北京市海淀区2017年高三一模数学(理科)试卷及答案.doc

.北京市海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科） 2017.4本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1. 已知集合，集合，则A. B. C. D . 开始结束2. 已知复数，则“为纯虚数”的充分必要条件为A. B. C. D . 3. 执行右图所示的程序框图，输出的的值为A B C D4. 设，若，则A. B. C. D. 5. 已知，则,的大小关系是A B C D6. 已知曲线（为参数），. 若曲线上存在点满足，则实数的取值范围为A. B. C. D . 7. 甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为A. 12 B. 40 C. 60 D. 808. 某折叠餐桌的使用步骤如图所示.有如下检查项目： 项目：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等；项目：打开过程中（如图2），检查；项目：打开过程中（如图2），检查；项目：打开后（如图3），检查；项目：打开后（如图3），检查.下列检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行”的是A. B. C. D. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9. 若等比数列满足，则公比 ；前项和_ 10.已知，满足的动点的轨迹方程为_.11.在D中，. _；若，则_.12.若非零向量满足，则向量夹角的大小为_.13.已知函数若关于的方程在内有唯一实根，则实数的最小值是_.14.已知实数满足，则的最大值是_.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15.（本小题满分13分）已知是函数的一个零点.（）求实数的值；（）求单调递增区间.16.（本小题满分13分）据报道，巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航.这是一个可以停靠8-10万吨邮轮的深水港.通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区.这相当于给中国平添了一条大动脉！在打造中巴经济走廊协议（简称协议）中，能源投资约340亿美元，公路投资约59亿美元，铁路投资约38亿美元，高架铁路投资约16亿美元，瓜达尔港投资约6.6亿美元，光纤通讯投资约0.4亿美元.有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和.下表记录了2015年天津、上海两港口的月吞吐量（单位：百万吨）：1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月天津242226232426272528242526上海322733313031323330323030（）根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点；（）从上表中12个月任选一个月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过55百万吨的概率；（）将（）中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过55百万吨的概率，设为瓜达尔港未来12个月的月货物吞吐量超过55百万吨的个数，写出的数学期望（不需要计算过程）.17.（本小题满分14分）如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，BAC=90，平面平面.（）求证：；（）若为中点，求证：平面；（）在线段BC上（含端点）是否存在点P，使直线DP与平面所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由.18.（本小题满分13分）已知函数，其中实数.（）判断是否为函数的极值点，并说明理由；（）若在区间上恒成立，求的取值范围.19.（本小题满分14分）已知椭圆G:，与轴不重合的直线l经过左焦点，且与椭圆G相交于A，B两点，弦AB的中点为M，直线OM与椭圆G相交于C，D两点（）若直线的斜率为1，求直线的斜率；（）是否存在直线l，使得成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由20.（本小题满分13分）已知含有个元素的正整数集具有性质：对任意不大于(其中)的正整数存在数集的一个子集，使得该子集所有元素的和等于.（）写出的值；（）证明：“成等差数列”的充要条件是“”；（）若，求当取最小值时，的最大值.海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（理科） 2017.4 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号12345678答案ADBBCCDB二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9 2，10 11. 12. 13 14三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.（本小题满分13分）解：（）由题意可知，即即， 解得. （）由（）可得 函数的增区间为. 由， 得， 所以，的单调递增区间为，. 16.（本小题满分13分）解：（）本次协议的投资重点为能源， 因为能源投资340亿，占总投资460亿的50%以上，所占比重大， （）设事件A：从12个月中任选一个月，该月超过55百万吨. -1分根据上面提供的数据信息，可以得到天津、上海两港口的月吞吐量之和分别是：56，49，59，54，54，57，59，58，58，56，55，56， 其中超过55百万吨的月份有8个， 所以，； （）X的数学期望. 17.（本小题满分14分）解：说明：本题下面过程中的标灰部分不写不扣分（）在直三棱柱中，平面，故ACCC1， 由平面CC1D平面ACC1A1且平面CC1D平面ACC1A1=CC1， 所以AC平面CC1D， 又D C1平面CC1D，所以ACDC1. （）在直三棱柱中，平面，所以， 又 BAC=90，所以，如图建立空间直角坐标系，依据已知条件可得，所以， 设平面的法向量为，由即 -令，则，于是， 因为为中点，所以，所以，由可得， 所以与平面所成角为，又平面， 所以平面. （）由（）可知平面的法向量为设， 则，. 若直线与平面成角为，则， 解得， 故不存在这样的点 说明1：如果学生如右图建系，关键量的坐标如下：（），由即 ， ，所以，（）由（）可知平面的法向量为设， 则，. 说明2：如果学生如右图建系，关键量的坐标如下：（），由即 ， ，所以，（）由（）可知平面的法向量为设， 则，. 说明3：如果学生如右图建系，关键量的坐标如下：（），由即 ， ，所以，（）由（）可知平面的法向量为设， 则，. 18.（本小题满分13分）解：法1：（）由可得函数定义域为， , 由得.因为，所以.当时，所以的变化如下表：0极小值 当时，的变化如下表：00极大值极小值 综上，是函数的极值点，且为极小值点. （）易知， 由（）可知，当时，函数在区间上单调递减， 所以有恒成立； 当时，函数在区间上单调递增， 所以，所以不等式不能恒成立； 所以时有在区间上恒成立. 法2：（）由可得函数定义域为， 令，经验证，因为，所以的判别式， 说明：写明也可以由二次函数性质可得，1是的异号零点， 所以1是的异号零点， 所以是函数的极值点. （）易知， 因为，又因为，所以，所以当时，在区间上，所以函数单调递减， 所以有恒成立； 当时，在区间上，所以函数单调递增，所以，所以不等式不能恒成立； 所以时有在区间上恒成立. 19.（本小题满分14分）解：（）由已知可知，又直线的斜率为1，所以直线的方程为设A()，B()，由解得， 所以AB中点M， 于是直线的斜率为 （）解法1：假设存在直线l，使得成立当直线l的斜率不存在时，AB的中点，所以，矛盾； 故可设直线l的方程为：，联立椭圆G的方程，得：，设A()，B()，则， 于是，点M的坐标为(), =直线CD的方程为：，联立椭圆G的方程，得：， 设C(x0，y0)，则，由题知， 即：， 化简，得：，故， 所以直线l的方程为： （II）解法2：假设存在直线使得成立由题意直线的斜率不与轴重合，设直线的方程为， 由得，设，则， ， ，所以中点的坐标为，所以直线的方程为：，由得，由对称性，设，则，即 ，由，得， 即， 解得，故， 所以直线的方程为：. 20.（本小题满分13分）解：（）. （）先证必要性 因为，又成等差数列，故，所以； 再证充分性因为，为正整数数列，故有,所以,又，故，故为等差数列. （）先证明.假设存在，且为最小的正整数.依题意,则，又因为,故当时，不能等于集合的任何一个子集所有元素的和.故假设不成立，即成立.因此,即，所以.