教案(空间向量运算的坐标表示)

3 1 5 空间向量运算的坐标表示教案空间向量运算的坐标表示教案 学科 数学学科 数学 主备人 陆艳娥主备人 陆艳娥 日期 日期 2013 12 主备内容主备内容 教材分析教材分析 本节课内容选自人教数学选修 2 1 第三章 这节课是在学生已经学 过的二维的平面直角坐标系的基础上的推广 是以后学习 立体几 何中的向量方法 等内容的基础 它将数与形紧密地结合起来 这 节课学完后 如把几何体放入空间直角坐标系中来研究 几何体上 的点就有了坐标表示 一些题目如两点间距离 异面直线成的角等 就可借助于空间向量来解答 所以 这节课对于沟通高中各部分知 识 完善学生的认知结构 起到了很重要的作用 知识与技能 通过与平面向量类比学习并掌握空间向量加法 减法 数乘 数量积运算的坐标表示以及向量的长度 夹角公式的 坐标表示 并能初步应用这些知识解决简单的立体几何问题 过程与方法 通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比 使 学生掌握空间向量运算的坐标表示 渗透类比的数学方法 会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题 体 会向量方法在研究空间图形中的作用 培养学生的空间想象能力和 几何直观能力 三维目标 三维目标 教学目标教学目标 情感态度价值观 通过提问 讨论 合作 探究等主动参与教学的 活动 培养学生主人翁意识 集体主义精神 教学重点教学重点 空间向量运算的坐标表示 教学难点教学难点 空间向量运算的坐标表示的应用 课时安排课时安排 一课时 教学策略教学策略 启发诱导 讲练结合 板书设计板书设计 3 1 5 空间向量运算的坐标表示 一 复习引入 三 课堂小结 二 一 空间向量运算坐标表示 二 应用举例 教学流程 教学流程 教师活动教师活动学生活动学生活动 一 复习引入 一 复习引入 平面向量的坐标运算 设 则 12121122 aa abb bA x yB xy 1 1122 abab ab 1122 abab ab 12 aaaR 1 122 a baba b 2 即 0 ab bab 1122 ab ab ab 0a b 1 122 0a ba b 3 22 12 aaa 2121 ABOBOAxx yy 22 2121 AB dABxxyy 注意 1 122 2222 1212 cos aba ba b a b a b aabb 0 a b 思考 思考 你能由平面向量的坐标运算类比得到空间向量的坐标运算吗 它们是否成立 为什么 二 新授 二 新授 一 空间向量运算的坐标表示 一 空间向量运算的坐标表示 设 则 123123111222 aa a abb b bA x y zB xyz 1 112233 abab ab ab 112233 abab ab ab 123 aaaaR 1 2223 3 a baba ba b 问题 上述法则怎样证明呢 以为例进行证明ba 将和代入即可 k a j a i a a 321 k b j b i b b 321 2 即 0 abab b 112233 ab ab ab ab 0a b 1 1223 3 0a ba ba b 3 222 121 aaaa 212121 ABOBOAxx yy zz 222 212121 AB dABxxyyzz 复习回顾 平面向量 的坐标运 算为后续 内容的整 体把握作 准备 类比提升 注意 1 1223 3 223222 123123 cos aba ba ba b a b a b aaabbb 0 a b 二 应用举例 二 应用举例 课堂练习课堂练习 1 1 已知 1 5 1 5 2 3 ba ba 求 3ba a 6ba 课堂练习课堂练习 2 2 如图正方体的棱长为 2 试建立适 当的空间直角坐标系 写出正方体各顶点的坐 标 并和你的同学进行交流 例例 1 1 如图 在正方体中 点分别是 1111 ABCDABC D 11 E F 的一个四等分点 求直线与所成角的余弦值 1111 AB C D 1 BE 1 DF 分析 分析 选择适当的坐标系后 建系求点坐标 向量坐标 根据夹角 公式求出两异面直线上的对应向量夹角的余弦值 从而得到异面直 线所成角的余弦值 问题 问题 异面直线上对应向量的夹角与异面 直线所成角相等吗 为什么 有何关系 结论 不一定相等 可能相等或互补 则 11 11 11 cos DFBE DFBE DFBECOS 解 解 不妨设正方体的棱长为 1 分别以 为单位正交基底DADC 1 DD 建立空间直角坐标系 Oxyz 1 4 1 0 0 0 0 1 4 3 1 0 1 1 11 FDEB 1 4 1 0 0 1 1 1 4 3 1 1 BE 1 4 1 0 0 0 0 1 4 1 0 1 DF 16 15 11 4 1 4 1 00 11 DFBE 4 17 1 BE 4 17 1 DF 熟悉空间 向量运算 法则 巩 固提高 和同学合 作交流完 成课后练 习 2 初 步掌握如 何建系和 找空间中 点的坐标 注意 异 面直线所 成角与异 直线上向 量所成角 的区别 17 15 4 17 4 17 16 15 11 11 11 DFBE DFBE DFBECOS 因此 直线与所成角的余弦值是 1 BE 1 DF 17 15 总结 总结 利用空间向量坐标运算解决简单立体几何问题的一般步骤 1 建立适当的空间直角坐标系 并求出相关点的坐标 建系求 点 2 将空间图形中的元素关系转化为向量关系表示 构造向量并 坐标化 3 经过向量运算确定几何关系 解决几何问题 向量运算 几 何结论 课堂练习课堂练习 3 3 如图 已知正方体中 点是的 1111 ABCDABC D MAB 中点 求与所成的角的余弦值 1 DBCM 解 解 设正方体的棱长为 1 建立空间直角 坐标系 Oxyz 0 2 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 MCBD 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 DB 0 2 1 1 0 1 0 0 2 1 1 CM 3 1 DB 2 5 CM 2 1 01 2 1 111 1 CMDB 15 15 2 5 3 2 1 1 1 1 CMDB CMDB CMDBCOS 因此 直线与所成的角的余弦值是 1 DBCM 15 15 三 课堂总结 三 课堂总结 1 1 知识知识 1 空间向量的坐标