广东省惠州市2020届高三数学第一次调研考试试题文（含解析）.docx

广东省惠州市2020届高三数学第一次调研考试试题 文（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】可以求出集合M，然后进行交集的运算即可【详解】由M中不等式得，解得，即，故选B【点睛】考查描述法、列举法的定义，以及一元二次不等式的解法，交集的运算2.设（i为虚数单位），其中x，y实数，则等于（ ）A. 5B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】直接由复数代数形式的乘除运算以及复数相等的条件，列出方程组求解即可得x，y的值，再由复数求模公式计算得答案【详解】由，得，解得，故选A【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，考查了复数模的求法，是基础题3.平面向量与的夹角为，则 ( )A. B. C. 0D. 2【答案】D【解析】【分析】先由，求出，再求出，进而可求出【详解】因为，所以，所以，所以.故选D【点睛】本题主要考查向量模的运算，熟记公式即可，属于基础题型.4.不透明的箱子中有形状、大小都相同的5个球，其中2个白球，3个黄球现从该箱子中随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出基本事件总数,这2个球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出这2个球颜色不同的概率【详解】设2只白球分别为，3只红球分别为，从5只球中随机摸两只球，其可能结果组成的基本事件有：共10个两只球颜色不同包含的基本事件有共6个，所以所求概率为：，故选C【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5.若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M点到y轴的距离是（ ）A. 6B. 8C. 9D. 10【答案】C【解析】【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义转化求解即可【详解】抛物线的焦点，准线为，由M到焦点的距离为10，可知M到准线的距离也为10，故到M到的距离是9，故选C【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力6.已知函数的最小正周期为，将其图像向右平移个单位后得函数的图像，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用余弦函数的周期公式可求，可得函数解析式，根据三角函数的图象变换及各个选项的值即可求解【详解】由题意得，故，故选A【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查了函数的图象变换规律，属于基础题7.等比数列的前项和为，公比为，若，则（ ）A. B. 2C. D. 3【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析可得等比数列的公比，进而由等比数列的通项公式可得，解可得，又由，解可得的值，即可得答案【详解】根据题意，等比数列中，若，则，若，则，解可得，则，又由，则有，解可得；故选：B【点睛】本题考查等比数列的前项和公式的应用，关键是掌握等比数列的前项和的性质8.已知函数的图象在和处的切线相互垂直，则（ ）A. B. 0C. 1D. 2【答案】A【解析】因为 ，所以 ，由题意有 ，所以，选A.9.在长方体中，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. 0B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】在正方体中，连接CF、AC、EF，则BE/CF，把异面直线AF与BE所成的角，转化为相交直线AF与CF所成的角，在中，利用余弦定理求解，即可得到答案。【详解】在正方体中，连接CF、AC、EF，则BE/CF，所以异面直线AF与BE所成的角，即为相交直线AF与CF所成的角，设角,在正方体中，得，在中，由余弦定理可得，即异面直线AF与BE所成的角的余弦值为0，故选A。【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解异面直线所成的角，其中解答中利用平移把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，放置在三角形中利用正、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.10.双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线与圆的公共点的个数为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 0【答案】B【解析】【分析】运用离心率公式，即a，b，c的关系，可得，求得渐近线方程，圆心到直线的距离与半径比较即可得到所求关系，即可判断选项【详解】由得，渐近线方程为联立方程组整理得有唯一解，这两条双曲线的渐近线均与圆相切，公共点个数为2个，故选B【点睛】本题考查双曲线的方程和性质：离心率和渐近线，考查直线和圆的位置关系，以及运算求解能力，属于基础题11.关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对，再统计其中x，y能与1构成钝角三角形三边的数对的个数m，最后根据统计个数m估计的值如果统计结果是，那么可以估计的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由试验结果知120对01之间的均匀随机数，满足，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对，满足且， ，面积为，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计的值【详解】由题意，120名同学随机写下的实数对落在由的正方形内，其面积为1两个数能与1构成钝角三角形应满足且，此为一弓形区域，其面积为由题意，解得，故选B【点睛】本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，是综合题12.已知函数，设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】当时，；当时，当时，；当时；.函数是偶函数当时，易得为增函数，故选D.二、填空题13.已知，则函数的最小值为_.【答案】7【解析】【分析】转化函数，通过基本不等式求解即可【详解】，当且仅当，即，即时等号成立.法二：，令得或，当时函数单调递减，当时函数单调递增所以当时函数取得最大值为：.【点睛】本题考查基本不等式在最值中的应用，考查计算能力14.设函数，则_【答案】4【解析】【分析】根据已知中函数，将自变量的值代入，分析变量的变化规律，可得答案【详解】【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题15.等差数列的前n项和为，若，则的公差为_.