2012山东文科高考知识点.doc

2012山东文科高考数学高频考点 第一部分：函数一、考试内容及要求1.集合、简易逻辑考试内容：集合：子集、补集、交集、并集；逻辑联结词，四种命题，充要条件.考试要求：理解集合、子集、补集、交集、并集的概念，了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义,掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，理解四种命题及其相互关系，掌握充要条件的意义.2.函数考试内容：映射，函数，函数的单调性；反函数，互为反函数的函数图像间的关系；指数概念的扩充，有理指数幂的运算性质，指数函数.；对数、对数的运算性质，对数函数. 函数的应用举例.考试要求：了解映射的概念，理解函数的概念.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法.了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图像和性质.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图像和性质.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.二、重要知识、技能技巧（省略的部分自己填写）1.函数是一种特殊的映射：f：AB (A、B为非空数集)，定义域：解决函数问题必须树立“定义域优先”的观点.2.函数值域、最值的常用解法观察法；配方法；反表示法；如y=法；适用于经过去分母、平方、换元等变换后得到关于y的一元二次方程的一类函数；基本不等式法；单调函数法；数形结合法；换元法；导数法.4.函数奇偶性判断解析式图象（关于y轴或坐标原点对称）性质：如果f(x)是奇函数且在x=0有定义，则f(0)=0；常数函数f(x)=0定义域(l,l)既是奇函数也是偶函数；在公共定义域上，两个奇、偶函数的运算性质.（略）5.函数单调性定义的等价形式如：0(x1x2)f(x1)f(x2)0判断：定义法；导数法；结论法（慎用）.奇偶函数在对称区间上的单调性；互为反函数的两函数单调性；复合函数的单调性（同增异减）；常见函数的单调性（如y=x+,aR）.6.函数周期性f(x)=f(x+a)对定义域中任意x总成立,则T=a.如果一个函数是周期函数,则其周期有无数个.f(x+a)=f(xa)，则T=2a. f(x+a)=，则T=2a.f(x)图象关于x=a及x=b对称，ab，则T=2(ba).f(x)图象关于x=a及点(b,c) (ba)对称，则T=4(ba).7.函数图象的对称性若f(a+x)=f(ax)或f(x)=f(2ax)，则f(x)图象关于x=a对称，特别地f(x)=f(x)则关于x=0对称；若f(a+x)+f(bx)=2c，则f(x)图象关于(,c)中心对称，特别地f(x)+f(x)=0，则关于(0,0)对称；若f(a+x)=f(bx)，则y=f(x)关于x=对称；y=f(x)与y=f(2ax)关于x=a对称；y=f(x)与y=f(x)+2b关于y=b对称；y=f(x)与y=f(2ax)+2b，关于(a,b)对称.y=f(a+x)与y=f(bx)，关于x=对称.8.要熟练掌握和二次函数有关的方程不等式等问题，并能结合二次函数的图象进行分类讨论；结合图象探索综合题的解题切入点。抽象函数未给出函数解析式，但给出函数的一些性质来探讨它的其他性质，这样的题目常以具体的函数为背景，处理时要用广义的定义、性质、定理去处理，不能用具体函数去论证.9.指数对数函数对数恒等式 a=x (a0且a1,x0).对数运算性质（M0，N0，pQ）loga(MN)=logaM+logaN；loga=logaMlogaN；logaNp=plogaN.y=logax与y=logx； y=ax与y=()x；y=ax与y=bx (ab)y=logax与y=logbx图象间关系：(略)10.逻辑联结词，四种命题且、或、否可理解为与交、并、补对应.非p即p是对p的否定，而p的否命题，则是否定条件，否定结论.例：p：如果x=1，那么x21=0； 则p：如果x=1，那么x210.而命题p的否命题是：如果x1，那么x210.原命题和它的逆否命题、逆命题与否命题都互为逆否命题，互为逆否的两个命题真假性一致，因此一个命题的真假性难以判断或一个命题难以证明时，可以判断或证明它的逆否命题.11.充要条件充分条件，必要条件，充要条件的等价叙述，如，p是q的充分条件若p，则qpqq的一个充分条件是p.关于充要条件的几个结论：“定义域关于原点对称”是“函数为奇或偶函数”的必要不充分条件.