江西省上饶市湖城学校2015届中考数学模拟试卷（5）含答案解析

第 1 页（共 35 页） 2015 年江西省上饶市湖城学校中考数学模拟试卷（ 5） 一、选择题 1关于 x 的一元二次方程 6x+9=0 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是（ ） A k 1 B k0 C k 1 且 k0 D k 1 2如图，在函数 y= （ x 0）的图象上，四边形 正方形，四边形 长方形，点 B，P 在双曲线上，下列说法不正确的是（ ） A长方形 长方形 面积 相等 B点 B 的坐标是（ 4， 4） C图象关于过 直线对称 D矩形 正方形 面积相等 3如图是二次函数 y=bx+c 图象的一部分，图象过点 A（ 3， 0），对称轴为 x= 1给出四个结论： 42a+b=0； a b+c=0； 5a b其中正确结论是（ ） A B C D 4如图，将平面直角坐标系中的 顺时针旋转 90得 A已知 0， B=90，则点 B的坐标是（ ） 第 2 页（共 35 页） A B C D 5如图，在 ， 别与 交于点 D、 E，若 ， ，则的值为（ ） A B C D 6如图， O 的直径 ， P 是上半圆（ A、 B 除外）上任一点， 平分线交 O 于 C，弦 中点 M、 N，则 长是（ ） A 4 B 2 C 6 D 2 二、填空题 7如图，将 点 A 逆时针旋转一定角度，得到 5， E=70，且 度数为 第 3 页（共 35 页） 8把一个体积是 64 立方厘米的立方体木块的表面 涂上红漆，然后锯成体积为 1 立方厘米的小立方体，从中任取一块，则取出的这一块至少有一面涂红漆的概率是 9在平面直角坐标系中，点 A 是抛物线 y=a（ x 3） 2+k 与 y 轴的交点，点 B 是这条抛物线上的另一点，且 x 轴，则以 边的等边三角形 周长为 10已知双曲线 （ k 0， x 0）的图象经过 边 中点 D，与直角边 交于点 C若 面积为 3，则 k= 11如图是某几何体的三视图及相关数据（单位： 则该几何体的侧面积为 12如图，在 ，点 D、 E 分别在 ， C，如果 ， 面积是4，四边形 面积是 5，那么 长是 13如图，在等边三角形 ， D 是 上的一点，延长 E，使 C， 平分线交 高 点 O，则 第 4 页（共 35 页） 14如图是反比例函数 y= （ x 0）的图象，点 C 的坐标为（ 0， 2），若点 A 是函数 y= 图象上一点，点 B 是 x 轴正半轴上一点，当 等腰直角三角形时，点 B 的坐标为 三 、（本大题共 4小题，每题 6分，共 24分） 15计算： 2 16如图，在正三角形 ， D， E 分别在 ，且 ， B求证： 17如图 半圆的直径，图 1 中，点 C 在半圆外；图 2 中，点 C 在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图 第 5 页（共 35 页） （ 1）在图 1 中，画出 三条高的交点； （ 2）在图 2 中，画出 上的高 18在猜一商品价格的游戏中，参与者事先不知道该商品的价格，主持人要求他从如图的五张卡片中任意拿走三张，使剩下的卡片从左到右连成一个两位数，该数就是他猜的价格如果商品的价格是 50 元，求他一次就能猜中的概率 四、（本大题共 2小题，每小题 8分，共 16分） 19如图，某广场一灯柱 一钢缆 定， 地面成 40夹角，且 米 （ 1） 求钢缆 长度；（精确到 ） （ 2）若 米，灯的顶端 E 距离 A 处 ，且 20，则灯的顶端 E 距离地面多少米？ （参考数据： ） 20如图，已知 O 的直径，点 E 是弧 中点， 于点 F， （ 1）请判断直线 O 的位置关系，并给出证明； （ 2）当 2， 时，求图中阴影部分的面积（结果保留 2 个有效数字， 第 6 页（共 35 页） 五、解答题（共 2小题，满分 18分） 21如图，直线 y=x+1 与 y 轴交于 A 点，与反比例函数 （ x 0）的图象交于点 M，过 M 作 ，且 （ 1）求 k 的值； （ 2）设点 N（ 1， a）是反比例函数 （ x 0）图象上的点，在 y 轴上是否存在点 P，使得 存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 22某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元 /件试营销阶段发现：当销售单价是 25 元时，每天的销售量为 250 件；销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件 （ 1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； （ 2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大； （ 3）商场的营销部结合上述情况，提出了 A、 B 两种营销方案： 方案 A：该文具的销售单价高于进价且不超过 30 元； 方案 B：每天销售量不少于 10 件，且每件文具的利润至少为 25 元 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由 六、（本大题共 2个小题，每小题 10分，共 20分） 23如图， 半圆 O 的直径，点 P 在 延长线上， O 于点 C， 足为 D，连接 第 7 页（共 35 页） （ 1）求证： 分 （ 2）求证： B （ 3）若 ， ，求 长 24如图，已知二次函数 y= x+3 与坐标轴分别交于 A、 D、 B 三点，顶点为 C （ 1）求 2）在 y 轴上是否存在一点 P，使得 似？