2020届高三第二轮复习测试卷理科数学（四） PDF版含答案解析

高三理科数学 四 第 1 页 共 4 页 高三第二轮复习测试试卷 理科数学 四 本试卷分必做题和选做题两部分 满分150分 考试时间120分钟 注意事项 1 客观题每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用 橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 主观题用0 5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写 作答 若在试题卷上作答 答题无效 2 选做题为二选一 先在答题卡上把对应要选做的题目标号涂黑 没有选择作答无效 3 考试结束后 监考员将答题卡收回 一 选择题 共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每个小题给出的四个选项中 只有一项是符合 题目要求的 1 已知集合 2 0 Aa xaxaxR 1Bx yx 则 R C AB A 0 4xx B 14xx C 1x x D 40 x xx 或 2 已知设i是虚数单位 13i 1 i z 则 3i 22 z A 1 B 2 C 2 D 1 2 3 已知样本数据 x 1 2 a 3 4 y 0 9 0 95 2 3 05 4 9 得到回归方程 23yx 则实数a的值为 A 2 B 3 C 2 5 D 3 5 4 已知 a b 为互相垂直的单位向量 且 2 3ca c 则 bc A 3 B 2 C 3或或7 D 3或或2 5 已知等比数列 n a n S为数列 n a的前n项和 公比为q 则 3q 是 321 4Saa 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 6 设 0 3 34 2 log 4 log 5abc 则 A bca B acb C abc D bac 7 已知函数 e x xxa f x xxa 若存在Rm 使得 yf xm 有三个零点 则实数a的取 值范围是 A 1 1 e a B 1 e a C 1 1 e a D 1a 高三理科数学 四 第 2 页 共 4 页 x y 俯视图 左视图 主视图 8 已 知 函 数 2sin 2 4 f xx 在 区 间 12 x x有 且 仅 有2个 极 值 点 且 满 足 12 3 2 4 f xfx 则 12 xx 的取值范围 A 3 5 44 B 5 4 C 3 5 44 D 5 4 9 易 系辞上 有 河出图 洛出书 之说 河图 洛书是中华文化 阴阳 术数之源 其中河图的排列结构是一 六在后 二 七在前 三 八在左 四 九在右 五 十背中 如图 白圈为阳数 黑点为阴数 若从这 10 个 数中任取 3 个数 则这三个数中至少有两个阳数且成等差数列的概率为 A 1 5 B 1 20 C 1 12 D 3 40 10 已知在平面直角坐标系中圆 22 4O xy 2 0 2 0 AB 直线2x 点C为圆O上 一动点 不与 A B两点重合 过点B作一直线l 使其与直线BC关于直线2x 对称 则直线 AC与直线l交点P的轨迹方程 A 2 2 1 3 y x B 22 1 44 xy C 2 2 1 0 3 y xy D 22 1 0 44 xy y 11 已知棱长为1正方体 1111 ABCDABC D E为BC上的动点 过 1 A C E三点的平面截正方体 截面在平面ABCD的射影的面积为 1 S 平面 11 BCC B的射影的面积为 2 S 则 12 S S最大值为 A 1 2 B 1 4 C 3 4 D 3 8 12 数学中有许多形状优美 寓意美好的曲线 例如 四叶草曲线就是其中一种 其曲线C方程 为 3 2222 xyx y 给出下列四个结论 曲线C有四条对称轴 曲线C上的点到原点的最大距离为 1 4 设曲线C第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形 面积的最大值为 1 8 四叶草面积小于 4 其中 所有正确结论的序号是 A B C D 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 如图所示 网格纸上小正方形的边长为1 粗实线画出的是某几何体的三视图 则该几何体的 体积 14 记不等式组 0 1 1 2 y yx ykx 所表示的平面区域为D 若点 1 1 D 则实数k的取值范围为 高三理科数学 四 第 3 页 共 4 页 18题图 M D A C B S 总利润 单位 万元 总利润 单位 万元 0 015 0 013 0 01 0 0045 0 005 0 0025 14012010080604020 频率频率 组距组距 15 已知数列 n a n S为数列 n a的前n项和 且满足22 nn Sa 若集合 2 n n nta 有 且只有三个元素 则实数t的取值范围 16 已知抛物线 2 4C yx 的焦点为F 