数学思想方法在三角函数中的应用

1 数学思想方法在三角函数中的应用 四川 张继海 数学思想方法属于方法范畴 但更多地带有思想 观点的属性 是数学知识在更高层次 上的抽象和概括 中学教学与高考考查中 常用的数学思想有 化归与转化的思想 函数与 方程的思想 数形结合的思想 分类与整合的思想 特殊与一般的思想 有限与无限的思想 或然与必然的思想等 本文主要说明的是 数学思想方法在三角函数中的应用 在三角函数一章中 主要用到的数学思想方法有 1 化归与转化的思想 把未知化归为已知 如用诱导公式把求任意角的三角函数值逐 步化归为求锐角的三角函数值 把特殊化归为一般 如把正弦函数的图象逐步化归为函数 y Asin x x R 其中 A 0 0 的简图 把已知三角函数值求特殊范围内的角 逐步化归为求适合条件的所有角的集合等 等价化归 如进行三角函数式的化简 恒等变形 和证明三角恒等式 2 函数与方程思想 在某些等式条件中 余弦定理 特别是已知三角函数值求角时 可将其看作是关于某个元的方程 组 借助解方程 组 的思想使问题得以解决 3 数形结合的思想 如将角的研究纳入直角坐标系下 利用三角函数线作正弦 余弦 正切函数的图象 利用图象求解某些三角等式或不等式问题 4 分类与整合的思想 如已知角 的某一三角函数值 求 的其余三角函数值或求 角 时 则应分情况讨论 的范围或所在象限 用正弦定理解已知两边和一边的对角这类 斜三角形问题时亦应分类讨论 例 1 在 ABC 中 已知 AC 边上的中线 BD 求 sinA 的 3 64 AB 6 6 cos B5 值 分析与解 设 E 为 BC 的中点 连接 DE 则 DE AB 且 DE 3 62 2 1 AB 设 BE x 在 BDE 中 利用余弦定理可得 BD2 BE2 ED2 2 BE ED cos BED 3x2 4x 7 0 5 6 6 3 62 2 3 8 2 xx 解得 x 1 舍去 故 BC 2 3 7 x 从而 即 3 28 cos2 222 BBCABBCABAC 3 212 AC 6 30 sin B 30 6 3 212 sin 2 A14 70 sin A 评注 本题内涵丰富 结构特别 有很多 至少 5 种 解法 同学们不妨一试 它不仅 对方程的思想 数形结合的思想有较深入的考查 而且对等价转化的思想方法也有很高的要 求 例 2 已知锐角三角形 ABC 中 5 3 sin BA 5 1 sin BA 1 求证 tanA 2tanB 2 设 AB 3 求 AB 边上的高 分析与解 题目给出的条件是两角和与差的正弦值 用和 差角公式将其展开 得 5 3 sincoscossin BABA B E C D A 2 5 1 sincoscossin BABA 此时有 sinA cosA sinB cosB 四个未知数 显然不能通过两个方程求出 因此将 sinAcosB cosAsinB 看成两个未知数 二元一次方程组 将其整体解出 得 5 2 cossin BA 5 1 sincos BA 由于两个等式相除可得正切与余切 tanA cotB 2 即 tanA 2 tanB 这也可从转化待 定式 sinAcosB 2cosAsinB 得到有效支撑 B B A A cos sin2 cos sin 由第 1 问的结论 能得关于 tanA 与 tanB 的一个方程 tanA 2 tanB 还需要再建 立一个关于 tanA 与 tanB 的方程 这个方程可由已知条件及求得 5 3 sin BA BA 2 先得出 展开后 得 4 3 tan BA 4 3 tantan1 tantan BA BA 解由 组成的方程组 可求出 62tan A 2 62 tan B 求 CD 时 同样需要列方程 AB AD DB 由 AB 3 可解得 AB 边上的高 62 3 tantan CD B CD A CD 62 CD 评注 本题是对三角恒等变形及求值问题的考查 重点放在方程思想和转化思想上 其 解题过程是方程思想与转化思想的最佳体现 例 3 已知函数 y tan 2x 的图象过点 则 可以是 0 12 A B C D 6 6 12 12 分析与解 y tan 2x 过点 0 12 即 k Z 0 6 tan k 66 k 当 k 0 时 得 选 A 6 评注 将点代入后 化为已知三角函数值求角的问题 这时应通过坐标系写出满足条 件的角的终边所在象限的所有角 再结合题目要求求出其解 例 4 已知 是成公比为 2 的等比数列 0 2 且 sin sin sin 也 成等比数列 求 的值 分析与解 是成公比为 2 的等比数列 2 4 减少变量 消元 sin sin sin 成等比数列 sin sin sin sin 2sin 4sin sin 2sin cos 2cos2 1 即 2cos2 cos 1 0 化归为关于 cos 的二次方程 解得 cos 1 或 2 1 cos 当 cos 1 时 sin 0 与等比数列的首项不为零矛盾 故 cos 1 应舍去 当 0 2 时 或 2 1 cos 3 2 3 4 3 所以 或 3 2 3 4 3 8 3 4 3 8 3 16 评注 本题通过将文字叙述向等式 符号 转化 使用方程思想 消元 化为关于 cos 的一元二次方程 并时时注意字母取值范围 而简捷获解 例 5 已知 6 sin2 sin cos 2cos2 0 求的值 2 3 2sin 