在ABC中，ABab.“|=|”是“”的必要不充分条件“an既是等差，又是等比数列”是“ an是常数数列”的充分不必要条件.“方程x2+y2+Dx+Ey+F=0”是“该方程表示圆方程”的必要不充分条件.f(x)=0是x为极值点的必要不充分条件.证明充要条件的命题要证明两个方面，首先必须找准一个命题的条件和结论.12.反证法反证法就是假设命题的结论不成立，从这个假定出发，经过推理证出其矛盾，然后推翻假设肯定原来命题正确。推出矛盾常见以下几种：与公理、定理、定义矛盾；与熟知的事实矛盾；与已知矛盾；与不同方向推出的其他结论矛盾。以下情形适宜用反证法证明：难以甚至无法由已知条件直接证明结论的；“至多”、“至少”型问题；唯一性的证明；问题的结论本身以否定形式给出的；要证命题的逆命题是正确的。注意若命题结论的反面情况有多种，则必须将每一种反面情况都驳倒。13.解答函数应用题的基本步骤为：审题：审题是解题的基础，它包括阅读、理解、翻译、挖掘等，通过阅读，理解问题的类型、内涵、实质，以及应建立的数学模型；建模：在细心阅读，深入理解题意的基础上，引进数学符号，将题目中的非数学语言转化成数学语言，然后，根据题意，列出数量关系建立函数模型，注意字母为取值范围应符合实际事实。解模：通过函数的有关性质的运用，进行推理、运算，使问题得到解决；还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，对于理论的推导结果，要代入原问题中进行检验、评价，判断是否符合实际情况。分析、解决应用问题的思维过程：实际问题数学问题实际问题结论数学问题结果 建 模 （审题、转化、抽象） 问题解决 解模推算还 原（检验、评价）三.易错点提示多变量问题注意主元与辅助元的转换如 p(,4)时，不等式px+12xp恒成立，可看成关于p的函数g(p)=(x+1)p+12x0，在(,4)上恒成立（等号不同时取）单调函数要与区间对应.关于范围的结论的书写注意端点的“开闭”y=的中心(a,b)，渐近线x=a,y=b，单调区间(,a),(a,+) (ab+c0)图象信息题注意观察:对称性、特殊点、升降情况、图象位置、变化率、最高、最低点等.如：y=图象 则acb. y=ax3+bx2+cx+d 则a0,b0,c0，则f(x)在该区间内为增函数；若在该区间内，f(x)0，所得x的范围（区间）为函数f(x)的单调增区间；令f(x)0，得单调减区间.3、利用导数求函数的极值极值的定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0左右近旁的所有x值，都有f(x)f(x0)我们就说f(x0)是f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0) 极大值、极小值统称为f(x)的极值.指出：一个函数在给定区间上的极小值不一定小于极大值.(即极小值可以大于或等于极大值)；极值是函数的局部性质，它仅与左右近旁的函数值进行比较；极值点一定是区间的内点。导数为零的点是该点为极值点的必要条件，不是充分条件。极值的判定方法。当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是极大（小）值的方法是：如果在x0在左侧近旁f(x0)0，右侧近旁f(x0)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0在左侧近旁f(x0)0，那么f(x0)是极小值. 求函数的极值的步骤：求函数的定义域求导数f(x)求导数f(x)=0的根.检查f(x)在方程f(x)=0的根的左右的符号，如果左正、右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.4、函数的最大值与最小值闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值.(开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值).求闭区间a,b上的连续函数f(x)的最大值和最小值的步骤：求f(x)在(a,b)内的极值；将f(x)的各极值与端点函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.如果函数f(x)在开区间(a,b)或(,+)内可导且有惟一的极值点x0，那么当f(x0)是极大值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值；当f(x0)是极小值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值.