第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题(八年级)

第三届第三届 长江杯长江杯 全国数学邀请赛预赛试题全国数学邀请赛预赛试题 八年级 八年级 一二三 题 号 1 67 1213141516 总 分 得 分 一 选择题 选择题 本大题有 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 以下每题的四个选项中 仅有一个 是正确的 请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内 1 三角形的三边长分别为6 1 3a 10 则 a 的取值范围是 A 6 a 3B 5 a 1C 5 a 1D a 1或 a 5 2 使分式有意义的 x 的取值范围是 x x yzx 52015 2015 2016 201620152014 A x 0 B x 0且 x 403 C x 0且 x 403D x 0且 x 403 3 如图 将纸片 ABC 沿着 DE 折叠压平 且 1 2 72 则 A 等于 A 72 B 24 C 36 D 18 4 如图钢架中 焊上等长的钢条来加固钢架 若 则这样的钢条10A 112 PAPP 至多需要 A 5 根 B 6 根 C 7 根 D 8 5 若 则代数式的值是 2 2310 xx 201564 2 xx A 2013 B 2014 C 2015 D 2016 6 三角形三边的长分别为 且 则三角形是 a b c aabc bcbca A 等边三角形 B 直角三角形 C 以为腰的等腰三角形 D 以为底的等腰三角形aa 二 填空题二 填空题 本大题有 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 7 分解顺式 15314 3 xx 8 如图 在中 ABC ACAB 40ABC 是的平分线 延长至 使 BDABC BDEDEAD 连结 则的度数为 CEECA 第3题图第4题图 2 1 A B C D E D B C A E 第8题图 9 ABC 中 三个内角的度数均为整数 且 则 的ACCBA 74 B 度数为 10 若展开式中含项的系数是 17 则的值是 1 2 3 xa xxx 3 xa 11 若关于的分式方程无解 则 x 15 3 21 m x m x m 12 若 且 abc 24 2013 2 xa2014 2 xb2015 2 xc 则的值为 cbaab c ac b bc a111 三 解答题三 解答题 本大题有 4 小题 每小题 15 分共 60 分 13 已知 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 A 30 CD AB 交 AB 于点 E 且 CD AC DF BC 分别与 AB AC 交于点 G F 1 求证 GE GF 2 若 BD 1 求 DF 的长 第 13 题图 14 如图 ABC 是等边三角形 BDC 是顶角 BDC 120 的等腰三角形 M 是 AB 延 长线上一点 N 是 CA 延长线上一点 且 MDN 60 试探究 BM MN CN 之间的数量 关系 并给出证明 第 14 题图 15 已知为正整数 且为有理数 证明为整数 a b c 3 3 ab bc 222 abc abc 16 为迎接外国使节来访 仪仗队某小组进行队列造型设计 首先组长让全体队员排成一 个方阵 即行与列的人数一样多的队形 人数正好够 然后组长又继续组织了几个队形的 变化 最后一个造型需要 5 人一组 手拿鲜花变换队形 在讨论分组方案时 一组员说现 在的队员人数按 5 人一组 分将多出 3 人 同学们 你们说一说这可能吗 为什么 第三届第三届 长江杯长江杯 全国数学邀请赛预赛试题全国数学邀请赛预赛试题 八年级参考答案八年级参考答案 一 选择题一 选择题 1 C 2 B 3 C 4 D 5 A 6 C 二 填空题二 填空题 7 8 40 9 59 10 11 11 6 10 12 52 3 12 xxx 8 1 三 解答题三 解答题 13 1 DF BC ACB 90 CFD 90 CD AB AEC 90 在 Rt AEC 和 Rt DFC 中 AEC CFD 90 ACE DCF DC AC Rt AEC Rt DFC CE CF DE AF 而 AGF DGE AFG DEG 90 Rt AFG Rt DEG GF GE 2 CD AB A 30 CE AC CD 2 1 2 1 CE ED BC BD 1 又 ECB ACE 90 A ACE 90 ECB A 30 CEB 90 BE BC BD 2 1 2 1 2 1 在直角三角形 ABC 中 A 30 则 AB 2BC 2 则 AE AB BE 2 3 Rt AEC Rt DFC 第 13 题图 DF AE 2 3 14 CN MN BM 证明 在 CN 上截取点 E 使 CE BM 连接 DE ABC 为等边三角形 ACB ABC 60 又 BDC 为等腰三角形 且 BDC 120 BD DC DBC BCD 30 ABD ABC DBC ACB BCD ECD 90 在 MBD 和 ECD 中 ECBM ECDMBD DCBD MBD ECD SAS MD DE MDB EDC 又 MDN 60 BDC 120 EDN BDC BDN EDC BDC BDN MDB BDC MDN 120 60 60 MDN EDN 在 MND 与 END 中 DEMD EDNMDN NDND MND END SAS MN NE CN NE CE MN BM 15 因是无理数 则 330bc 而 22 3 3 3 33 ababbc bcbc 为有理数 2 22 33 3 abbcbac bc 所以 于是 2 0bac 222222 2 2 abcabcabbcacabcabbcb 2 2 abcb acbabc abc 第 14 题图 因此 为整数 222 abc abc abc 16 不可能 因为全体队员可排成一个方阵 所以总人数是一个完全平方数 设每行人 则总人m 数为人 根据变化队形时按 5 人分组 可考虑为 2 mm5n51n 52n 53n 中的某种情形 这里为正整数 从而全体人数可能是54n n 2 m 22 5 5 5 nn 222 51 251015 52