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线性代数 主讲 郭智 第四章线性方程组 1齐次线性方程组 2非齐次线性方程组 4 1加减消元法 消元法求解 解的存在性问题 一 消元法 设线性方程 a11x1 a12x2 anxn b1 a21x1 a22x2 a2nxn b2 an1x1 an2x2 annxn bn 1 系数矩阵行列式D A 0 根据在莱姆法则方程组有唯一解 可以用加减消元法求 加减消元 1 某个方程乘一个数加到另一个方程上 2 某方程两边乘一个非零数 对方程组的上述变换 本质上是对其增广矩阵 作初等行变换 A是满秩矩阵 初等行变换 单位矩阵 后矩阵对应的方程组为 原方程组的解为 例1 用消元法解线性方程组 x1 2x2 x4 1 2x1 2x2 x3 4x4 6 2x1 2x2 x3 x4 5 2x2 5x3 2x4 1 r3 2r1 r2 2r1 r4 2r2 r3 3r2 r1 r2 r3 17r4 得原方程组的解为 二 线性方程组的解的存在性 1 两个例子 例1 x3 x4 5 2x1 x2 x3 4x4 2 2x1 x2 x3 6x4 10 解 方程组的增广矩阵为 交换 行 行 2 行 行 1 行 最后一个矩阵表示原线性方程经消元变成下面的方程组 x3 x4 5 0 2 4 最后一个方程0 2是矛盾的 说明原方程组无解 第二例是方程组 x3 x4 5 2x1 x2 x3 4x4 2 2x1 x2 x3 6x4 12 写出增广阵并做行的变换 交换 行 2 行加到 行 在上块为阶梯形 b2 0 则方程组有无限多解 事实上 写出对应于阶梯形矩阵的方程 x3 x4 5 2 存在性定理 线性方程组 Ax b 的增广矩阵 经加减消元法变成 定理1 设有m个方程 n个未知数的线性方程组 Ax b 3 若方程组系数阵A的秩与增广阵的秩不相等 则方程无解 1 定理1是方程组有无解的判别定理 归于系数矩阵与增广矩阵的秩的讨论 上面两例子告诉我们如何应用定理1 判别方程的解存在性 解的个数 接下来讨论如何求方程组的解 以及如何表示方程组的解 4 2齐次线性方程组的解的结构 基础解系 解的表示 线性方程组的解有三种可能性 无解 有一个解 有无穷多解 对于无穷个解 如何表示它们 是这里要解决的问题 首先讨论一类特殊方程组 齐次线性方程组 线性方程组 1 的常数项为零 即 Ax 0 2 称为对应于 1 的齐次线性方程组 a11x1 a12x2 a1nxn 0 a21x1 a22x2 a2nxn 0 am1x1 am2x2 amnxn 0 由于其增广矩阵 的最后一列为零 增广矩阵的秩与系数矩阵的秩相 等 所以一定有解 显然 是齐次方程组的解 当r A n 2 只有唯一的零解 当r A n方程组 2 有无穷多解 齐次线性方程组解的结构 定理1 设齐次线性方程组 Ax 0 2 有无穷多解 记S为 2 的解的集合 则S为Rn的线性子空间 证明 证S关于向量的加法和数乘运算封闭 事实上 x y S 有 Ax 0 和 Ay 0 A x y Ax Ay 0 x y S 3 因此 所以 又对任意的常数k 有 A kx k Ax 0 所以 kx S 4 故S关于向量加法和数乘运算封闭 从而S是Rn的线性子空间 问题 1 S的维数是多少 2 S的基如何确定 例3 解方程组 x3 x4 0 2x1 x2 x3 4x4 0 2x1 x2 x3 6x4 0 5 解 计算系数矩阵 现在来研究无穷多解的表示 的秩 作初等行变换 变换1 2行 1行 1 3行 2行 2 3行 r A 2 4 5 有无穷解 对应于阶梯形矩阵的方程组是 x3 x4 0 自下而上逐个解方程 x3 x4 0 最含两个未知数的不定方程 指定其中取值一个 另一个也随之确定 令 x4 k1 为任意常数 则 x3 x4 k1 