对于实际问题，如果连续函数f(x)在区间（a,b）内只有一个点使f(x)=0，而且实际问题本身又可以知道f(x)在(a,b)内必定取得最大值或最小值，则f(x0)就是所求的最大值或最小值，这时也就无须判断是极大值还是极小值.第三部分 三角函数一、重点突破1、关于任意角的概念角的概念推广后，任意角包括、正角、负角、零角；象限角、轴上角、区间角及终边相同的角2、角的概念推广后,注意“0到90的角”、“第一象限角”、“钝角”和“小于90的角”这四个概念的区别3、两个实用公式：弧度公式：l=|r，扇形面积公式：S=|r24、三角函数曲线即三角函数的图像，与三角函数线是不同的概念5、利用任意角的三角函数及同角三角函数的基本关系式，诱导公式可以解决证明、化简、求值问题，而求值有“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”三类。6、应用两角和与差的三角函数公式应注意：当，中有一个角为的整数倍时，利用诱导公式较为简便。善于利用角的变形,如=(+),2=(+)+()，+2=2(+)等倍角公式的变形降幂公式：sin2=，cos2=，sincos=sin2应用十分广泛.7、三角函数的图像和性质，重点掌握：，周期性的概念；y=Asin(x+)的图像是由y=sinx的图像经过怎样的变换得到五点法作图.8、三角求值问题的解题思路：三种基本变换：角度变换、名称变换、运算结构的变换给值求角问题的基本思路先求出该角的一个三角函数值；再根据角的范围与函数值定角，要注意角的范围对三角函数值的影响。9、注意活用数学思想方法：方程思想、数形结合，整体思想、向量方法二、注意点三角函数y=Asin(x) (A,0)的性质1、奇偶性：当=k+时是偶函数，当=k时是奇函数，当时是非奇非偶函数(kZ)2、对称性：关于点(,0)中心对称，关于直线x= (kZ)轴对称.任意角三角函数1、当为第一象限角时，sin+cos12、当(+2k, +2k)，kZ时，sincos0 （点在xy=0上方） 总之，可归纳为“成上大于0，成下小于0”.第四部分 平面向量一、知识方法与技巧向量的概念及运算1、向量的有关概念 向量既有大小又有方向的量 向量的长度（模）向量的大小 平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量,并且规定零向量与任何向量均平行. 相等向量长度相等且方向相同的向量。2、向量运算加法运算加法法则：三角形法则；平行四边形法则平面向量的坐标运算：设=(x1,y1),=(x2,y2)，则+=(x1+x2,y1+y2).减法运算减法法则，平面向量的坐标运算：设=(x1,y1)，=(x2,y2)，则=(x1x2,y1y2).设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，=(x2x1,y2y1). 实数与向量的积定义：，其中0时，与同向，|=|； 当bABsinAsinB.锐角ABC中，A+B，AB，sinAcosB，cosAc2，同样可类比锐角ABC中结论.2、利用正、余弦定理判断三角形的形状由已知，利用三角形中的主要知识点，特别是角的关系和边角关系，推出满足题设条件的三角形的形状。3、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解三角形.正弦定理反映了三角形的边角关系，它可以用来解决两类解斜三角形的问题.已知两角和一边，求其他边和角.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（可进一步求出其他的边和角）.余弦定理也反映了三角形的边角关系，它是勾股定理的进一步推广，它可以解决以下三类有关斜三角形问题.已知三边，求三个角. 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，此类问题需要讨论.二、易错点提示1.向量的数量积不满足结合律，即.2.零向量与任何向量的数量积等于0，故平行向量不具有传递性即.3.平面向量数量积的消去律不成立，即若是非零向量，且并不能得到， 只可得到、在上的投影相等.4. 2=|cos0=|2.故2是一个实数.5.、的夹角为锐角 、的夹角为钝角6.向量、不共线，则A、P、B三点共线的充要条件是m+n=1.7.在应用正弦定理解决“已知两边和其中一边的对角，求解三角形”时应注意解的个数.8.在应用平移公式时，一定要分清P(x,y)为平移前的点，P(x,y)为平移后的点，=(h,k)为平移向量，否则会出现方向性错误.第五部分：数列一、 考试要求理解数列的概念，了解数列通项公式的意义。