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，说明理由 （ 3） Q 是抛物线上一动点，使得以 A、 B、 C、 Q 为端点的四边形是一个梯形，请直接写出满足条件的 Q 点的坐标（不要求写出解题过 程） 第 8 页（共 35 页） 2015年江西省上饶市湖城学校中考数学模拟试卷（ 5） 参考答案与试题解析 一、选择题 1关于 x 的一元二次方程 6x+9=0 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是（ ） A k 1 B k0 C k 1 且 k0 D k 1 【考点】 根的判别式；一元二次方程的定义 【分析】 因为关于 x 的一元二次方程 6x+9=0 有两个不相等的实数根，所以 k0 且 =40，建立关于 k 的不等式组，解得 k 的取值范围即可 【解 答】 解： 关于 x 的一元二次方程 6x+9=0 有两个不相等的实数根， k0，且 =46 36k 0， 解得 k 1 且 k0 故答案为 k 1 且 k0 故选： C 【点评】 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件一元二次方程根的情况与判别式 的关系：（ 1） 0方程有两个不相等的实数根；（ 2） =0方程有两个相等的实数根；（ 3） 0方程没有实数根 2如图，在函数 y= （ x 0）的图象上，四边形 正方形，四边形 长方形，点 B，P 在双曲线上，下列说法不正确的是（ ） A长方形 长方形 面积相等 B点 B 的坐标是（ 4， 4） C图象关于过 直线对称 第 9 页（共 35 页） D矩形 正方形 面积相等 【考点】 反比例函数综合题 【专题】 综合题；数形结合 【分析】 A、根据反比例函数的性质即可判定矩形 正方形 面积的关系，然后即可判定长方形 长方形 面积的 关系； B、根据正方形的性质和反比例函数的性质确定点 B 的坐标； C、根据反比例函数的性质可以得到图象和 关系； D、根据反比例函数的性质即可判定矩形 正方形 面积的关系 【解答】 解： A、 点 B， P 在双曲线上， 矩形 正方形 面积相等，都是 ， 长方形 长方形 面积相等，正确； B、 正方形 面积是 4， 点 B 的坐标是（ 2， 2），错误； C、 点 B 的坐标是（ 2， 2）， y= （ x 0）的图象 关于过 直线对称，正确； D、 点 B， P 在双曲线上， 矩形 正方形 面积相等，都是 ，正确 故选 B 【点评】 此题把矩形面积与反比例函数联系起来，重在把握线段长度与点的坐标之间的关系特别要注意图象所在的位置（所在象限） 3如图是二次函数 y=bx+c 图象的一部分，图象过点 A（ 3， 0），对称轴为 x= 1给出四个结论： 42a+b=0； a b+c=0； 5a b其中正确结论是（ ） A B C D 【考点】 二次函数图象与系数的关系 【专题】 压轴题 【分析】 由抛物线的开口向下知 a 0，与 c 0，由对称轴为 x= 1 可以判定 错误； 第 10 页（共 35 页） 由图象与 x 轴有交点，对称轴为 x= = 1，与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，可以推出 40，即 4正确；由 x= 1 时 y 有最大值，由图象可知 y0， 错误然后即可作出选择 【解答 】 解： 图象与 x 轴有交点，对称轴为 x= = 1，与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上， 又 二次函数的图象是抛物线， 与 x 轴有两个交点， 40， 即 4确； 抛物线的开口向下， a 0， 与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上， c 0， 对称轴为 x= = 1， 2a=b， 2a+b=4a， a0， 错误； x= 1 时 y 有最大值， 由图象可知 y0，错误； 把 x=1， x= 3 代入解析式得 a+b+c=0， 9a 3b+c=0，两边相加整理得 5a b= c 0，即 5a b 故选 B 【点评】 解答本题关键是掌握二次函数 y=bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与 