【答案】3【解析】【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【详解】，-得，【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16.已知球的直径，是该球面上的两点，则三棱锥的体积最大值是_.【答案】2【解析】【分析】由题意画出图形，可知要使 的体积最大，则面面，求出A到平面BCD的距离，则三棱锥A-BCD的体积最大值可求【详解】因为球的直径，且，所以，（其中为点到底面的距离），故当最大时，的体积最大，即当面面时，最大且满足，即，此时.【点睛】本题考查球内接多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤 17.在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足.（1）求角A；（2）若的外接圆半径为1，求的面积S的最大值【答案】(1) ；(2) 【解析】【分析】（1）化简，再用余弦定理和三角形内角和，即可求出角A.（2）根据正弦定理求出a，根据余弦定理结合基本不等式以及三角形的面积公式进行求解即可【详解】解：（1）由化简得， 由余弦定理得又因为， 所以.（2）由正弦定理得所以，当且仅当时取等号故（时取等号）即面积S的最大值为【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18.在四棱锥中，平面ABCD，是正三角形，AC与BD的交点为M，又，点N是CD中点（1）求证：平面PAD；（2）求点M到平面PBC的距离【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】【分析】（1）推导出ABDBCD，从而MNAD，由此能证明MN平面PAD（2）设M到平面PBC的距离为h，由VM-PBC=VP-BMC，能求出点M到平面PBC的距离【详解】（1）是正三角形，所以，又，BD所在直线为线段AC的垂直平分线， 所以M为AC的中点，又点N是CD中点，所以，又平面PAD，平面PAD， 所以平面PAD；（2）解：设M到平面PBC的距离为h，在中，所以在中，所以，在中，所以.由即，解得所以点M到平面PBC的距离为【点睛】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19.某品牌汽车4S店，对该品牌旗下的A型、B型、C型汽车进行维修保养，汽车4S店记录了100辆该品牌三种类型汽车的维修情况，整理得下表：车型A型B型C型频数204040假设该店采用分层抽样的方法从上述维修的100辆该品牌三种类型汽车中随机取10辆进行问卷回访（1）求A型、B型、C型各车型汽车抽取的数目；（2）维修结束后这100辆汽车的司机采用“100分制”打分的方式表示对4S店的满意度，按照大于等于80为优秀，小于80为合格，得到如下列联表：优秀合格合计男司机103848女司机252752合计3565100问能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为司机对4S店满意度与性别有关系？请说明原因（参考公式：）附表：0.1000.0500.0100.001K2.7063.8416.63510.828【答案】(1) 分别为2，2，4；(2) 能在犯错误概率不超过0.01前提下，认为司机对4S店满意度与性别有关系【解析】【分析】（1）确定A型，B型，C型的比例，即可求A型，B型，C型各车型汽车的数目；（2）由已知列联表中的数据求得观测值，结合临界值表可得结论【详解】解：（1）A、B、C型汽车抽取数目分别为， （2）根据题意，所以能在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为司机对4S店满意度与性别有关系【点睛】本题考查分层抽样，考查独立性检验的应用，考查计算能力，是基础题20.已知函数yf（x）。（1）求yf（x）的最大值；（2）设实数a0，求函数F（x）af（x）在a，2a上的最小值。【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）令0，求得极值点，因此可得到单调区间，从而得到最大值；（2）根据（1）可知F（x）的单调性，得到F（x）在a，2a上的最小值为F（a）和F（2a）之中的较小者，作差讨论即可得到结果.试题解析：（1）.令0得xe.因为当x（0，e）时，0，f（x）在（0，e）上为增函数；当x（e，）时，0，f（x）在（e，）上为减函数，所以f（x）maxf（e）。（2）因为a0，由（1）知，F（x） 在（0，e）上单调递增，在（e，）上单调递减，所以F（x） 在a，2a上的最小值F（x）minminF（a），F（2a）。因为F（a）F（2a），所以当02时，F（a）F（2a）0，F（x）minF（2a）ln2a21.已知椭圆的左顶点为，右焦点为，点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于点，在轴上，是否存在点，使得无论非零实数怎样变化，总有为直角？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在点，使得无论非零实数怎么变化，总有为直角，点坐标为或.【解析】试题分析：（1）依题意，结合点在椭圆上及，即可求得椭圆的方程；（2）设，则，联立直线与椭圆的方程，求得，根据得所在直线方程，即可分别得到与的坐标，结合为直角，列出等式，即可求解.试题解析：（1）依题意，.点在上，又，椭圆方程为（2）假设存在这样的点，设，则，联立，解得，所在直线方程为，同理可得，.或存在点，使得无论非零实数怎么变化，总有为直角，点坐标为或点睛： （1）存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化解题时可先假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在；（2）由于解析几何问题的解答中一般要涉及到大量的计算，因此在解题时要注意运算的合理性和正确性22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数）在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为（1）写出的普通方程和的直角坐标方程：（2）若与相交于A、B两点，求的面积【答案】(1) 的普通方程为， 的直角坐标方程为； (2) 【解析】【分析】（1）由曲线C1的参数方程能求出C1的普通方程，曲线C2的极坐标方程转化为2=4sin，由此能求出C2的直角坐标方程；（2）求出原点O到直线x+y-3=0的距离为d，化C2的参数方程为普通方程x2+（y-2）2=4，可得C2表示圆心为C2（0，2），半径r=2的圆，求出C2到直线x+y-3=0的距离，再由垂径定理求得|AB|，代入三角形面积公式求解【详解】解：（1）消去参数可得的普通方程为， 由，得，又因为， 所以的直角坐标方程为.（2）标准方程为，表示圆心为，半径的圆到直线的距离，故.原点O到直线的距离所以.综上，的面积为.【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化，考查运算求解能力，是中档题23.已知（1）当时，求不等式的解集;（2）若时，不等式恒成立，求a的取值范围【答案】(1) (2) .【解析】分析】（1）将a=1代入f（x）中，去绝对值后分别解不等式即可；（2）x（0，1）时，不等式f（x）x+2恒成立等价于当x（0，1