离散系统的时域分析.ppt

第七章离散信号与系统时域分析 离散时间信号的定义以及典型的离散信号 差分方程的建立与经典解法 离散系统的单位样值响应 零输入响应和零状态响应的概念 如何求零输入响应 如何利用卷积的方法求零状态响应 一 离散信号的表示方法 7 1离散时间信号 序列 波形 序列形式 解 二 离散信号的运算 1 相加 2 相乘 3 移位 4 反褶 5 差分 6 累加 7 尺度倍乘 压缩 扩展 注意 有时需去除某些点或补足相应的零值 8 序列的能量 例7 1 2 1 单位样值信号 时移性 抽样性 注意 单位取样 单位函数 单位脉冲 单位冲激 三 常用离散信号 利用单位样值信号表示任意序列 2 单位阶跃序列 3 矩形序列 4 斜变序列 5 单边指数序列 6 正弦序列 N称为序列的周期 为任意正整数 正弦序列周期性的判别 正弦序列是周期的 解 解 7 复指数序列 复序列用极坐标表示 复指数序列 一 线性时不变系统 1 线性 满足均匀性和叠加性 7 3离散时间系统的数学模型 差分方程 2 时不变 3 因果离散时间系统如果系统响应总是出现在激励施加之后 则该系统称为因果系统 否则称之为非因果系统 例7 3 1 若已知n 0时三个系统的响应分别为 1 y n nx n 线性时变离散时间系统 2 y n x n 非线性时不变系统 3 y n 2x n 3x n 1 线性时不变系统试判断这三个系统各为哪类系统 解 设系统零输入响应为yzi n 零状态响应为yzs n 则根据线性时不变系统的特性 响应y n yzi n yzs n 当激励u n 时 初始条件x1 0 1 x2 0 2 当激励为3u n 时 初始条件不变 解得 所以当激励为2u n 初始条件x1 0 2 x2 0 4 二 由微分方程导出差分方程 前向差分 列差分方程 若在t nT各点取得样值 n代表序号 三 由系统框图写差分方程 1 基本单元 加法器 乘法器 延时器 D 例7 3 3 框图如图 写出差分方程 解 一阶后向差分方程 一阶前向差分方程 D D 后向差分方程 若差分方程中含有未知序列项y n y n 1 y n m 其中变量序号由n开始按递减方式排列 则这种方程称为后向差分方程 前向差分方程 若方程中含有未知序列项y n y n 1 y n m 其中变量序号由n开始按递增方式排列 则这种方程称为前向差分方程 解 根据系统差分方程 可得 或 例7 3 4 已知系统的差分方程为y n 3 8y n 2 17y n 1 10y n 6x n 2 17x n 1 19x n 画出该系统的时域模拟框图 四 差分方程的特点 1 输出序列的第n个值不仅决定于同一瞬间的输入样值 而且还与前面输出值有关 每个输出值必须依次保留 2 差分方程的阶数 等于差分方程中未知 输出 序列变量序号的最高和最低值之差 如果一个系统的第n个输出决定于刚过去的几个输出值及输入值 那么描述它的差分方程就是几阶的 4 差分方程描述离散时间系统 输入序列与输出序列间的运算关系与系统框图有对应关系 3 微分方程可以用差分方程来逼近 微分方程解是精确解 差分方程解是近似解 两者有许多类似之处 解法 1 迭代法 解差分方程的基础方法差分方程本身是一种递推关系 3 零输入响应 零状态响应利用卷积求系统的零状态响应 2 时域经典法 齐次解 特解 4 z变换法 反变换 y n 7 4离散系统时域分析经典法 一 时域经典法 1 齐次方程的解 齐次方程 特征方程 根据特征根 解的三种情况 2 有重根假定 1是K重根 相应于 1的部分将有K项 3 有共轭复数根齐次解的形式可以是等幅 增幅或衰减等形式的正弦 余弦 序列 1 单根 无重根 由递推关系 可得输出值 例7 4 1 解 7 4 2 求解二阶差分方程 特征方程 齐次解 解出 特征根 解 2 非齐次差分方程 例7 4 3 代入原方程求特解 特解 解 齐次解 全解形式 由边界条件定系数 1 零输入响应 输入为零 差分方程为齐次解 C由起始状态确定 相当于0 的条件 齐次解 2 零状态响应 起始状态为0 即 求解方法 经典法 齐次解 特解 卷积法 二 离散时间系统的响应的分解方式零输入响应和零状态响应自由响应和强迫响应暂态响应和稳态响应 用两种方法求解此题方法一 经典法方法二 双零法 解 1 求齐次解 特征方程为 故特征根为 则齐次解为 由题知激励是指数序列形式 可设特解为 将其代入差分方程得 2 求特解 3 求全解 由原差分方程得 解得 所以系统的全解为 1 求零输入响应 在零输入情况下 响应满足齐次方程 解的形式为 而齐次方程的特征根 则 这一点一定要注意 如果已知系统的初始值 欲求零输入响应 还必须经过迭代求出起始状态 方法二 求零输入和零状态响应 2 零状态响应 零状态响应是满足非齐次方程 且起始状态全部为零的解 即满足 因此仍然可用经典法求得 确定初始值 所以系统的全解为 7 5离散系统的单位序列响应 对于线性时不变离散时间系统 若激励为单位序列 n 时 其系统的零状态响应h n 称为单位序列响应 一 迭代法 是一种递推法 一个不断迭代过程 称之为迭代法 例7 5 1 已知离散时间系统的差分方程试求其单位样值响应h n 解 对于因果系统 迭代法 二 等效初值法单位样值的激励作用等效为一个起始条件h 0 1 因而 求单位样值相应的问题转化为求系统的零输入响应 例7 5 2 已知系统差分方程 求系统的单位样值响应 特征根 特征方程 解 零状态 7 6卷积和一 离散系统的时域分解 时不变 齐次性 可加性 输出 卷积和的公式表明 1 交换律 结合律和分配律 1 交换律 卷积和的性质 二 卷积和设两个离散时间信号为x1 n 和x2 n 定义x1 n 与x2 n 的卷积和运算为 2 结合律 3 分配律 2 移位性质 3 其它性质 4 卷积和的计算 反褶 平移 相乘 求和四个步骤 解 波形 利用分配律 解 对位相乘求和法 y n 的元素个数 若 例如 三 卷积和的应用对于线性时不变离散时间系统 若激励为单位序列 单位序列响应为h n 则激励与系统零状态响应之间有如下关系 例7 6 3 描述离散时间系统的差分方程为已知y 1 1 求系统全响应y n 解 1 求零输入响应yzi n 得C 0 9 故 2 求单位序列响应 利用等效初值法 可求得 3 求激励时零状态响应 全响应 在y n x n h n 式中 若已知y n h n 如何求x n 对连续系统不易写出明确的关系式 而对离散系统容易写出 四 反卷积 写为矩阵运算形式 目的反求x n 同理 本章总结 1 离散时间信号2 常用的离散时间信号3 线形时不变系统4 离散时间系统的数学模型 差分方程