x 轴交点的个数确定 4如图，将平面直角坐标系中的 顺时针旋转 90得 A已知 0， B=90，则点 B的坐标是（ ） 第 11 页（共 35 页） A B C D 【考点】 坐标与图形变化 【分析】 过点 B作 BC x 轴于点 C，根据旋转变换的性质可得 根据平角等于 180求出 B度数，然后解直角三角形求出 BC 的长度，即可得解 【解答】 解：如图，过点 B作 BC x 轴于点 C， O 点顺时针旋转 90得 A 90， 0， ， 1， B80 180 60 90=30， B1 = ， BC=OB1 = ， B的坐标为（ ）， 故选 A 【点评】 本题考查了坐标与图形变化旋转，用到的知识点是旋转变换的性质，解直角三角形，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键 5如图，在 ， 别与 交于点 D、 E，若 ， ，则的值为（ ） 第 12 页（共 35 页） A B C D 【考点】 相似三角形的判定与性质；三角形的面积 【专题】 计算题 【分析】 根据 证 用其对应边成比例即可求得 = ，再利用 高相同即可求得 的值 【解答】 解： 在 ， = ， ， ， = = = ， 高相同， = = 故选 B 【点评】 此题主要考查相似三角形的判定与性质和三角形面积的计算等知识点，解答此题的关键是利用相似三角形的性质求得 = ，再利用 高相同即 可求得答案 6如图， O 的直径 ， P 是上半圆（ A、 B 除外）上任一点， 平分线交 O 于 C，弦 中点 M、 N，则 长是（ ） A 4 B 2 C 6 D 2 【考点】 圆周角定理；角平分线的性质；勾股定理；三角形中位线定理；垂径定理 第 13 页（共 35 页） 【专题】 计算题 ；压轴题 【分析】 由于 分 得 = ，如果连接 D，根据垂径定理可知： 垂直平分 由于 M、 N 是 中点，因此 中位线，根据平行线分线段成比例定理可得：D= 连接 在 求出 长，即可得出 值 【解答】 解： 角平分线， 弧 C； 直径， 0 即 等腰直角三角形 连接 点 D，则 M、 N 是 中点， 连接 据勾股定理，得： ， 故选 A 【点评】 此题综合运用了圆周角定理及其推论发现等腰直角三角形，再进一步根据等腰三角形的性质以及中位线定理，求得 弦心距，最后结合垂径定理和勾股定理求得弦长 二、填空题 7如图，将 点 A 逆时针旋转一定角度，得到 5， E=70，且 度数为 85 第 14 页（共 35 页） 【考点】 旋转的性质 【专题】 计算题 【分析】 先根据旋转的性质得 5， C= E=70，再利用互余计 算出 0 C=20，然后计算 可 【解答】 解： 点 A 逆时针旋转一定角度，得到 5， C= E=70， 0 C=20， 5+20=85 故答案为 85 【点评】 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等 8把一个体积是 64 立方厘米的立方体木块的表面涂上红漆，然后锯成体积为 1 立方厘米的小立方体，从中任取一块，则取出的这一块至少有一面涂红漆的概率是 【考点】 概率公式；认识立体图形 【专题】 应用题 【分析】 根据题意可知共可据 64 块，至少有一面涂红漆的小正方体有 56 个，根据概率公式的计算即可得出结果 【解答】 解： 至少有一面涂红漆的小正方体有 56 个， 至少有一面涂红漆的概率是 = 故答案为 【点评】 本题主要考查了概率的计算，概率 =所求情况数与总情况数之比关键是找到相应的具体数目 第 15 页（共 35 页） 9在平面直角坐标系中，点 A 是抛物线 y=a（ x 3） 2+k 与 y 轴的交点，点 B 是这条抛物线上的另一点，且 x 轴，则以 边的等边三角形 周长为 18 【考点】 二次函数的性质；等边三角形的性质 【专题】 压轴题 【分析】 根据抛物线解析式求出对称轴为 x=3，再根据抛物线的对称性求出 长度，然后 根据等边三角形三条边都相等列式求解即可 【解答】 解： 抛物线 y=a（ x 3） 2+k 的对称轴为 x=3，且 x 轴， 3=6， 等边 周长 =36=18 故答案为： 18 【点评】 本题考查了二次函数的性质，等边三角形的周长计算，熟练掌握抛物线的对称轴与两个对称点之间的关系是解题的关键 10已知双曲线 （ k 0， x 0）的图象经过 边 中点 D，与直角边 交于点 C若 面积为 3，则 k= 2 【考点】 反比例函数系数 k 的几何意义 【分析】 首先过 D 点作 x 轴，垂足为 E，进而得出 利用相似三角形的性质以及反比例函数的性质得出答案 【解答】 解：过 D 点作 x 轴，垂足为 E， 第 16 页（共 35 页） 在 ， 0， D 为 边 中点 D， 中位线， 两三角形的相似比为： = 双曲线 y= （ k 0），可知 S |k|， S S |k|， 由 S S ，得 |2k k|=3， 解得： k= 2 故答案为： 2 【点评】 此题主要考查了反比例 函数 y= 中 