江苏省南通市2019届高三年级阶段性学情联合调研数学试题

1 20192019 届高三年级阶段性学情联合调研届高三年级阶段性学情联合调研 数学试题 参考公式 锥体的体积 其中是锥体的底面积 是锥体的高 1 3 VSh Sh 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共计 70 分 请将答案填写在答题卷相应的位置上 1 已知集合 则集合中的元素个数为 1 3 5 2 3AB AB 2 已知复数 为虚数单位 若是纯虚数 则实数的值为 3zai i 2 za 3 已知双曲线 则点 4 0 到C的渐近线的距离为 22 1C xy 4 设命题 命题 那么是的 条件 选填 充分不必要 4p x 2 540q xx pq 必要不充分 充要 既不充分也不必要 5 函数的定义域为 ln2f xx 6 在中 角所对的边分别为 若 则 ABC A B C a b c 6 3 3 Cbc A 7 设等差数列的公差为 其前项和为 若 则的值为 n adn n S 410 0aa 122 210SS d 8 如图 已知正方体的棱长为 1 则四棱锥的体积为 1111 ABCDABC D 111 ABB D D 9 已知函数与函数的图象交于三点 则 sin0 f xx x 1 tan 3 g xx A B C 的面积为 ABC 10 设为空间两条不同的直线 为空间两个不同的平面 给出下列命题 m n 若 则 若 则 mm mm 若 则 若 则 mmn n m m 其中的正确命题序号是 11 设 向量 若 则的最小值为 0 0 xy a 1 4x b xy ab xy 12 已知函数 则不等式的解集为 2 xx f xeex 2 430f xfx 2 13 已知函数 若函数有三个不同的零点 则实数的 1 ln1 1 21 1 x xx f x x g xf xa a 取值范围是 14 已知直线与圆无公共点 为圆的直径 若在直线 上 3l ykx 22 20C xyy ABCl 存在点使得 则直线 的斜率的取值范围是 P1PA PB lk 二 解答题 本大题共 6 小题 计 90 分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系中 已知角的顶点与坐标原点重合 始边与 x 轴的非负半轴重合 xOy 它的终边过点 34 55 P 1 求的值 sin 3 2 若角满足 求的值 5 sin 13 cos 16 本小题满分 14 分 如图 在三棱柱中 侧面为菱形 且 是 111 ABCABC 11 AAB B 1 60A AB ACBC D 的中点 AB 1 求证 平面 1 BC 1 ADC 2 求证 平面平面 1 ADC ABC 11 1 D C B A C B A 第 16 题 3 17 本小题满分 14 分 已知椭圆的左右焦点坐标为 且椭圆经 22 22 10 xy Eab ab 12 3 0 3 0FF E 过点 1 3 2 P 1 求椭圆的标准方程 E 2 设点是椭圆上位于第一象限内的动点 分别为椭圆的左顶点和下顶点 直线ME A BE 与轴交于点 直线与轴交于点 求四边形的面积 MBxCMAyDABCD 18 本小题满分 16 分 某海警基地码头的正西方向海里处有海礁界碑 过点且与成角 即北偏东O30AAAO60 的直线 为此处的一段领海与公海的分界线 如图所示 在码头的正西方向且距离点海30 lOO12 里的领海海面处有一艘可疑船停留 基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后 海警巡逻艇从P 处即刻出发 若巡逻艇以可疑船的航速的倍前去拦截 假定巡逻艇和可疑船在拦截过O 1 程中均未改变航向航速 将在点处截获可疑船 Q 1 若可疑船的航速为海里 小时 且可疑船沿北偏西的方向朝公海逃跑 求巡10 2 30 逻艇成功拦截可疑船所用的时间 2 若要确保在领海内 包括分界线 成功拦截可疑船 求的最小值 4 19 本小题满分 16 分 已知函数 为常数 32 4f xaxbxa a b 1 若 1 3ab 求函数在区间上的最大值及最小值 f x 4 2 若过点可作函数的三条不同的切线 求实数 的取值范围 1 t f x t 2 当时 不等式恒成立 求的取值范围 1 4x 2 04f xx ab 20 已知正项等比数列的前项和为 且 数列 n a n n SnN 32 2aa 24 16aa 的前项和为 且 n b nn T 11 1 1 1 2 nn n n bnTnTnN 1 求数列的通项公式及其前项和 n a nn S 2 证明数列为等差数列 并求出的通项公式 n b n b 3 设数列 问是否存在正整数 使得成等差数 1 1 1 12 n kk n k Sb c kk m n l mnl mnl cc c 列 若存在 求出所有满足要求的 若不存在 请说明理由 m n l 5 20192019 届高三年级阶段性学情联合调研届高三年级阶段性学情联合调研 数学试题 附加卷 21 B 已知二阶矩阵 M 属于特征值的一个特征向量为 e 并且矩阵 M 对应的变换将点3 1 1 变成点 求出矩阵 M 1 2 9 15 21 C 已知曲线的极坐标方程是 直线 的参数方程是 为参数 C2sin l 