4.1.1　圆的标准方程

1 4 1 圆的方程圆的方程 4 1 1 圆的标准方程圆的标准方程 学习目标 1 会推导圆的标准方程 2 能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径 3 掌握圆的标准方程的特点 能根据所给有关圆心 半径的具体条件准确地写出圆的标 准方程 4 体会数形结合思想 初步形成代数方法处理几何问题能力 能根据不同的条件 利用待定 系数法求圆的标准方程 学习过程 一 设计问题 创设情境 前面我们已经学习过直线方程 初中也学习过圆的一些知识 请同学们思考 问题 1 在平面直角坐标系中 两点能确定一条直线 一点和直线的倾斜角也能确定一条直 线 那么在平面直角坐标系中确定一个圆的几何要素是什么呢 问题 2 根据前面我们所学的直线方程的知识 应该怎样确立圆的方程呢 二 学生探索 尝试解决 若设圆的圆心坐标为 A a b 半径为 r 其中 a b r 都是常数 r 0 试求圆的方程 三 信息交流 揭示规律 1 在直角坐标系中 当 与 确定后 圆就唯一确定了 因此 确定圆的基本 要素是 2 在平面直角坐标系中 若一个圆的圆心 A a b 半径长为 r 则圆的标准方程为 推导的步骤是 若点 M x0 y0 在圆 x a 2 y b 2 r2上 则点 M 的坐标就适合方程 即 反 2 之 若点 M 的坐标适合方程 这就说明 与 的距离为 r 即点 M 在圆心为 A 的 圆上 3 圆心在坐标原点 半径为 r 的圆的方程为 4 若点 P x0 y0 在圆 x2 y2 r2内 则满足条件 若点 P x0 y0 在圆 x2 y2 r2外 则满 足条件 同理 若点 P x0 y0 在圆 x a 2 y b 2 r2内 则满足条件 若点 P x0 y0 在圆 x a 2 y b 2 r2外 则满足条件 5 ABC 外接圆的圆心即为外心 即 的交点 四 运用规律 解决问题 6 写出下列各圆的标准方程 1 圆心在原点 半径为 3 2 圆心为 2 3 半径为 5 3 经过点 5 1 圆心在 8 3 7 根据圆的方程写出圆心和半径 1 x 2 2 y 3 2 5 2 x 2 2 y2 2 2 8 写出圆心为 A 2 3 半径长等于 5 的圆的方程 并判断点 M1 5 7 M2 1 是否在这 5 个圆上 总结规律 试总结如何判断 点与圆的位置关系 9 ABC 的三个顶点的坐标分别为 A 5 1 B 7 3 C 2 8 求它的外接圆的方程 3 总结规律 试总结如何根据题设条件求圆的标准方程 是用的什么方法 10 已知圆心为 C 的圆经过点 A 1 1 和 B 2 2 且圆心 C 在直线 l x y 1 0 上 求圆心为 C 的圆的标准方程 总结规律 试总结如何根据题设条件求圆的标准方程 是用的什么方法 五 变练演编 深化提高 同学们仿照上述例题 自己试着编几道写 求圆的标准方程 或判断点与圆的位置关系的 题目 六 信息交流 教学相长 请同学们把你编写的较为典型的题目选几个写在下面 七 反思小结 观点提炼 1 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 2 求圆的标准方程的方法 待定系数法 3 要求一个圆的标准方程 需要三个条件 圆心的横坐标 纵坐标和半径 4 点与圆的位置关系 点在圆上 点在圆外 点在圆内 参考答案 三 1 圆心 半径 圆心和半径 2 x a 2 y b 2 r2 建系 设点 列式 化简 x0 a 2 y0 b 2 r2 点 M 圆心 3 x2 y2 r2 4 r2 x0 a 2 y0 b 2r2 02 02 02 02 5 ABC 三边垂直平分线 四 6 1 x2 y2 9 4 2 x 2 2 y 3 2 5 3 x 8 2 y 3 2 25 7 1 圆心 2 3 半径 5 2 圆心 2 0 半径 2 8 圆的方程为 x 2 2 y 3 2 25 把点 M1 5 7 坐标代入圆的方程 5 2 2 7 3 2 9 16 25 所以点 M1 5 7 在圆上 把点 M2 1 坐标代入圆的方程 2 2 1 3 2 13 4 25 所以点 M2 1 不在 5555 圆上 9 设所求圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 r 0 则 解得 5 2 1 2 2 7 2 3 2 2 2 2 8 2 2 2 3 2 25 所求圆的方程为 x 2 2 y 3 2 25 10 1 利用圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 只要能构造三个方程求出 a b r 便可 2 确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小 圆心为 C 的圆经过点 A 1 1 和 B 2 2 由于圆心 C 与 A B 两点的距离相等 所以圆心 C 在线段 AB 的垂直平分线 m 上 又圆心 C 在直线 l 上 因此圆心 C 是直线 l 与直线 m 的交点 半径长等于 CA 或 CB 解法一 设所求的圆的标准方程为 x a 2 y b 2 r2 将点 A 1 1 和 B 2 2 代入得 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 又圆心在 l x y 1 0 上 所以 a b 1 0 联立方程组 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 0 解得 a 3 b 2 r 5 所以所求的圆的标准方程为 x 3 2 y 2 2 25 解法二 因为 A 1 1 和 B 2 2 所以线段 AB 的中点坐标为 直线 AB 的斜率为 kAB 3 2 1 2 5 3 故线段 AB 的垂直平分线方程为 y x 即 x 3y 3 0 由解得 2 1 2 1 1 2 1 3 3 2 3 3 0 1 0 3 2 因此圆心 C 的坐标为 3 2 半径 r AC 5 所以所求的圆的方程为 1 3 2 1