k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引 x 轴、 y 轴垂线，所得三角形面积为 |k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解 k 的几何意义 11如图是某几何体的三视图及相关数据（单位： 则该几何体的侧面积为 2 【考点】 圆锥的计算；由三视图判断几何体 【专题】 压轴题 第 17 页（共 35 页） 【分析】 根据三 视图易得此几何体为圆锥，再根据圆锥侧面积公式 =（底面周长 母线长） 2 可计算出结果 【解答】 解：由题意得底面直径为 2，母线长为 2， 几何体的侧面积为 22=2， 故答案为： 2 【点评】 此题主要考查了由三视图判断几何体，以及圆锥的侧面积公式的应用，关键是找到等量关系里相应的量 12如图，在 ，点 D、 E 分别在 ， C，如果 ， 面积是4，四边形 面积是 5，那么 长是 3 【考点】 相似三角形的判定与性质 【分析】 由 C， A 是公共角，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得 由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得 = ，然后由， 面积为 4，四边形 面积为 5，即可求得 长 【解答】 解： B， A 是公共角， = ， 面积为 4，四边形 面积为 5， 面积为 9， ， = ， 解得： 故答案为： 3 第 18 页（共 35 页） 【点评】 此题考查了相似三角形的判定与性质此题比较简单，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用 13 如图，在等边三角形 ， D 是 上的一点，延长 E，使 C， 平分线交 高 点 O，则 【考点】 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；特殊角的三角函数值 【专题】 证明题；压轴题 【分析】 根据等边三角形性质和三线合一定理求出 0，推出 E，根据 出 0即可 【解答】 解： 等边三角形， 0， C， 0， C， C， E， 分 在 ， 0， ， 故答案为： 第 19 页（共 35 页） 【点评】 本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，特殊角的三角函数值等知识点的应用，关键是证出 目比较典型，难度适中 14如图是反比例函数 y= （ x 0）的图象，点 C 的坐标为（ 0， 2），若点 A 是函数 y= 图象上一点，点 B 是 x 轴正半轴上一点，当 等腰直角三角形时，点 B 的坐标为 （ 4， 0）或（ ，0）或（ 1+ ， 0） 【考点】 反比例函数综合题 【专题】 压轴题；探究型 【分析】 分 直角， 直角， 直角三种情况进行讨论 当 0时，作 x 轴于 E 点，作 y 轴于 D 点则易证 以得到 得 A 的坐标，则 D，从而求得 长度，得到 B 的坐标； 当 0时，作 y 轴于 D，易证 A 的横坐标可以求得，进而求得 据 D，则 B 的坐标可以得到； 当 0时，作 x 轴，则 C=2， D，设 D=x，则 OD=x+2，则 A 的坐标是（ x+2， x），代入 y= ，求得 x 的值，得到 B 的坐标 【解答】 解： 1）当 0时，如图（ 1），作 x 轴于 E 点，作 y 轴于 D 点则 0， 0， 在 ： 第 20 页（共 35 页） E， D 则 A 的横坐标与纵坐标相等，设 A 的坐标是（ a， a），代入函数解析式得： a= ，解得： a=3 或 3（舍去） 则 A 的坐标是（ 3， 3） ， D 2=1， D=1， E+1=4， 则 B 的坐标是（ 4， 0）； 2）当 0时，如图（ 2），作 y 轴于 D 0， 0， 又 0， ， C=2， 则 A 的横坐标是 2，把 x=2 代入 y= 得： y= ， ， D 2= ， D= ，则 B 的坐标是（ ， 0）； 3）当 0时，如图（ 3），作 x 轴， 同（ 2）可以证得： C=2， D， 设 D=x， 则 OD=x+2， 第 21 页（共 35 页） 则 A 的坐标是（ x+2， x），代入 y= ，得： x= ，解得： x= 1+ 或 1 （舍去）， 则 B 的坐标是（ 1+ ， 0） 则 B 的坐标是：（ 4， 0）或（ ， 0）或（ 1+ ， 0） 故答案是：（ 4， 0）或（ ， 0）或（ 1+ ， 0） 【点评】 本题考查了反比例函数与三角形的全等的综合应用，正确作出辅助线，得到三角形全等是关键 三、（本大题共 4小题，每题 6分，共 24分） 15计算： 2 【考点】 特殊角的三角函数值 【分析】 直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可 【解答】 解：原式 =2 1 = 1（ 1） 第 22 页（共 35 页） =0 【点评】 