了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前几项和公式，并能解决简单的实际问题。理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。二、知识方法与技巧1.根据数列的前几项写出它的通项公式时，其通项公式不唯一.例如：1，2，4，.通项an=2n1 或an=1.数列通项公式an=f(n)，其图象是y轴右侧的坐标为(n,an)的一系列孤立点.2.由于数列是特殊的函数，所以判断数列的单调性与判断函数的单调性方法基本是相同的，只需比较an与an+1的大小即可.利用递推公式或者an与Sn的关系式解题时，一般要验证初始值n是否适合所求的式子，即an=；涉及an1或Sn1时，应分n=1和n2两种情况考虑；等比数列求和时，要考虑公比q是否为1.3.若三数成等差数列，则可设三数为ad,a,a+d；若三数成等比数列，则可设,a,aq.4.证明数列an是等差数列（等比数列），必须根据等差数列（等比数列）的定义加以证明.证明数列an不是等差数列（等比数列），只须说明a1,a2,a3不成等差数列（等比数列）即可.5.数列an为等差数列的充要条件的几种表示（即等差数列的判定方法）：an+1an=d(常数)；2an+1=an+an+2；an=kn+b (k、b为常数)，其中公差d=k.Sn=An2+Bn.数列an为等比数列的充要条件的几种表示（即等比数列的判定方法）：=q(常数)；an+12=anan+2；an=aqn(aq0，且a、q为常数)6.当公差d0时，等差数列的前n项和Sn方可表示为关于n的不含常数项的二次函数，且二次项系数的2倍就是公差.11.求等差数列前n项和Sn最值的方法：可转化为二次函数，求最值；应用以下结论：当公差d0时，Sn最小an0且an+10.利用f(n)=Sn的抛物线特征解小题(d0).12.等比数列的任一项及公比都不能为0；常数数列不一定是等比数列；G2=ab是a、G、b成等比数列的必要条件而非充分条件.13.若an是等差数列，则是等比数列(a0的常数)；若an是等比数列，且an0，则logaan是等差数列(a为常数).14.求数列an的最值常见方法：利用通项公式an的本身特征求解；若an是单调数列，则可利用单调性求解；若对一切nN*都有，an0 (an0，条件ab0不能少，如果ab=0，a,b中至少有一个为0，那么a,g,b就不为等比数列，只有同号的两个数才有等比中项，等比中项有两个，它们互为相反数，这一点与等差中项不同.一个等比数列从第2项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）是它的前一项与后一项的等比中项。2.等比数列性质若首项a10，公比q1，或首项a10，公比0q0，公比0q1或首项a11，则数列为递减数列；公比q=1，数列为常数列；公比q0，则此数列为递增数列；若d1，有2an=an1+an+1对于任意非零实数b，数列ban是等差数列，则数列an是等差数列已知数列bn是等差数列，则anbn也是等差数列a2n，a2n1，a3n1，a3n2等都是等差数列S3m=3(S2mSm).若Sn=Sm (mn)，则Sm+n=0若Sp=q，Sq=p，则Sp+q=(p+q) (pq)Sn=an2+bn，反之亦成立.等比数列定义：=q (常数q为公比)通项公式：an=a1qn1前n项和公式Sn=通项公式推广：an=amqnm等比数列an的一些性质对于任意正整数n，均有对于任意正整数p、q、r、s，只要满足p+q=r+s，则apaq=aras对于任意正整数p、q、r，如果p+r=2q，则apar=对任意正整数n1，有=an1an+1对于任意非零实数b，ban也是等比数列已知bn是等比数列，则anbn也是等比数列第六部分：不等式一、知识结构二、知识要求不等式的证明比较法：作差分解因式、配方等判断符号结论（也可作商与比较）综合法：利用不等式性质、定理证明不等式分析法：从欲证不等式出发，寻找它成立的充分条件.注意书写的规范性，否则可能不得分。反证法：反设推出矛盾否定假设得出结论不等式的解法重点是一元一次、二次不等式、分式不等式、绝对值不等式的解法.1.一元一次不等式：一般形式axb；若a=0，则当b0若a0，0，则xR 若a0，0f(x)g(x)0.注意：0.基本不等式.在用基本不等式求极值时，注意：“正数”，二“定值”，三“相等”等号是否取到，若不能取到，常常应用函数的单调性求解；注意挖掘应用问题中变量的范围。如果连续运用基本不等式时要注意取等号时的情况也就是所有取到等号时，极值点相同.三、能力要求1、正确理解和应用不等式的性质，注意到性质中条件减弱和加强时，条件和结论之间的关系。