过点F的直线与抛物线相交于 1122 A x yB xy两点 若3AFFB 则 12 yy 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 一 必做部分 17 本小题满分 12 分 已知锐角ABC 的三个内角 A B C所对的边分别为 a b c 面积为S AD为内角A的角平分线 且满足3 cos3 cos23bAaBbc 求cos A的值 若ABC 的面积为 4 2 3 求角平分线AD长的最大值 18 本小题满分 12 分 如图 在三棱锥SABC 中 ABC 为等边三角形 且 ABa 13 2 a SASC D为AC的中点 M为SB的中点 求证 ABCSBD 平面平面 若三棱锥SABC 的体积为 3 3 8 a 且二面角SACB 为钝二面角 求直线AM与平面SBC成角的正弦值 19 本小题满分 12 分 在我国 大学生就业压力日益严峻 伴随着政府政策引导与社会观念的 转变 大学生创业意识 就业方向也悄然发生转变 大学生们在国家提供的税收 担保贷款等很多 方面的政策扶持下选择加盟某品牌的专营店自主创业 该品牌的总部为了积极响应政府的号召 对大学生创业加盟的店 根据销售的利润实行抽奖奖励 该品牌的总部挑选某地区的 100 家专营 店 并且统计了近五年来的创收利润 经过数据统计得到了频率分布直方图 由频率分布直方图大致可认为 被抽查的专营店 5 年的总利润 202 WN 近似为 这 100 家专营店 5 年总利润的平均值 同一组中 的数据用该组区间的中点值作代表 利用正态 分布 求 73 6130 4 PW 在 的条件下 该品牌总部为了对 加盟专营店进行奖励 制定如下抽奖方案 令m表示 该专营店 5 年内总利润超过 的 百分点 其中 100 W m 若 0 10 m 则该品牌总部为专营店提供 1 次抽奖机会 10 20 m 则该品牌总部为专营店提供 2 次 抽奖机会 20 30 m 则该品牌总部为专营店提供 3 次抽奖机会 30 40 m 则该品牌总 高三理科数学 四 第 4 页 共 4 页 部为专营店提供 4 次抽奖机会 40 50 m 则该品牌总部为专营店提供 5 次抽奖机会 50m 则该品牌总部为专营店提供 6 次抽奖机会 另外 规定 5 年内总利润低于 的专营店 则该品牌 总部不为专营店提供抽奖机会 每次抽奖中奖获得的奖金金额为 10000 元 每次抽奖中奖的概 率为 1 3 设该大学生加盟的专营店A参加了此次抽奖方案 且专营店A在 5 年内总利润为 122 5W 万元 记X 单位 万元 表示专营店 A 获得的奖金总额 求X的分布列与数学期望 附参考数据与公式 20214 2 若 2 WN 则 0 6827PW 22 0 9545PW 33 0 9973PW 20 本小题满分 12 分 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的离心率为 1 2 其左右两焦点分别为 12 F F 1 B为其上顶点 直线l与椭圆相交于 M N两点 并且 12 FMF N 当M与 1 B重合时 此时 8 3 3 55 N 求椭圆的标准方程 若存在实数 使得 12 FMF N 当 1 2 2 记 12 MFF 的面积为 1 S 12 NFF 的面积为 2 S 求 12 SS的取值范围 21 本小题满分 12 分 已知函数 ln f xxaxa 0 x 0a 求函数 f x的单调区间 若不等式 1 e1 0 x f xx 对任意的0 x 恒成立 求a的取值范围 二 选做部分 请考生在第 22 23 两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 把答案填在答题卡上 22 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 已知直线 1 l的参 数方程为 cos 1sin xt yt 0 t 为参数 直线 2 l的方程为 sin 2 2 4 M为曲 线 2 l上的动点 点P在线段OM上 且满足8OMOP 求点P的轨迹C的直角坐标方程 设点 0 1 N 直线 1 l与曲线C相交于 A B两点 则 114 3 3NANB 求直线 1 l的方程 23 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 12f xxx 对于任意Rx 不等式 f xm 恒成立 则m的取值范围 记满足条件的m的最大值为M 若1 1 1abc 且8 abcM 求证 1 1 1 1abc 高三理科数学 四 第 5 页 共 4 页 理科数学 四 参考答案 一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 B A C C A B A C C D B C 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 2 2 3 14 1 2 15 3 5 8 8 16 4 3 3 