代入前一方程得 整理 仍为不定方程 令 x2 k2 为任意常数 则 所求方程组的解为 x2 k2 x3 k1 x4 k1 k1 k2为任意常数 写成向量形式 6 6 是方程组 5 的所有解 无穷性体现在k1 k2取一组数 6 得一个解 而k1 k2所取的数组是无穷的 k1 1 k2 0 k1 0 k2 1 6 式的表示代表了齐次线性方程组的解的求法与表示的基本思想 针对 6 式有下述问题 6 式中基e1 e2为2个向量 根据什么确定的 6 式中2个向量e1 e2的个数是由 2 4 r A 向量的个数 方程组未知数个数 系数矩阵的秩 e1 e2有特别的意义 5 的所有的解 由e1 e2两解通过 6 式而表示出来 这种解称为方程组 5 的基础解系 x k1e2 k2e2 称为向量x可由e1 e2线性表示 例3的求解的过程是下面的特列 定理2 若齐次方程组 2 系数阵的秩为r 则存在 2 的n r个解向量 e1 e2 en r 使 2 的全部解可表为 k1e1 k2e2 kn ren r 的形式 k1 k2 kn r为任意数 e1 e2 en r称为齐次方程组的基础解系 齐次线性方程组求解 1 对系数矩阵作初等行变换 求出秩r A 2 确定基础解系e1 en r 3 写出e1 en r的线性表示式 x k1e1 k2e2 kn ren r k1 k2 kn r为任意常数 例4 求 x1 3x2 x3 2x4 4x5 0 2x1 x2 8x3 7x4 7x5 0 4x1 5x2 6x3 11x4 10 x5 0 的基础解系 解 首先对方程组的系数阵施以初等行变换 由此可见 系数阵的秩r 2 r n 5 所以 原方程组有无穷多解 而与以下方程组 同解 其中x3 x4 x5 可以任意取值 即为自由未知数 基础解系含3个向量 令 分别取 代入上方程组解出 x1 x2分别为 因此 得原方程组的基础解系 从而原方程组的全部解可表示为e1 e2 e3的线性组合 其中k1 k2 k3为任意常数 掌握了齐次线性方程组解的构造 非齐次方程组的问题不难解决 当b 0时 方程组Ax b称为非齐次线性方程组 它的解和与它对应的齐次方程组Ax 0的解之间有密切联系 4 3非齐次线性方程组解的结构 定理1 非齐次线性方程组Ax b的一个解和同它对应的齐次线性方程组Ax O的任一个解之和一定是方程组Ax b的解 反之 方程组Ax b的任何一个解可表为它的一个特殊解和方程组Ax 0的一个解之和 定理1告诉我们 Ax b的解表示为 x xp xc 其中xp是Ax b的特解 xc是Ax 0的解 1 例5 求方程组 x1 3x2 x3 2x4 4x5 3 2x1 x2 8x3 7x4 2x5 9 4x1 5x2 6x3 11x4 10 x5 15 的全解 解 首先对方程组的增广矩阵施以行的初等变换 2 因此 方程组的系数阵和增广的秩都等于r 2 r 5 所以 方程组有无限多解 且与 同解 其中x3 x4 x5可以任意取值 3 为了求出原方程组的一个特殊解 取x3 x4 x5 0代入 3 得 所以 原方程组的一个特殊解为 相对应的齐次方程组的基础解系已在例4解出 自然也可由 2 直接看出 于是 原方程组的全部解是 其中k1 k2 k3为任意常数 第五章相似矩阵及二次型 1向量的内积 2方阵的特征值与特征向量 3相似矩阵 5 1向量的内积 一 内积定义 1 对Rn中两个向量 定义u与v的内积为 注 内积记为uvT 是用矩阵乘法简记内积 它是一个1 n矩阵u与n 1的矩阵vT的乘积 其结果为一个数 2 性质 内积有以下性质 二 向量的长度与向量间的夹角 1 定义 设向量u u1 u2 un 定义u的长度 或范数 为 若 u 1 则称u为单位向量 对Rn中的两个向量 定义u与v之间的距离为 定义2对Rn中两个非零向量u v 定义u v之间夹角 的余弦为 注 