数 x 亏额 盈额 备注 公式来源 物数 x 分配数 a 人数 y 亏数 m 及 物数 x 分配数 b 人数 y 盈数 n 某商店在某一时间以每件 60 元的价格卖出两件衣服 其中一件 盈利 25 另一件衣服亏损 25 卖这两件衣服总的是盈利还是亏损 或是不盈不亏 师 说实话当我看到这道题以后 我感觉非常有意思 引起了 我的探究欲望 不知你刚看到本题时有没有估算一下商场的盈亏情 况 生 有估计 师 谁说一下你当时是怎样估算的 生纷纷举手 师指一生 生 不亏不盈 师 为什么 生 因为两件都卖 60 元且一件盈利 25 另一件是亏损 25 所以最后不亏不盈 师 有不同估算吗 有不同估算的同学纷纷举手 师 你说你的估算结果及理由 生 我认为亏损 因为这两件衣服的成本一定不一样 亏的应 该比盈的多 另一生 我看到题时第一感觉我认为盈利 哪有做生意不盈利 的 看着商场虽然打着 亏本甩卖 的标语 有时他们都是在骗消 费者 师总结 同学们估计了几种不同的结果 并且理由都很充实 但事实怎样 我们就共同帮助这位商家核算一下 师 要想解决这道题 必须理解商品的 进价 标价 售价 打折 利润 利润率 等词语的含义 通过 自学导航 部 分课前自学 你是怎样理解这些词语的含义 生 进价就是进货时的钱 而卖价就是卖的价钱 标价是商 品在卖时标的价钱 师感觉学生在概念的理解上还有些模糊 师 我来举个例子你们来判断一下进价 标价 售价分别是多 少 师 一商家 40 元进的上衣 标价 60 元 最后 50 元卖的 生 40 元是进价 60 元是标价 50 元是卖价 师 非常好 那么 打折 利润 的含义呢 生 比如说打 8 折 就是按标价的 80 卖 利润是卖价大于成 本的部分 师 说的非常好 大屏幕出示公式 利润 卖价 进价 利润 利润率 100 进价 师 理解了这些词的含义 我们再来研究探究题 请同位合作 讨论交流本探究题要确定商家的盈亏 需要知道哪些量 同位合作讨论 通过互相交流得出结论 生 本题已经给了两件商品的卖价了 只要再知道两件商品的 进价就可以了 师 说的太好了 那下面就以小组为单位合作交流怎样用一元 一次方程来求出进价从而确定商家的盈亏 分小组讨论交流 师 请小组派代表把你们的合作成果展示到黑板上 小组代表把解题步骤展示到黑板 学生互改互评 解 设盈利 25 的那件衣服的进价是 x 元 列方程得 x 0 25x 60 解方程得 x 48 设亏损 25 的那件衣服的进价是 y 元 列方程得 y 0 25y 60 解方程得 y 80 48 80 128 元 因为 128 60 60 所以商家亏损 答 卖这两件衣服总的是亏损 师总结 同学们做的不错 像本题如果一道题需设两个未知数 我们习惯设一个为 x 另一个为 y 所以应该注意解题步骤的规范性 师 孩子们本题商家最后是盈还是亏 生 亏损 师 与我们的估算还是不一样的 所以方程是分析和解决问题 的一种很有用的数学工具 具体的数据最有说服力 师 我们来做学案上巩固练习 学生做巩固练习 生说出自己的解题思路 师生互评 巩固 本课商品销售中盈亏的求法 师 生活中同学们应养成用数学意识来解决实际问题的习惯 我们来共同解决学案上拓展创新 找生读题 某超市推出如下优惠方案 1 一性购物不超过 100 元不享受优惠 2 一次性购物超过 100 元但不超过 300 元一 律九折 3 一次性购物超过 300 元一律八折 小明两次购物分别 付款 80 元 252 元 如果小明一次性购买与上两次购买相同的商 品 则应付款多少元 学生合作交流 一生展示解题步骤 解 设 252 元商品的原价为 X 元 90 X 252 X 280 80 280 80 288 元 答 现在应付 288 元 生 抢答 他的做法不对 252 元商品也有可能是打 8 折后 的价格这题应该有两种答案 师感觉通过争论学生能闪烁思维的智慧火花 于是让学生互 相交流探讨本题解的情况 师 现在你们认为会有几个答案 生 两个答案 一生上台展示另一答案 解 设 252