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 17 解析 解析 因为 3 cos3 cos23bAaBbc 由正弦定理可化为3sin cos3sin cos2sin3sinBAABBC 3sincos3sincos2sin3sinBAABBAB 3sincos3sin cos2sin3sin cos3sin cosBAABBABBA 6sin cos2sinBAB 0 sin0BB 因此 1 cos 3 A 12 2 cossin 33 AA 且 1 cos6 cos 223 AA 14 2 sin 23 ABC SbcA 4bc 由 ABCABDACD SSS 有 111 sinsinsin 22222 AA bcAc ADb AD 2cos 8 68 62 6 2 336 A bc AD bcbcbc 当且仅当2bc 时 角平分线AD长有最大值 2 6 3 18 解析 解析 因ABC 是等边三角形 D为AC的中点 BDAC SASCSDAC 又 BDSDD AC 平面SBD AC 平面ABC 平面ABC 平面SBD 由 1 知SDB 为二面角SACB 的平面角 所以 SDB 为钝角 过S作直线BD 的垂线 垂足为E AC 平面SBD ACSE 又SEBD BDSEE SE 平面ABC 高三理科数学 四 第 6 页 共 4 页 M D A C B S z y x E 所以 23 133 3128 SABCABC VSSEaSEa 可得 3 2 SEa 又 22 3SDSCDCa 22 3 2 DESDSEa 以 D 为原点 DB DC分别为 x y轴 从 D 引平行于ES的射线为z轴 建立空间直角坐标系 则 333 0 0 0 0 0 0 0 22222 aaaaa ABCS 3 0 0 4 a M 则有 333 0 0 3 0 24222 aaa aa AMBCBSa 设平面SBC的法向量为 nx y z AM与平面SBC的所成角为 由 0 0 n BC n BS 得 3 0 22 3 30 2 aa xy a axz 取2x 则 2 3 1 3 3 n 33 13 sincos 13413 43 n AM a n AM an AM 直线AM与平面SBC所成角的正弦值为 3 13 13 19 解析 解析 204040606080 0 0025200 005200 01 20 222 80100100120120140 0 015200 013200 00452087 8 222 20214 2 202 WN 73 6130 4 3 PWPW 1 33 2 PWPW 0 84 因为 122 587 8 10010030 40 87 8 W m 所以专营店A获得品牌总店提供的 4 次抽奖机会 X 的可能值为0 10000 20000 30000 40000 则 4 0 4 216 0 381 P XC 3 1 4 1232 10000 3381 P XC 22 2 4 1224 20000 3381 P XC 3 3 4 128 30000 3381 P XC 高三理科数学 四 第 7 页 共 4 页 4 4 4 11 40000 381 P XC 所以 X 的分布列为 X 0 10000 20000 30000 40000 P 16 81 32 81 24 81 8 81 1 81 数学期望 1632248140000 0100002000030000 40000 81818181813 EX 20 解析 解析 令 0 0 121 bBocFcF 由题意 c c b KKNFBF NFBF 5 8 5 33 211 211 又 2 1 a c e 联立 可得 3 2 ba 故椭圆的标准方程为 1 34 22 yx 延长 1 MF交椭圆至 1 N 由 12 FMF N及椭圆的对称性可得 21 NFFN 故 2 S等于 112 N FF 的面积 12 SS等于 12 N MF 的面积 设直线 1 MN的直线方程为 1 tyx 令 2211 yxNyxM 则有 096 43 1 1 34 22 22 tyyt tyx yx 则有 2 2 1212121212 222 69121 4 343434 tt yyy yyyyyy y ttt 故 2 121212 2 1121 234 t SSFFyy t 又 2 122 2 1212 2 122 2 9 11 34 2 31 6 1 4 34 y yy t FMF Nyy t yyy t t 2 14 20 25 t 令 5 53 1 1 2 t 则有 2 12 22 1211212 1 343 1 3 t SS t 高三理科数学 四 第 8 页 共 4 页 1235 1 1 5 3 在 单调递减 故有 12 95 3 8 SS 21 解析 解析 11 1 ln 1ln10 ee afxxa 当 时 f x的单调增区间为 0 1 20 e a 当 时 11 ln 1000 ee fxxaxafxxa 故 f x的单调增区间为 1 e a f x的单调减区间为 1 0 e a 令 ln 1 e1 0 x