3 2 5 4 5 xt yt t 设直线 与轴的交点是 是曲线上一个动点 求的最大值 lxMNCMN 22 某市有四个景点 一位游客来该市游览 已知该游客游览的概率为 游览 A B C D A 2 3B 和的概率都是 且该游客是否游览这四个景点相互独立 CD 1 2 1 求该游客至多游览一个景点的概率 2 用随机变量表示该游客游览的景点的个数 求的概率分布和数学期望 XX E X 23 已知抛物线经过点 过点的直线 与抛物线有两个不同的交点 2 2C ypx 1 2P 0 1Q lC 6 且直线交轴于 直线交轴于 ABPA y MPB y N 1 求直线 的斜率的取值范围 l 2 设为原点 求证 O QMQO QNQO 11 为定值 20192019 届高三年级阶段性学情联合调研届高三年级阶段性学情联合调研 数学试题 参考答案及评分标准 一 填空题 1 4 2 3 4 充分不必要 5 6 7 8 3 2 2 2 e 5 12 10 1 3 9 10 11 9 12 13 14 2 3 14x xx 或 1 2 3 11 3 二 解答题 15 1 角的终边经过点 34 55 P 22 34 1 55 OP 4 分 43 sin cos 55 7 分 13143343 3 sin sincos 322252510 2 9 分 5 sin 13 22 512 cos 1 sin 1 1313 coscos cossin sin 当时 11 分 12 cos 13 56 cos 65 当时 13 分 12 cos 13 16 cos 65 7 综上所述 或 14 分 56 cos 65 16 cos 65 16 1 证明 连结 设 连结 1 C A 11 ACACE DE 三棱柱的侧面是平行四边形 为中点 2 分 11 AAC CE 1 AC 在 中 又 是的中点 4 分 1 ABCDABDE 1 BC 平面 平面 平面 6 分DE 1 ADC 1 BC 1 ADC 1 BC 1 ADC 2 为菱形 且 为正三角形 8 分 11 ABB A 1 60A AB 1 A AB 是的中点 DAB 1 ABAD 是的中点 10 分ACBC DABABCD 平面 12 分 1 ADCDD AB 1 ADC 平面 平面平面 14 分AB ABC 1 ADC ABC 17 解 1 因为椭圆焦点坐标为 且过点 12 3 0 3 0FF 3 1 2 P 所以 所以 3 分 12 149 24 24 aPFPF 2a 从而 22 431bac 故椭圆的方程为 6 分 2 2 1 4 x y 2 设点 0000 02 01M xyxy 0C m 0 Dn 因为 且三点共线 所以 解得 2 0A A D M 0 0 22 yn x 0 0 2 2 y n x 所以 8 分 000 00 222 1 22 yxy BD xx 同理得 10 分 00 0 22 1 xy AC y 因此 2 00 0000 0000 22222211 2221221 ABCD xyxyxy SAC BD xyxy 8 12 分 22 000000 0000 44484 222 xyx yxy x yxy 因为点在椭圆上 所以 即 代入上式得 00 M xy 2 2 0 0 1 4 x y 22 00 44xy 14 分 0000 0000 4488 2 222 ABCD x yxy S x yxy 18 1 因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的 2 倍 可疑船的航速为海里 小时 所以巡逻艇的10 航速为海里 小时 且 设 则 202OQPQ PQa 2OQa 又可疑船沿北偏西的方向朝公海逃跑 所以 2 分30 120QPO 在中 有 OPQ 222 2cosOQOPPQOP PQOPQ 即 故 解得 负值舍去 5 分 22 41442 12 cos120aaa 2 4480aa 22 13a 所以小时 7 分 131 105 a t 2 以为坐标原点 的方向为轴的正方向 建立如图所示的平面直角坐标系 则OAOx 设 12 0 30 0PA Q x y 因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的倍 所以 OQPQ 故 即 2 2222 12xyxy 22 22 22 24144 0 11 xyx 故可疑船被截获的轨迹是以为圆心 以为半径的圆 10 分 2 2 12 0 1 2 12 1 又直线 的方程为 即 l 330yx 330 30 xy 9 要确保在领海内 包括分界线 成功拦截可疑船 则 圆心在直线下方 且的轨迹与直线 至多只有一个公共点 2 2 12 0 1 330yx Ql 所以且 13 分 2 2 12 300 1 2 2 2 12 3 30 3 1 12 21 即 解得 2 2 5 3 3 345 30 1 3 故要确保在领海内 包括分界线 成功拦截可疑船 则 16 分 min 3 19 1 因为 所以 从而 1 3ab 32 34f xxx 2 36fxxx 令 解得或 列表 0fx 2x 0 x x4 4 2 2 2 0 0 0 22 fx f x12 A8A4A24 所以 4 分 max 224f xf min12f x 设曲线切线的切点坐标为 