本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键 16如图，在正三角形 ， D， E 分 别在 ，且 ， B求证： 【考点】 相似三角形的判定 【专题】 证明题 【分析】 先根据等边三角形的性质得到 A= C=60， B，由 B=2由得到 = ，然后根据两边及其夹角法可得到结论 【解答】 证明： 正三角形， A= C=60， B， E， ， = = ， 而 A= C， 【点评】 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相 等的两个三角形相似；也考查了等边三角形的性质 17如图 半圆的直径，图 1 中，点 C 在半圆外；图 2 中，点 C 在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图 第 23 页（共 35 页） （ 1）在图 1 中，画出 三条高的交点； （ 2）在图 2 中，画出 上的高 【考点】 作图 复杂作图 【分析】 （ 1）根据圆周角定理：直径所对的圆周角是 90画图即可； （ 2）与（ 1）类似，利用圆周角定理画图 【解答】 解：（ 1）如图所示：点 P 就是三个高的交点； （ 2）如图所示： 是 的高 【点评】 此题主要考查了复杂作图，关键是掌握三角形的三条高交于一点，直径所对的圆周角是 90 18在猜一商品价格的游戏中，参与者事先不知道该商品的价格，主持人要求他从如图的五张卡片中任意拿走三张，使剩下的卡片从左到右连成一个两位数，该数就是他猜的价格如果商品的价格是 50 元，求他一次就能猜中的概率 【考点】 列表法与树状图法 【分析】 列举出所有情况，看他一次就能猜中 的情况占所有情况的多少即为所求的概率 【解答】 解： 从如图的五张卡片中任意拿走三张的所有可能情况有： （ 3 5 5），（ 3 5 6），（ 3 5 0），（ 3 5 6），（ 3 5 0）， 第 24 页（共 35 页） （ 3 6 0），（ 5 5 6），（ 5 5 0），（ 5 6 0），（ 5 6 0）十种， 符合题意的情况有两种，因此概率 P= = 【点评】 此题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（ A） = 四、（本大题共 2小题，每小题 8分，共 16分） 19如图，某广场一灯柱 一钢缆 定， 地面成 40夹角，且 米 （ 1）求钢缆 长度；（精确到 ） （ 2）若 米，灯的顶端 E 距离 A 处 ，且 20，则灯的顶端 E 距离地面多少米？ （参考数据： ） 【考点】 解直角三角形的应用 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）利用三角函数求得 长； （ 2）过 E 作 垂线，垂足为 F，根据三角函数求得 长，则 长就是点 E 到地面的距离 【解答】 解：（ 1）在 ， ， （ 2）在 ， ， 过 E 作 垂线，垂足为 F， 在 ， 80 120=60， 第 25 页（共 35 页） = F+D=+ 米 答：钢缆 长度为 ，灯的顶端 E 距离地面 7 米 【点评】 此题主要考查学生对坡度坡角的理解及解直角的综合运用能力 20如图 ，已知 O 的直径，点 E 是弧 中点， 于点 F， （ 1）请判断直线 O 的位置关系，并给出证明； （ 2）当 2， 时，求图中阴影部分的面积（结果保留 2 个有效数字， 【考点】 切线的判定；扇形面积的计算 【分析】 （ 1）要证直线 O 相切，通过 因为 0，所以证明可； （ 2） S 阴影 =S S 扇形 【解答】 （ 1）解法一：直线 O 相切 证明如下： 点 E 是弧 中点， 0， 第 26 页（共 35 页） 0， 直线 O 相切； 解法二：直线 O 相切 证明如下：如图，连接 O 的直径， 0 点 E 是弧 中点， 0= 0， 0， 直线 O 相切； （ 2）解： 点 E 是弧 中点， 0 ， ， 0 0， ， ， S= 1862 第 27 页（共 35 页） 【点评】 本题考查了扇形的面积计算，切线的判定要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可 五、解答题（共 2小题，满分 18分） 21如图，直线 y=x+1 与 y 轴交于 A 点，与反比例函数 （ x 0）的图象交于点 M，过 M 作 ，且 （ 1）求 k 的值； （ 2）设点 N（ 1， a）是反比例函数 （ x 0）图象上的点，在 y 轴上是否存在点 P，使得 存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【考点】 反比例函数综合题 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）对于直线 y=x+1，令 x=0 求出 y 的值，确定出 A 坐标，得到 长，根据 用锐角三角函数定义求出 长，根据 直于 x 轴，得到 M 横坐标与 A 