掌握判断已给不等式是否成立，比较大小，判断不等式中条件和结论之间充分性的方法。2、证明不等式要根据待证不等式的结构特点，灵活地选用恰当的方法。3、熟练掌握有理不等式的解法，这是解不等式的基础。对含参数的不等式的求解，要充分理解为什么要分类，这是探索分类的标准和正确分类的前提。4、对于不等式的应用，要掌握把实际问题转化为函数式、代数式的处理方法，提高实际问题数学化的能力。这类问题大致上可以分为两类：一类是建立不等式，解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值。利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可。4、本章内容较多地体现了四种数学思想，即“等价转化”的思想；“分类讨论”的思想；“数形结合”的思想；“函数与方程”的思想。四、易错点提示1、不等式的解一般都要用解集表示：特别是填空题。2、在解不等式的过程中要注意，自变量的约束范围要准确表示区间的开闭。3、在不等式的传递过程中，要注意的传递性。放缩中：如果是“放” 如果是“缩”4、在分离变量的变形过程中，两边同乘除以一个因式要注意被除因式的符号例： x1x2+a(x1+x2)0时，a当x1+x2用分离变量恒成立是常见的求范围的方法第七部分：立体几何一.直线与平面1.空间直线：判定空间两直线是异面直线的常用方法是反证法；对异直线所成的角的问题，要注意：异面直线所成角的范围为：；求异面直线所成的角的大小问题通常分为：找角（证角）、求角两步，而找角通常是利用直线的平移把角纳入平面图形中，利用平几及代数知识求解；异面直线间距离是通过异面直线上两点间所有线段的长度的最小值.2.直线与平面平行、垂直判定定理是由低一级的位置关系判定高一级的位置关系，而性质定理往往是高一级的位置关系推出低一级的关系，如对直线与平面平行的判定，就可以通过直线与直线，直线与平面，平面与平面的三个不同层次予以考虑.也可以通过计算来证明垂直.3.三垂线定理三垂线定理及逆定理实际上是线面垂直的简化模型，主要作用是：证明异面直线垂直；求二面角的平面角；确定点到面的距离.4.平面与平面平行两平行平面间的距离，除了求夹在平行平面间的垂线段这一方法外，还可转化为求线面距离、点面距离.5.平面与平面垂直利用平面与平面垂直的条件，通常在一个面内作棱的垂线，转化为线面垂直.进而利用解三角形解决空间角、距离、面积、体积的计算.两个平面互相垂直，3个平面两两互相垂直的常用模型是长方体（正方体），因此与3个平面两两垂直有关的问题，可通过构造长方体的相交于同一顶点的3个面来处理.6.空间角求空间角大小的一般步骤是“作、证、求”，三种角都是转化为相交直线所成的角或所夹的角，计算过程中要注意角的范围. 也可用空间向量来求.二面角的大小是通过其平面角来度量的，求二面角时首先搞清（或作出）棱，求作二面角的平面角常见的方法有：定义法；垂面法：过棱上一点O作棱的垂面，与两个半平面的交线为AO、BO，则AOB就是二面角的平面角；利用三垂线定理及逆定理作角；利用面积射影法：cos=，其中是二面角的大小，S是在其中一个面上图形的面积，S是该图形在另一个半平面上的射影的面积.用空间向量来求.7.空间距离常见的求空间距离的方法有：直接法.按“一作、二证、三计算”的步骤完成，转化法.在直接法不易求解时，可考虑以下转化法：点面距离、线面距离、面面距离间的互相转化；利用三棱锥的等积变换.面、面线、面点、面8.平面图形的翻折在平面图形翻折中，位于棱的两侧的同一半平面内的元素相对位置关系和数量关系在翻折前后不变，尤其是垂直于棱的直线翻折后仍垂直于棱；不变量一般是结合原图形来求、证；变化了的量应在折后的立体图形中来求、证，注意将空间问题转化为平面问题；多面体表面上两点间最近距离常转化为表面展开图上距离.二.简单几何体1.柱体、锥体定义及性质；特殊的多面体：直棱柱、平行面体、长方体、正方体；正方体的体对角线与不相交的面对角线互相垂直；长方体的体对角线与棱长关系；几种特殊三棱锥的顶点在底面上的射影；侧面积：S直棱柱侧=cl； S正棱锥侧=ch；S斜棱柱侧=c直l；其中h为斜高，l为侧棱长；平行于棱锥的底面的截面积与底面积之比等于对应高的平方米，对应边的平方比，对应侧棱的平方比.2.球既是中心对称，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，且过球心的截面是大圆也是轴截面，因此球的问题经常转化为圆的有关问题来解决.球的任一截面为圆，圆心与球心的连线垂直于该平面，且球半径R，截面半径r，球心到截面的距离d满足：r=；求球面上两点A、B间的距离的步骤为：求线段AB长；求A、B到球心O