排列组合综合应用.ppt

10 3 3排列组合综合应用 完成一件事 有n类办法 在第1类办法中有m1种不同的方法 在第2类办法中有m2种不同的方法 在第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有 种不同的方法 复习巩固 1 分类计数原理 加法原理 完成一件事 需要分成n个步骤 做第1步有m1种不同的方法 做第2步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事共有 种不同的方法 2 分步计数原理 乘法原理 分步计数原理各步相互依存 每步中的方法完成事件的一个阶段 不能完成整个事件 3 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立 任何一种方法都可以独立地完成这件事 排列问题常用方法 直接法和间接法 1 优限法 特殊元素 位置 2 捆绑法 相邻排列问题3 插空法 不相邻排列问题4 消序法 解决排列组合综合性问题的一般过程如下 1 认真审题弄清要做什么事 2 怎样做才能完成所要做的事 即采取分步还是分类 或是分步与分类同时进行 确定分多少步及多少类 3 确定每一步或每一类是排列问题 有序 还是组合 无序 问题 元素总数是多少及取出多少个元素 解决排列组合综合性问题 往往类与步交叉 因此必须掌握一些常用的解题策略 1 排列组合混合问题先选后排策略 例1 有5个不同的小球 装入4个不同的盒内 每盒至少装一个球 共有多少不同的装法 解 第一步从5个球中选出2个组成复合元共有 种方法 再把5个元素 包含一个复合元素 装入4个不同的盒内有 种方法 根据分步计数原理装球的方法共有 解决排列组合混合问题 先选后排是最基本的指导思想 此法与相邻元素捆绑策略相似吗 练习题1 一个班有6名战士 其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务 每人完成一种任务 且正副班长有且只有1人参加 则不同的选法有 种 192 2 分组 分配问题策略 平均分成的组 不管它们的顺序如何 都是一种情况 所以分组后要一定要除以 n为均分的组数 避免重复计数 例2 6本不同的书 按下列要求处理 分别有多少种分法 1 分三堆 一堆1本 一堆2本 一堆3本 2 分给甲 乙 丙3个人 甲1本 乙2本 丙3本 3 分给甲 乙 丙3个人 一人1本 一人2本 一人3本 4 分三堆 有两堆各1本 另一堆4本 5 平均分成三组 6 平均分给甲 乙 丙3个人 1将13个球队分成3组 一组5个队 其它两组4个队 有多少分法 3 10名学生分成3组 其中一组4人 另两组3人但正副班长不能分在同一组 有多少种不同的分组方法 1540 2 某校高二年级共有六个班级 现从外地转入4名学生 要安排到该年级的两个班级且每班安排2名 则不同的安排方案种数为 练习2 3 特殊元素和特殊位置优先策略 例1 由0 1 2 3 4 5可以组成多少个没有重复数字五位奇数 解 由于末位和首位有特殊要求 应该优先安排 以免不合要求的元素占了这两个位置 先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法 若以元素分析为主 需先安排特殊元素 再处理其它元素 若以位置分析为主 需先满足特殊位置的要求 再处理其它位置 若有多个约束条件 往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 7种不同的花种在排成一列的花盆里 若两种葵花不种在中间 也不种在两端的花盆里 问有多少不同的种法 练习题 4 元素相同问题隔板策略 例3 有10个运动员名额 在分给7个班 每班至少一个 有多少种分配方案 解 因为10个名额没有差别 把它们排成一排 相邻名额之间形成 个空隙 在 个空档中选 个位置插个隔板 可把名额分成 份 对应地分给 个班级 每一种插板方法对应一种分法共有 种分法 将n个相同的元素分成m份 n m为正整数 每份至少一个元素 可以用m 1块隔板 插入n个元素排成一排的n 1个空隙中 所有分法数为 练习题 10个相同的球装5个盒中 每盒至少一个 有多少装法 5 相邻元素捆绑策略 例2 7人站成一排 其中甲乙相邻且丙丁相邻 共有多少种不同的排法 解 可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素 同时丙丁也看成一个复合元素 再与其它元素进行排列 同时对相邻元素内部进行自排 要求某几个元素必须排在一起的问题 可以用捆绑法来解决问题 即将需要相邻的元素合并为一个元素 再与其它元素一起作排列 同时要注意合并元素内部也必须排列 某人射击8枪 命中4枪 4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 练习题 20 6 不相邻问题插空策略 例3 一个晚会的节目有4个舞蹈 2个相声 3个独唱 舞蹈节目不能连续出场 则节目的出场顺序有多少种 解 分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单 开演前又增加了两个新节目 如果将这两个新节目插入原节目单中 且两个新节目不相邻 那么不同插法的种数为 30 练习题 7 合理分类与分步策略 例4 在一次演唱会上共10名演员 其中8人能唱歌 5人会跳舞 现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目 有多少选派方法 解 10演员中有5人只会唱歌 2人只会跳舞3人为全能演员 本题还有如下分类标准 以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果 解含有约束条件的排列组合问题 可按元素的性质进行分类 按事件发生的连续过程分步 做到标准明确 分步层次清楚 不重不漏 分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终 1 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会 若这4人中必须既有男生又有女生 则不同的选法共有 34 练习题 2 3成人2小孩乘船游玩 1号船最多乘3人 2号船最多乘2人 3号船只能乘1人 他们任选2只船或3只船 但小孩不能单独乘一只船 这3人共有多少乘船方法 27 8 重排问题求幂策略 例5 把6名实习生分配到7个车间实习 共有多少种不同的分法 解 完成此事共分六步 把第一名实习生分配到车间有种分法 7 1 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单 开演前又增加了两个新节目 如果将这两个节目插入原节目单中 那么不同插法的种数为 42 2 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人 他们到各自的一层下电梯 下电梯的方法 练习题 练习题 6颗颜色不同的钻石 可穿成几种钻石圈 120 9 构造模型策略 例5 马路上有编号为1 2 3 4 5 6 7 8 9的九只路灯 现要关掉其中的3盏 但不能关掉相邻的2盏或3盏 也不能关掉两端的2盏 求满足条件的关灯方法有多少种 解 把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有 种 一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型 如占位填空模型 排队模型 装盒模型等 可使问题直观解决 练习题 某排共有10个座位 若4人就坐 每人左右两边都有空位 那么不同的坐法有多少种 120 10 实际操作穷举策略 例6 设有编号1 2 3 4 5的五个球和编号1 23 4 5的五个盒子 现将5个球投入这五个盒子内 要求每个盒子放一个球 并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同 有多少投法 解 从5个球中取出2个与盒子对号有 种还剩下3球3盒序号不能对应 10 实际操作穷举策略 例6 设有编号1 2 3 4 5的五个球和编号1 23 4 5的五个盒子 现将5个球投入这五个盒子内 要求每个盒子放一个球 并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同 有多少投法 解 从5个球中取出2个与盒子对号有 种还剩下3球3盒序号不能对应 同理3号球装5号盒时 4 5号球有也只有1种装法 由分步计数原理有2种 对于条件比较复杂的排列