横坐标相同，再由 M 在直线 y=x+1 上，确定出 M 坐标，代入反比例解析式求出 k 的值即可； （ 2）将 N 坐标代入反比例解析式求出 a 的值，确定出 N 坐标，过 N 作 N 关于 y 轴的对称点 接 y 轴于 P（如图），此时 N 最小，由 N 与 y 轴的对称，根据 N 坐标求出标，设直线 解析式为 y=kx+b，把 M， k 与 b 的值，确 定出直线 x=0 求出 y 的值，即可确定出 P 坐标 【解答】 解：（ 1）由 y=x+1 可得 A（ 0， 1），即 ， 第 28 页（共 35 页） = ， ， x 轴， 点 M 的横坐标为 2， 点 M 在直线 y=x+1 上， 点 M 的纵坐标为 3，即 M（ 2， 3）， 点 M 在 y= 上， k=23=6； （ 2） 点 N（ 1， a）在反比例函数 y= 的图象上， a=6，即点 N 的坐标为（ 1， 6）， 过 N 作 N 关于 y 轴的对称点 接 y 轴于 P（如图）， 此时 N 最小， N 与 于 y 轴的对称， N 点坐标为（ 1， 6）， 1， 6）， 设直线 解析式为 y=kx+b， 把 M， 解得： ， 直线 解析式为 y= x+5， 令 x=0，得 y=5， P 点坐标为（ 0， 5） 【点评】 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：锐角三角函数定义，待定系数法求一次函数解析式，对称的性质，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键 第 29 页（共 35 页） 22某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元 /件试营销阶段发现：当销售单价是 25 元时，每天的销售量为 250 件；销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件 （ 1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式 ； （ 2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大； （ 3）商场的营销部结合上述情况，提出了 A、 B 两种营销方案： 方案 A：该文具的销售单价高于进价且不超过 30 元； 方案 B：每天销售量不少于 10 件，且每件文具的利润至少为 25 元 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由 【考点】 二次函数的应用 【分析】 （ 1）根据利润 =（单价进价） 销售量，列出函数关系式即可； （ 2）根据（ 1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值； （ 3）分别求出方案 A、 B 中 x 的取值范围，然后分别求出 A、 B 方案的最大利润，然后进行 比较 【解答】 解：（ 1）由题意得，销售量 =250 10（ x 25） = 10x+500， 则 w=（ x 20）（ 10x+500） = 1000x 10000； （ 2） w= 1000x 10000= 10（ x 35） 2+2250 10 0， 函数图象开口向下， w 有最大值， 当 x=35 时， w 最大 =2250， 故当单价为 35 元时，该文具每天的利润最大； （ 3） A 方案利润高理由如下： A 方案中： 20 x30， 故当 x=30 时， w 有最大值， 此时 000； B 方案中： ， 故 x 的取值范围为： 45x49， 函数 w= 10（ x 35） 2+2250，对称轴为直线 x=35， 第 30 页（共 35 页） 当 x=45 时， w 有最大值， 此时 250， A 方案利润更高 【点评】 本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在 x= 时取得 六、（本大题共 2个小题，每小题 10分，共 20分） 23如图， 半圆 O 的直径，点 P 在 延长线上， O 于点 C， 足为 D，连接 （ 1）求证： 分 （ 2）求证： B （ 3）若 ， ，求 长 【考点】 切线的性质；相似三角形的判定与性质 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）连接 圆 O 的切线，利用切线的性质得到 直于 直于到 行，利用两直线平行得到一对内错角相等，再由 B，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证； （ 2）连接 圆 O 的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到 直角三角形，根据一对直角相等，以及第一问的结论得到一对角相等，确定出 似，由相似得比例，变形即可得证； （ 3）由切割线定理列出关系式，将 长代入求出 长，