夹角定义是三角形两边夹角这样的概念的推广 向量的长度具有如下性质 1 非负性 当x 0时 x 0 当x 0时 x 0 2 齐次性 x x 3 对角不等式 x y x y 向量的内积满足许瓦兹不等式 2 正交若Rn中两个非零向量u v的内积为零 则称u v是正交的 一组向量 u1 u2 un 若其中任意两个都是正交的 则称这组向量为正交向量组 例e1 1 0 0 e2 0 1 0 e3 0 0 1 为三维向量 计算易得 因此 e1 e2 e3 是一组正交向量 3 正交与线性无关 定理1 任一正交向量组线性无关 定理2 给定一线性无关向量组 可构造出一正交向量组 定理2中的正交组可通过施密特正交化方法得到 具体过程如下 设 u1 u2 um 是一线性无关组 令 则v1 v2 vm构成一组正交向量 这个过程的具体实现是一些初等的运算 三 正交规范基 1 定义Rn的一组基u1 u2 un若为正交向量组 且每一ui都是单位向量 则称这组基为正交规范基 2 例将R3中的向量组 正交化 解 将u1 u2 u3写成矩阵的形式 它的行列式不等于零 则u1 u2 u3是线性无关 按照施密特正交化方法 有 它是R3的正交基 把它进一步化成标准正交基是容易的 每一向量除以各自的长度即可 即 定义 如果n阶方阵满足A A E 即A 1 A 那么称A为正交阵 定义 若P为正交阵 线性变换y px称为正交变换 设y px为正交变换 则有 5 2方阵的特征值与特征向量 一 特征值和特征向量 1 定义 设A是n阶方阵 如果数 和非零向量x使得 Ax x 1 则称 为A的一个特征值 x称为A的对应于 的一个特征向量 1 式也可写成 A E x 0 2 这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组 它有非零解的充分必要条件是系数行列式 A E 0 3 上式是以 为未知数的一元n次方程 称为A的特征方程 A E 0 3 3 式左端是 的n次多项式 称为A的特征多项式 易证 i 1 2 n a11 a22 ann ii 1 2 n A 例1 求上三角阵 的特征值 解 则A的特征值就是主对角线上的元素a11 a22 ann 显然 对下三角和对角阵 都有同样结果 即上三角 下三角和对角阵的特征值就是矩阵主对角线上的元素 例2 求 的特征值 解 A的特征多项式为 特征值为 1 1 2 3 2 二 特征向量的求法 对每个特征值 求出相应的齐次线性方程组 A E x 0的一个基础解系x1 xs 则矩阵A属于特征值 的全部特征向量就是k1x1 k2x2 ksxs其中k1 k2 ks 是不全为零的常数 1 1 2 3 2 求特征向量 例3 系数矩阵的秩为2 基础解系只含有3 2 1个解向量 取为x1 1 1 1 T 于是 A属于特征值 1 1的特征向量的全体可表为k1 1 1 1 T k1是不等于零的常数 解 对 1 1 相应的齐次线性方程为 对 2 3 2 相应的齐次方程组为 系数矩阵的秩为1 基础解系含3 1 2个解向量 取为 1 0 1 T 0 1 1 T 于是 矩阵A属于特征值2的全部特征向量可表为 k2 k3为不全为零的常数 例4 求方阵 的特征值和特征向量 解 A的特征方程为 特征值为 1 2 2 3 1 对 1 2 相应的齐次线性方程组为 系数矩阵的秩为2 基础解系只含有3 2 1个解向量 取为x1 0 0 1 r 于是 属于特征值 2的特征向量的全体可表为k1 0 0 1 r k1是不等于零的常数 对 2 3 1 对应的齐次线性方程组为 系数阵的秩为2 基础解系含1个解向量 取为x2 1 2 1 r 则属于特征值1的特征向量的全体可表为k2 1 2 1 r k2是不等于零的常数 定理设 1 2 m是方阵A的m个特征值 p1 p2 pm依次是与之对应的特征向量 如果 1 2 m各不相等 则p1 p2 p