则 f x 32 000 34P x xx 2 00 36kxx 故切线方程为 322 00000 3436yxxxxxx 因为切线过点 所以 1 t 322 00000 34361txxxxx 即 6 分 3 00 2640 xxt 令 则 3 000 264g xxxt 2 00 66gxx 所以 当时 此时单调递增 0 11 x 0 0gx 0 g x 当时 此时单调递减 0 1 1x 0 0gx 0 g x 所以 0 18g xgt 极小值 0 1g xgt 极大值 10 要使过点可以作函数的三条切线 则需 解得 9 分 1 t f x 10 10 g g 08t 2 当时 不等式 322 044axbxax 等价于 11 分 1 4x 2 4 04a xb x 令 则 2 4 h xx x 3 33 88 1 x h x xx 所以 当时 此时函数单调递减 1 2x 0h x 当时 此时函数单调递增 故 13 分 2 4x 0h x minmax 3 5h xh x 若 则 此时 0a 04b 04ab 若 则 从而 0a 034 054 ab ab 2 354 8ababab 综上可得 16 分 48ab 20 1 设正项等比数列的公比为 则由得 从而 又由 n a 0q q 24 16aa 2 3 16a 3 4a 得 因此 32 2aa 2 2a 3 2 2 a q a 所以 4 分 21 2 2 nn n aa q 1 2 21 1 2 n n n S 2 方法一 因为 所以 6 分 1 1 1 2 nn n n nTnT 1 1 12 nn TT nn 从而数列是以为首项 为公差的等差数列 故 n T n 1 1 1 T 1 2 11 111 22 n T nn n 故 1 1 2 n Tn n 当时 且时适合 因此 2n 1 11 11 22 nnn bTTn nnnn 1n n bn 从而当时 为常数 所以 数列为等差数列 9 分 2n 1 1 nn bb n b 方法二 因为 1 1 1 2 nn n n nTnT 所以 当时 有 2n 1 1 1 2 nn n n nTnT 两式相减得 即 11 2 nnn nTnTnTn 11 21 nnn TTT 故 即 7 分 11 1 nnnn TTTT 1 1 nn bb 又由得 从而 故 11 1 1 1 2 nn n n bnTnT 21 213TT 221 2bTT 21 1bb 所以 数列为等差数列 9 分 n b 11 3 因为 121 1 1222 121221 kkk kk Sbk kkkkkk 所以 11 分 3243212 2222222 2 3243212 nnn n c nnn 假设存在存在正整数 使得成等差数列 则 m n l mnl mnl cc c 即 222 222 2222 222 nml nml 322 222 222 nml nml 令 则原问题等价于存在正整数 使得 2 3 n n dnnN n 3m n lmnl 即成立 222 2 nml nml 2 nml ddd 因为 因为 故数列单调递增 1 1 2122 0 11 n nn nn n dd nnn n 3n n d 若 即 则 2ln 2ln 2ln dd 从而 即 而 2 2 2 44 2 2 2 22 1 n ln n nn ddn n ddn n n 2 ln dd 2 nml ddd 因此 这与恒成立矛盾 故只能有 即 13 分 0 m d 0 m d 1ln 1ln 从而 故 即 11 222 1 nmn nmn 1 22 1 mn mn n 1 1 4 2n m n n mnnm 若为奇数 则记 从而 n 1 1 2n m n t 1 1 2 2 m n n t 因为数列单调递增 所以数列单调递减 故当时 3 n dnnN 1 3 n nnN d 4n 而 故 因此 式无正整数解 1 15 232 n n 2mN tN 若为偶数 则记 即 同理可得 无正整数解 n 1 2n m n u 1 2 2 m n n u 综上 不存在存在正整数 使得成等差数列 也即不存在正整 3m n lmnl mnl ccc 数 使得成等差数列 16 分 m n l mnl mnl cc c 12 20192019 届高三年级阶段性学情联合调研届高三年级阶段性学情联合调研 数学试题 参考答案及评分标准 21 B 设 由条件有 且 4 分 a b c d M 11 3 11 a b c d 19 215 a b c d 所以解得 10 分 3 3 29 215 ab cd ab cd 1 4 3 6 a b c d 14 36 M 21 C 曲线的直角坐标方程为 故圆的圆心坐标为 0 1 半径C 22 20 xyy C1r 4 分 直线 的直角坐标方程 令 得 即点的坐标为 2 0 l 4 2 3 yx 0y 2x M 7 分 从而 所以 5MC 51MNMCr 即的最大值为 10 分 MN 51 22 1 记 该游客游览 个景点 为事件 i 0 1 i A i 13 则 0 21111 1111 322224 P A 32 1 13 212115 1111 3232224 P AC 所以该游客至多游览一座山的概率为 4 分 01 151 24244 P AP A 2 随