分析与解 首先从已知出发 需要将二次式转化为一次式 因式分解转化 或减少 函数名种类 转化为关于 tan 的一元二次方程 有 3sin 2cos 2sin cos 0 即 3sin 2cos 0 或 2sin cos 0 由已知条件可知 cos 0 所以 即 从而 tan 0 2 2 3 2 tan 其次从待求式出发 有 3 sin2cos 3 cos2sin 3 2sin sin cos 2 3 cossin 22 22 22 22 sincos sincos 2 3 sincos cossin 2 2 2 tan1 tan1 2 3 tan1 tan 2 2 tan22 tan3tan23 于是将 tan 的值代入 不难计算出的值等于 为所求 3 2sin 26 1235 评注 本题对已知和待求式一再进行等价转化 目的是沟通它们的联系 寻到一个联结 点 tan 事实上 若借助于计算器 机 亦可由直接求出角 33 69 代入 3 2 tan 快速求得其值为 0 12845 与上述结果一致 3 2sin 例 6 若 求 cos 的值 5 13 sin 3sin 分析与解 sin 2sin sin 3sin 5 13 sin sin2coscos2sin 5 13 sin sin2coscossin2 2 即 5 13 2coscos2 2 5 18 cos4 2 10 9 cos2 10 103 cos 评注 本题通过和角公式 倍角公式 或变形 对已知条件一再实施转化 使其和结论 联系起来 例 7 函数 x x xf cos 2cos1 A 在上递减 2 2 3 2 3 2 2 0 在上递增 4 B 在上递减 2 2 3 2 2 3 2 0 在上递增 C 在上递减 2 3 2 0 2 2 3 2 在上递增 D 在上递减 2 2 2 0 2 3 2 3 0 在上递增 分析与解 将函数 f x 简单化 明显化 有 是分段函数 x x x x x x xf cos sin 2 cos sin2 cos sin21 1 2 2 即 0 sin tan2 0sin tan2 xx xx xf 1 在一 二象限时 sin x 0 单调递增 xxftan2 2 在三 四象限时 sin x 0 单调递减 xxftan2 于是 结合备选项 选 A 评注 本题综合考查三角函数式的化简及分段函数知识 同时较好地考查了三角函数 的性质 整个解题过程十分深刻地蕴含了多种数学思想的应用 例 8 函数 y A sin x 0 x R 2 的部分图象如图所示 则函数表达式为 A B 48 sin 4 xy 48 sin 4 xy C D 48 sin 4 xy 48 sin 4 xy 分析与解 由图象可以看出 A 4 T 16 于是 26 2 T 816 2 将点 2 0 或 6 0 代入函数中 得 8 sin 4 xy0 4 sin 比照到正弦函数五点作图简法 此处对应于 4 4 5 8 sin 4 xy 又 函数表达式为 选 A 2 48 sin 4 xy 48 sin 4 x 评注 本题考查给定三角函数图象 求三角函数表达式 考查方程 数形结合和化归的 数学思想 自我检测 一 选择题 1 对任意的锐角 下列不等关系中正确的是 D A sin sin sin B sin cos cos C cos sin sin D cos cos cos 2 当时 函数的最小值为 C 2 0 x x xx xf 2sin sin82cos1 2 x y 4 4 O 26 5 A 2 B C 4 D 3234 解 将函数式等价化为 x x x x x x xx xx xf tan 1 tan4 cos sin4 sin cos cossin2 sin8cos2 22 所以 当时 有 f x 4 选 C 2 0 x 3 在 ABC 中 已知 给出以下四个论断 C BA sin 2 tan tanA cotB 1 2sinsin0 BA sin2A cos2B 1 cos2A cos2B cos2C 其中正确的是 B A B C D 解 将已知等式明显化 有 2 cos 2 sin2sin 22 tan 2 tan CC C CBA 得 2 2 2 sin C 2 C 从而 tanA cotB tanA tanA tan2A 1 不一定成立 sinA sinB sinA cosA sin A 0 2 4 2 sin2A cos2B 2sin2A 1 不一定成立 cos2A cos2B cos2A sin2A 1 故 正确 选 B 4 锐角三角形的内角 A B 满足 tanA tanB 则有 A2sin 1 A sin2A cosB 0 B sin2A cosB 0 C sin2A sinB 0 D sin2A sinB 0 解 已知式可变形为 B A AA tan 2sin 12sintan BAB A A B A A tan 2 2tan tan 2sin 2cos tan 2sin 1sin2 2 得 不难验证 A 正确 BA 2 2 2 2 AB 5 B 2 2sin2cos 1 cos2cos2 A tan B tan2 C 1 D 1 2 解 原式 选 B 2tan 2cos 2sin 2cos cos cos2 sin2 2 2 6 设函数 f x sin3x sin3x 则 f x 为 A A 周期函数 最小正周期为 B 周期函数 