2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质练习 新人教A版选修2-3

1 1 3 21 3 2 杨辉三角杨辉三角 与二项式系数的性质与二项式系数的性质 基础练习 1 在 1 x 6 1 y 4的展开式中 记xmyn项的系数为f m n 则f 3 0 f 2 1 f 1 2 f 0 3 a 45 b 60 c 120 d 210 答案 c 2 2018 年宁波模拟 若 1 mx 6 a0 a1x a2x2 a6x6 且a1 a2 a6 63 则实数m的值为 a 1 或 3 b 3 c 1 d 1 或 3 答案 d 3 设m为正整数 x y 2m展开式的二项式系数的最大值为a x y 2m 1展开式的二 项式系数的最大值为b 若 13a 7b 则m a 5b 6 c 7d 8 答案 b 解析 x y 2m展开式中二项式系数的最大值为 c 即a c 同理 m2mm2m b c 13c 7c 即 13 m2m 1m2mm2m 1 13 2m m m 7 2m 1 m m 1 7 2m 1 m 1 解得m 6 4 设 x2 1 2x 1 9 a0 a1 x 2 a2 x 2 2 a11 x 2 11 则 a0 a1 a2 a11等于 a 2 b 1 c 1 d 2 答案 a 解析 令x 1 得 1 2 1 2 1 1 9 a0 a1 2 1 a2 2 1 2 a11 2 1 11 a0 a1 a2 a11 2 故选 a 5 2019 年六安期末 在 1 x 2 1 x 3 1 x 8的展开式中 含 x2项的系数是 结果用数值表示 答案 84 解析 展开式中 含 x2项的系数是 2 c22 c32 c42 c52 c62 c72 c82 c33 c32 c42 c52 c62 c72 c82 c93 84 6 如图是一个类似杨辉三角的递推式 则第n行的首尾两个数均为 答案 2n 1 7 1 x 5 3 2x 9 a0 x 1 14 a1 x 1 13 a13 x 1 a14 求 1 a0 a1 a14的值 2 a1 a3 a13的值 解析 1 令x 0 得a0 a1 a14 39 2 设a a0 a2 a14 b a1 a3 a13 则有a b 39 令x 2 有 a b 35 联立方程组 解得a1 a3 a13 39 35 2 8 在 3x 2y 20的展开式中 求 1 二项式系数最大的项 2 系数绝对值最大的项 3 系数最大的项 解析 1 二项式系数最大的项是第 11 项 t11 c 310 2 10 x10y10 c 610 x10y10 10201020 2 设系数绝对值最大的项是第r 1 项 于是error 化简 得error 解得 7 r 8 2 5 2 5 所以r 8 即t9 c 312 28 x12y8是系数绝对值最大的项 8 20 3 由于第 9 项系数绝对值最大且为正 所以第 9 项系数最大 t9 c 312 28 x12y8 8 20 能力提升 9 2019 年广东深圳模拟 已知 1 2x 5的展开式中各项系数的和为 2 则该展开式中常 a x 1 x 数项为 a 80b 40c 40d 80 答案 d 3 解析 令 x 1 可得展开式中各项系数的和为 1 a 2 1 5 2 解得 a 1 则 1 2x a x 1 x 5 2x 5 2x 5 其中 2x 5的展开式的通项为 tr 1 c5r 2x 5 r r 1 r25 rc5rx5 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2r 其中不含常数项 令 r 2 得 t3 80 x 所以该展开式中常数项为 80 故选 d 10 若 x 1 5 a5x5 a4x4 a3x3 a2x2 a1x a0 则 a5 a3 a1 2 a4 a2 a0 2的值 等于 a 0b 32 c 32d 1 答案 a 解析 令x 1 得到 25 a5 a4 a3 a2 a1 a0 令x 1 得到 0 a5 a4 a3 a2 a1 a0 所以 a5 a3 a1 2 a4 a2 a0 2 a5 a4 a3 a2 a1 a0 a5 a4 a3 a2 a1 a0 0 11 2015 年上海 在 10的展开式中 x2项的系数为 结果用数 1 x 1 x2 015 值表示 答案 45 解析 10 10 其二项展开式的通项公式为tr 1 c 1 x 1 x2 015 1 x 1 x2 015 1 x 10 rx 2 015r 当r 0 时不合题意 故r 0 问题转化为求 1 x 10的展开式中x2的 r10 系数 其二项展开式的通项公式为tk 1 cxk 令k 2 则x2项的系数为 c 45 k102 10 12 2019 年江苏 设 1 x n a0 a1x a2x2 anxn n 4 n n n 已知a32 2a2a4 1 求n的值 2 设 1 n a b 其中a b n n 求a2 3b2的值 33 解析 1 由 1 x n cn0 cn1x cn2x2 cnnxn n 4 可得a2 cn2 n n 1 a3 cn3 n n 1 n 2 a4 cn4 n n 1 n 2 n 3 1 2 1 6 1 24 由a32 2a2a4 可得 n n 1 n 2 2 n n 1 n n 1 n 2 n 3 1 6 1 2 1 24 化简得 2 n 2 3 n 3 解得n 5 2 方法一 1 5 c50 c51 c52 2 c53 3 c54 4 c55 5 333333 1 5 30 30 45 9 333 76 44 3 4 又 1 n a b 其中a b n n 33 所以a 76 b 44 所以a2 3b2 762 3 442 32 方法二 1 5