导数中的求参数取值范围问题

精品文档 1欢迎下载 帮你归纳总结帮你归纳总结 五 导数中的求参数取值范围问题五 导数中的求参数取值范围问题 1 1 常见基本题型 常见基本题型 1 1 已知函数单调性 求参数的取值范围 如已知函数 已知函数单调性 求参数的取值范围 如已知函数增区间 则在此区间上增区间 则在此区间上 f x 导函数导函数 如已知函数 如已知函数减区间 则在此区间上导函数减区间 则在此区间上导函数 0fx f x 0fx 2 2 已知不等式恒成立 求参数的取值范围问题 可转化为求函数的最值问题 已知不等式恒成立 求参数的取值范围问题 可转化为求函数的最值问题 例 1 已知R R 函数 R R e 为自然对数的底数 a 2 e x f xxax x 1 若函数内单调递减 求 a 的取值范围 1 1 f x 在 2 函数是否为 R R 上的单调函数 若是 求出 a 的取值范围 若不是 请说明 f x 理由 解 1 2 e x f xxax 2 2 e e xx fxxaxax 2 2 e x xaxa 上单调递减 则 对 都成立 f x要使在 1 1 0fx 1 1 x 对都成立 2 2 0 xaxa 1 1 x 令 则 2 2 g xxaxa 1 0 1 0 g g 1 2 0 1 2 0 aa aa 3 2 a 2 若函数在 R R 上单调递减 则 对R R 都成立 f x 0fx x 即 对R R 都成立 2 2 e0 x xaxa x 对R R 都成立 2 e0 2 0 x xaxa x 令 2 2 g xxaxa 图象开口向上 不可能对R R 都成立 x 若函数在 R R 上单调递减 则 对R R 都成立 f x 0fx x 即 对R R 都成立 2 2 e0 x xaxa x 对R R 都成立 e0 x 2 2 0 xaxa x 22 2 440aaa 故函数不可能在 R R 上单调递增 f x 综上可知 函数不可能是 R R 上的单调函数 f x 例 2 已知函数 ln3f xaxaxaR 若函数 yf x 的图像在点 2 2 f处的 精品文档 2欢迎下载 切线的倾斜角为45 对于任意 1 2 t 函数 32 2 m g xxxfx 在区间 3 t上总 不是单调函数 求m的取值范围 解 2 1 2 2 a fa 由 32 2 2ln23 2 2 3 4 2 2 f xxx m g xxxxgxxmx 令 0gx 得 2 4 240m 故 0gx 两个根一正一负 即有且只有一个正根 函数 32 2 m g xxxfx 在区间 3 t上总不是单调函数 0gx 在 3 t上有且只有实数根 0 20 0 3 0gg tg 2 37 4 23 3 mmtt 故 2 43mt t 而 2 3yt t 在t 1 2 单调减 9m 综合得 37 9 3 m 例 3 已知函数1 4 3 4 1 ln x xxxf 求函数 xf的单调区间 设42 2 bxxxg 若对任意 2 0 1 x 2 1 2 x 不等式 21 xgxf 恒成立 求实数b的取值范围 解 I 1 4 3 4 1 ln x xxxf的定义域是 0 2 2 2 4 34 4 3 4 11 x xx xx xf 由0 x及0 x f 得31 x 由0 x及0 x f得310 xx或 故函数 xf的单调递增区间是 3 1 单调递减区间是 3 1 0 II 若对任意 2 0 1 x 2 1 2 x 不等式 21 xgxf 恒成立 问题等价于 maxmin xgxf 精品文档 3欢迎下载 由 I 可知 在 0 2 上 1x 是函数极小值点 这个极小值是唯一的极值点 故也是最小值点 所以 min 1 1 2 f xf 2 24 1 2g xxbxx 当1b 时 max 1 25g xgb 当12b 时 2 max 4g xg bb 当2b 时 max 2 48g xgb 问题等价于 1 1 25 2 b b 或 2 12 1 4 2 b b 或 2 1 48 2 b b 解得1b 或 14 1 2 b 或 b 即 14 2 b 所以实数b的取值范围是 14 2 例 4 设函数 22 ln f xxmx h xxxa 1 当a 0 时 f x h x 在 1 上恒成立 求实数m的取值范围 2 当m 2 时 若函数k x f x h x 在 1 3 上恰有两个不同零点 求实数a的 取值范围 解 1 由a 0 f x h x 可得 mlnx x x 1 即m x lnx 记 x 则f x h x 在 1 上恒成立等价于m x min x lnx 求得 x lnx 1 ln2x 当x 1 e x 0 当x e 时 x 0 故 x 在x e 处取得极小值 也是最小值 即 x min e e 故m e 2 函数k x f x h x 在 1 3 上恰有两个不同的零点等价于方程x 2lnx a 在 1 3 上恰有两个相异实根 精品文档 4欢迎下载 令g x x 2ln 则g x 1 2 x 当x 1 2 时 g x 0 当x 2 3 时 g x 0 g x 在 1 2 上是单调递减函数 在 2 3 上是单调递增函数 故g x min g 2 2 2ln2 又g 1 1 g 3 3 2ln3 g 1 g 3 只需g 2 a g 3 故a的取值范围是 2 ln2 3 2ln3 二 针对性练习二 针对性练习 1 已知函数若函数在 1 4 上是减函数 求实数 a 2 ln f xxax 2g xf xx 的取值范围 解 由 x xaxxg 2 ln 2 得 2 2 2 xx a xxg 又函数 x xaxxg 2 ln 2 为 1 4 上的单调减函数 则0 x g在 1 4 上恒成立 所以不等式0 2 2 2 xx a x在 1 4 上恒成立 即 2 2 2 x x a 在 1 4 上恒成立 设 2 2 2 x x x 显然 x 在 1 4 上为减函数 所以 x 的最小值为 2 63 4 a 的取值范围是 2 63 a 2 已知函数 1 x f xex 1 若存在 使成立 求的取值范围 4 1 ln 3 x 10 x aex a 2 当 0 x 时 恒成立 求t的取值范围 2 f xtx 解 1 1 x aex 即 af x 令 10 0 x fxex 0 x 时 0 0fxx 时 0 fx 精品文档 5欢迎下载 f x 在 0 上减 在 0 上增 又 0 4 1 ln 3 x 时 f x 的最大值在区间端点处取到 1 1444 1 1 1 ln 1 ln 333 fef e 4144114 1 ln1lnln0 33333 ff ee 4 1 ln 3 fff x 在 4 1 ln 3 上最大值为 1 e 故a的取值范围是 1 a e 3 由已知得 0 x 时 2 10 x extx 恒成立 设 2 1 x g xextx 12 x g xetx 由 2 知 1 x ex 当且仅当 0 x 时等号成立 故 2 12 g xxtxt x 从而当1 20 t 即 1 2 t 时 0 0 g xxg x 为增函数 又 0 0 g 于是当 0 x 时 0 g x 即 2 f xtx 1 2 t 时符合题意 由 1 0 x ex x 可得 1 0 x ex x 从而当 1 2 t 时 12 1 1 2 xxxxx g xet eeeet 故当 0 ln2 xt 时 0 g xg x 为减函数 又 0 0 g 于是当 0 ln2 xt 时 0 g x 即 2 f xtx 故 1 2 t 不符合题意 综上可得t的取值范围为 1 2