最小正周期为 3 2 3 C 周期函数 数小正周期为 2 D 非周期函数 解 函数 画出大致图象 即可选出 A 03sin 0 03sin 3sin2 x xx xf 7 若 sin cos tan 则 C 2 0 6 A B C D 6 0 4 6 3 4 2 3 解 2 0 2 1 4 sin2cossin 选 C 2 1 tan 3 4 8 给出四个函数 则同时具有以下两个性质 最小正周期是 图象关于点 对称的函数是 D 0 6 A B C D 6 2cos xy 6 2sin xy 62 sin x y 6 tan xy 解 由 可排除 C 由于的对称中心是 k Z 可知选择支 D 符 3 tan xy 0 2 k 合要求 9 先将函数 y sin2x 的图象向右平移个单位长度 再将所得图象作关于 y 轴的对称 3 变换 则所得函数图象对应的解析式为 D A B 3 2sin xy 3 2sin xy C D 3 2 2sin xy 3 2 2sin xy 解 将函数 y sin2x 的图象向右平移个单位长度 得到 3 再将所得图象作关于 y 轴的对称变换得到 3 2 2sin 3 2sin xxy 故选 D 3 2 2sin 3 2 2sin xxy 二 填空题 1 函数 f x cos x cos2x x 取得最小值时 x 的值为 2 0 解 显然 函数 f x 是偶函数 设 cos x t 0 1 则 y t 2 t2 1 1 当时 y 2t2 t 1 得 2 2 0 t 8 9 4 1 2 2 t 8 9 2 2 y 2 当时 y 2t2 t 1 得 1 2 2 t 8 9 4 1 2 2 t2 2 2 y 因此 函数的最小值是 此时 2 2 4 x 2 设 为第四象限的角 若 则 tan2 5 13 sin 3sin 4 3 3 若 则 7 1 cos 2 0 3 cos 11 14 4 已知 均为锐角 且 cos sin 则 tan 1 5 若 则 sin3 cos3 的值为 4 2 4 cos 7 解 由已知得 4 2 4 sinsin 4 coscos 2 1 sincos 于是 有 4 1 sinsincos2cos 22 8 3 cossin sin3 cos3 sin cos sin2 sin cos cos2 sin cos 1 sin cos 16 11 8 3 1 2 1 三 解答题 1 化简 并求 2 3 sin 32 2 3 16 cos 2 3 16 cos ZR kxxx k x k xf 函数 f x 的值域和最小正周期 解 2 3 sin 32 2 3 2cos 2 3 2cos xxkxkxf 2 3 sin 32 2 3 cos 2xx x2cos4 所以函数 f x 的值域为 4 4 最小正周期 2 2 T 2 已知函数 f x 2sinxcosx cos2x 1 求 f 的值 2 设 0 求 sin 的值 4 2 2 2 f 解 1 f x 2sinxcosx cos2x 1 2 cos 2 sin 4 f 2 2 2 cossin 2 f 2 3 4 cos 2 1 4 sin 2 62 44 sin sin 0 sin 0 4 62 sin 3 已知在 ABC 中 sinA sinB cosB sinC 0 sinB cos2C 0 求角 A B C 的大小 解 由 sinA sinB cosB sinC 0 得 sinA sinB sinA cosB sin A B 0 所以 sinA sinB sinA cosB sinA cosB cosA sinB 0 即 sinB sinA cosA 0 因为 B 0 所以 sinB 0 从而 sinA cosA 由 A 0 知 从而 4 A 4 3 CB 由 sinB cos2C 0 得 0 4 3 2cossin BB 即 sinB sin2B 0 亦即 sinB 2sinB cosB 0 由此得 所以 12 5 3 2 1 cos CBB 4 A 12 5 3 CB 4 已知 0 2 x 5 1 cossin xx 8 1 求 sin x cos x 的值 2 求的值 xx xxxx cottan 2 cos 2 cos 2 sin2 2 sin3 22 解 1 解联立方程 1 cossin 5 1 cossin 22 x xx 由 得 将其代入 整理 得 25cos2x 5cosx 12 0 xxcos 5 1 sin 即 5cosx 4 5cosx 3 0 5cosx 4 0 进而得 0 2 x 5 4 cos x 5 3 sin x 故 5 7 cossin xx 2 原式 x x x x x x sin cos cos sin 1sin 2 sin2 2 125 108 5 3 5 4 2 5 4 5 3 sincos2 cossin xxxx 5 已知 求 sin 及 25 7 2cos 10 27 4 sin 3 tan 解 由题设条件可得 即 10 27 cos sin 2 2 4 sin 5 7 cossin 即 25 7 sin cos 5 7 sincos2cos 22 5 1 sincos 解由 式和 式组成的方程组 得 因此 5 4 cos 5 3 sin 4 3 tan 由两角和的正切公式得 11 32548 tan31 3tan 4 tan 6 已知 是锐角 且 cos si