h xx ax axx 则有 ln e1 1 x h xxax 又因 1 1 e10 x hxx xa 故 0 h x 在 单调递增 1 1 e a 当 时 0ln10h xha 则 0 h x 在 单调递增 故 0 ln01 h xhaaa 1 20 e a 当 时 1 0ln10 11 1 e1 0 a hahaa 故 0 1 hxa在 有唯一零点 0 xx 且易知 0 xx 为 h x的极小值点 则有 0 min0000 ln 1 e1 x h xh xxaxax 又 0 00 ln e1 1 0 x xax 0 2 0000 1 1 e1 x h xxa xxa 令 2 1 1 0 1 g xxa xxa 则 有 2 max 1 1 10 24 aa g xg 故 0 0h x 不符题意 综上 1a 22 解析 解析 设点P的坐标为 点M的坐标为 1 由8OMOP 则 1 1 8 sin 2 2 4 整理得轨迹C的极坐标方程为 2 2sin 4 轨迹C的直角坐标方程为 211 22 yx 将 1 l的参数方程代曲线C的直角坐标方程 2sin1cos 22 tt 整理得01cos2 2 tt 1 cos2 2121 tttt 又点 0 1 N在曲线C的内部 2 2 12121 2 44cos4NANBttttt t 2 12 1 2 114cos44 3 13 NANBtt NANBNA NBtt 高三理科数学 四 第 9 页 共 4 页 解得 3 1 cos 2 即 3 3 cos 则2 k 则直线 1 l的方程 12 xy 23 解析 解析 2 32 21 1 1 23 xx x xx xf 1 21 min xfx时 当 由题意 恒成立在Rxmxf mxf min 故 1 m 由 可知 1M 故8 abc 则有 1 444 1 1 1 1 1 1 1 1 1 222 cba cbacba 取等条件为 2 cba 高三理科数学 四 第 10 页 共 4 页 高三理科数学 四 选择填空详细解析 高三理科数学 四 选择填空详细解析 1 B 解析 解析 2 0 R C Aa xaxaxR 04 2 aa 0 4 R C A 1 xxB R C AB 14xx 故选 B 2 A 解析 解析 13i 13i i 13 13 i 1 1 i i 2 z i 1 1 则 3 22 i z 13 13 i3i13 i1 22222 故选 A 3 C 解析 解析 回归方程过定点 x y 2y 代入回归方程得 2 5x 则a 2 5 故选 C 4 C 解析 解析 a b 为互相垂直的单位向量 2 cos3ca ca c 2 3 cos a 与c 夹角 30 则b 与c 夹角 60 或 120 如右图 则 222 23bcbcbb cc 或 7 故选 C 5 A 解析 解析 由 321 4Saa 则 12321 4 aaaaa 2 11 21 4 a qqa 又 n a为等比数列 1 0a 2 21 4qq 即1q 或3q 则3q 是 321 4Saa 的充分而不必要条件 故选 A 6 B 解析 解析 0 3 43 21log 5 1 log 4 1 acb 2 34 ln4ln3ln5ln4ln5 log 4log 5 ln3ln4ln3ln4 bc 又因为 222 2ln3ln5ln15ln16 ln3ln5ln4 222 2 ln4ln3ln5 0 ln3ln4 bc 即有cb 故选 B 7 A 解析 解析 对于exyx 1 e x yx 函数 1 递减 在 1递增 且当1 x时 0 y 如图 要存在m R 使得 yf xm 有三个零点 即 ymf x与 有三个交点 由图像得 1 1 e a 故选 A 8 C 解析 解析 要使 2sin 2 4 f xx 在区间 12 x x有且仅有 2 个极值点 则 12 3 22 TT xx 由 12 3 2 4 f xfx 222 3 3 3 2sin 2 2sin2 444224 fxxx 22 2sin 2 4 xf x 12 2f xf x 由 高三理科数学 四 第 11 页 共 4 页 2sin 2 4 f xx 所 以 1 0f x 且 2 0f x 212121 bbxaax 符合题意 所以 1211 min 33 44 xxbaT 1222 max 55 44 xxbaT 故选 C 9 C 解析 解析 1 10 中 1 3 5 7 9 为阳数 三个数中至少有两个阳数且成等差数列有如下 三个阳数 1 3 5 3 5 7 5 7 9 1 5 9 4 种 两个阳数 1 2 3 3 4 5 5 6 7 7 8 9 1 4 7 3 6 9 6 种 则 3 10 10101 12012 P C 故选 C 10 D 解析 解析 设直线AC和直线l的斜率为别为 12 k k 因为直线l与直线BC关于直线2x 对称 则 2BC kk 因为ACBC 即 1 1 BC kk 即 1 2 1kk 设点 P x y 即 12 22 yy kk xx 又因为 1 2 1kk 即1 22 yy xx 即 22 4 0 xyy 故选 D 11