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图形的折叠问题 复习课 天马行空官方博客 几何研究的对象是 图形的形状 大小 位置关系 主要培养三方面的能力 思维分析能力 空间想象能力和逻辑推理能力 折叠型问题的特点是 折叠后的图形具有轴对称图形的性质 两方面的应用 一 在 大小 方面的应用 二 在 位置 方面的应用 天马行空官方博客 折叠型问题在 大小 方面的应用 通常有求线段的长 角的度数 图形的周长与面积的变化关系等问题 一 在 大小 方面的应用 1 求线段与线段的大小关系 例1如图 AD是 ABC的中线 ADC 45 把 ADC沿AD对折 点C落在点C 的位置 求BC 与BC之间的数量关系 练习1如图 有一块直角三角形纸片 两直角边AC 6 BC 8 现将直角边AC沿直线AD折叠 使它落在斜边AB上 且与AE重合 则CD等于 A 2 B 3 C 4 D 5 例2如图 折叠矩形的一边AD 点D落在BC边上点F处 已知AB 8 BC 10 则EC的长是 解设EC x 则DE 8 x 由轴对称可知 EF DE 8 x AF AD 10 又因AB 8 故BF 6 故FC BC BF 4 在Rt FCE中 42 x2 8 x 2 解之得x 3 B 练习2如图 在梯形ABCD中 DC AB 将梯形对折 使点D C分别落在AB上的D C 处 折痕为EF 若CD 3 EF 4 则AD BC 2 C 2 求角的度数 例3将长方形ABCD的纸片 沿EF折成如图所示 已知 EFG 55 则 FGE 70 练习4如图 矩形ABCD沿BE折叠 使点C落在AD边上的F点处 如果 ABF 60 则 CBE等于 A 15 B 30 C 45 D 60 A 3 求图形的全等 相似和图形的周长 证明 1 B C D 90 又根据题意Rt ADE Rt AFE AFE 90 AFB FEC AFB FEC 解 2 由tan EFC 3 4 设EC 3k 则FC 4k 在Rt EFC中 得EF DE 5k DC AB 8k 又 ABF FCE BF 6k AF 10k 在Rt AEF中 AF2 EF2 AE2 k 1 k 1 取正值 矩形的周长为36k 即36cm 练习5如图 将矩形纸片ABCD沿一对角线BD折叠一次 折痕与折叠后得到的图形用虚线表示 将得到的所有的全等三角形 包括实线 虚线在内 用符号写出来 答案 ABD CDB CDB EDB EDB ABD ABF EDF 答案 矩形的长为10 宽为8 4 求线段与面积间的变化关系 例5已知一三角形纸片ABC 面积为25 BC的长为10 B和 C都为锐角 M为AB上的一动点 M与A B不重合 过点M作MN BC 交AC于点N 设MN x 1 用x表示 AMN的面积S AMN 2 AMN沿MN折叠 设点A关于 AMN对称的点为A A MN与四边形BCMN重叠部分的面积为y 试求出y与x的函数关系式 并写出自变量X的取值范围 当x为何值时 重叠部分的面积y最大 最大为多少 解 2 A MN AMN 设 A MN中MN边上的高为h1 A EF中EF边上的高为h2 EF MN A EF A MN A MN ABC A EF ABC ABC中BC边上的高h 5 h1 x 5 10 h1 x y S A MN S A EF x2 x 5 2 x2 10 x 25 综上所述 当0 x 5时 y x2 当5 x 10时 y x2 10 x 25 当025 4 x 20 3时 y最大 25 3 练习7如图 把一张边长为a的正方形的纸进行折叠 使B点落在AD上 问B点落在AD的什么位置时 折起的面积最小 并求出这最小值 由Rt MOB 得 BM 作NF AB于F 则有Rt MNF FM AE x 从而CN BM FM S梯形BCNM x a 2 2 3 8a2 当x a 2时 Smin 3 8 a2 例6将长方形ABCD的纸片 沿EF折成如图所示 延长C E交AD于H 连结GH 求证 EF与GH互相垂直平分 二 在 位置 方面的应用 由于图形折叠后 点 线 面等相应的位置发生变化 带来图形间的位置关系重新组合 1 线段与线段的位置关系 证明 由题意知FH GE FG HE 又 四边形是 FE与GH互相垂直平分 2 点的位置的确定 在直角三角形AED中 ED AE 故OE 练习8如图 在直角三角形ABC中 C 90 沿着B点的一条直线BE折叠这个三角形 使C点与AB边上的一点D重合 当 A满足什么条件时 点D恰好是AB的中点